2019年北京市高考数学试卷(理科)(解析版)

1、绝密启用前222019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。1 .已知复数z=2+i，则z ZA. .3B.5C. 3D. 5【思路引导】题先求得z,然后根据复数的乘法运算法则即得.【解析】. z 2 i, z z （2 i）（2 i） 5故选D.【点睛】 本题主要考查复数的运算法则，共轲复数的定义等知识，属于基础题2 .执行如图所示的

2、程序框图，输出的s值为A. 1B. 2C. 3D. 4【思路引导】根据程序框图中的条件逐次运算即可【解析】运行第一次,2 12 2 ,3 1 2运行第二次，k2 22运行第三次，k2 223 2 2结束循环，输出s=2 ,故选B.【点睛】 本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查x3.已知直线l的参数方程为y1 3t,2 4t(t为参数)，则点(1,0)到直线l的距离是1 A.一52B.一54C.56D.5【思路引导】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可【解析】直线l的普通方程为4 x 13 y 20 ,即4x 3y 2 0 ,点1,0到直

3、线l的距离|4 0 2| 6d / 22二，故选 D.42 325【点睛】 本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识？基本运算能力的考查.x2y2. 14.已知椭圆 = f 1 (ab0)的离心率为 一，则a2b22D. 3a=4bA. a2=2b2B. 3a2=4b2C. a=2b【答案】B【思路引导】由题意利用离心率的定义和a,b,c的关系可得满足题意的等式.C 1999cc【解析】椭圆的离心率e ，c a b ,化简得3a2 4b2, a 2故选B.【点睛】 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基石知识？基本运算能力的考查5.若x, y

4、满足|x| 1 y,且y-1则3x+y的最大值为A. -7B. 1C. 5D. 7【答案】C【思路引导】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可设 z 3x y, y z 3x,当直线lo：y z 3x经过点2, 1时，z取最大值5.故选C.【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画？移？解”等步骤可得解.题目难度不大题础知识？基本技能的考查 5, &-6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2 -mi彳lg二，其2E2中星等为mk的星的亮度为Ek (k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星

5、 的亮度的比值为()A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10- 10.1【答案】A【思路引导】 由题意得到关于& , E2的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值叶口心口由-、51E1人,“【解析】两颗星的星等与亮度满足mbmb-lg-,令mb1.45, m126.7,2 E2iE12lg -m2m1E252-(1.455E110126.7) 1Ol11 10 .故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识 ？信息处理能力？阅读理解能力以及指数对数运算.7.设点A, B, C不共线，则“uuv uuuvABV与AC的夹角为锐角”是“uuv umv uuvA

6、B AC BC ”的A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【思路引导】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可【解析】A?B?C三点不共线，uuir uuuruuur| AB + AC | BC |uuu uuur uuu uuur| AB + AC | AB- AC |uur uuur 2 uuu uuur 2 unr uuur| AB + AC I 1 AB- AC I AB? AC 0uuu - uuurAB 与 AC的夹角为锐角.故“ AB与AC的夹角为锐角”是uuu uuurAB + AC|uuurBC |的充分

7、必要条件，故选C.【点睛】本题考查充要条件的概念与判断 ？平面向量的模？夹角与数量积，同时考查了转化与化归数学思想8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线2C： x2y 1 | x| y就是其中之一(如图).给出下列(即横、纵坐标均为整数的点)曲线C上任意一点到原点的距离都不超过曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A.C.D.【思路引导】 将所给方程进行等价变形确定 x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围22【解析】由x2 y2(221 x y得，y2|x|3x23

8、x2,1442,X所以x可为的整数有0,-1,1,从而曲线C:x2x y恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点，结论正确r 22,由 x y 1 x y 得，x22x y 口-,解得2y 2,所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过近.结论正确.如图所示，易知A 0, 1 ,B 1,0,c1.1, ,D0,1 ,四边形ABCD的面积Sabcd2Sabcd ,即“心形”区3一 “八,一 ，-,很明显“心形”区域的面积大于2域的面积大于3,说法错误.故选C.【点睛】 本题考查曲线与方程？曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识

9、？基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.函数f(x)=sin22x的最小正周期是【思路引导】将所给的函数利用降哥公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可21 cos4x【解析】函数f x sin 2x -cJ,周期为一22【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式？三角函数的最小正周期公式，属于基础题.10 .设等差数列an的前n项和为Si,若a2=-3 , S5=-10 ,则a5=, Sn的最小值为 【答案】 (1). 0.(2). -10.【思路引导】首先确定公差，然后由通项公式可得a5的值

10、，进一步研究数列中正项 ？负项的变化规律，得到和的最小值.【解析】等差数列an中，S55a310,得a32,a23,公差da3a21, a5a32d 0,由等差数列an的性质得n5时，an0, n 6时，an大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为10.【点睛】 本题考查等差数列的通项公式 ？求和公式？等差数列的性质，难度不大，注重重要知识？基础知识？基 本运算能力的考查11 .某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为 【思路引导】本题首先根据三视图，还原得到几何体，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.【解

11、析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱MPDiA NQC1B1之后余下的几何体31 一 一几何体的体积V 43 2 42 4 40 .2【点睛】（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常 用等积法、分割法、补形法等方法进行求解12. 已知l ， m 是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：l，m;m/:.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：【答案】 如果l，&m / %则l，m或如果l，&

12、 U m,则m / a .【思路引导】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：(1)如果U&m/电则l，m.正确；(2)如果U a, lm,则m / a正确；(3)如果1，m, m / a,则l，a不正确，有可能l与a斜交、l / a .【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.13. 设函数f (x) =ex+ae-x (a为常数).若f (x)为奇函数，则a=;若f (x)是R上的增函数，则a 的取值范围是【答案】(1). -1;(2).,0 .【思路引导】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此

13、可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围.【解析】若函数f xex ae x为奇函数，则f x f x , e x aexex ae x ,xxa 1 e e0对任意的x恒成立.若函数f xex ae x是R上 增函数，则f xex ae x 0恒成立，a e2x,a 0.即实数 a 的取值范围是,0【点睛】本题考查函数的奇偶性?单调性?利用单调性确定参数的范围. 解答过程中, 需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题. 注重重点知识?基础知识?基本运算能力的考查.14. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60 元 /盒、 65 元

14、 /盒、80 元 /盒、 90 元 /盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付X元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元;在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为【思路引导】(1). 130.(2). 15.由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得X的最大值.【解析】(1) x 10,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒 ，需要支付 60 80 10 130元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,y

15、120元时,李明得到的金额为 y 80% ,符合要求.yy 120 兀时，有 y x 80% y 70% 恒成立，即 8 y x 7 y, x ,即 x8y8 min15元.所以x的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质 ？数学的应用意识？数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.在4ABC 中，a=3, b-c=2, cosB= 1(I)求 b, c 值;(n )求 sin (B-C)的值.(n) - 737(I )由题意列出关于(n )由题意结

16、合正弦定理和a,b,彳】宁程组，求解和差正余弦公组即定 b,c的值;B C的12a 3,解得：b 7.c 522. 2a c bcosB2ac【解析】(I)由题意可得：b c 2a 3（n）由同角三角函数基本关系可得:sin B,1 cos2任方 b ccsin B 5.3结合正弦te理可得：sin C 二一，-2-T 11V1 sin C ,144 cosBsinC - 3.sin B sin Cb 14很明显角C为锐角，故cosC故 sin B C sin BcosC【点睛】 本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的 转化能力和计算求解能力16.

17、如图，在四棱锥 PRBCD 中，PAL平面 ABCD, AD CD, AD /BC, PA=AD = CD=2, BC=3. E 为 PD 的点F在PC上，且PFPC设点G在PB上，且EGPB（出）【答案】（I）见解析;（I）求证：CD，平面PAD；（II）求二面角 fae-p的余弦值;2-.判断直线 AG是否在平面AEF内，说明理由.3(H)*（出）见解析.【思路引导】(I)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(n )建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(出)首先求得点G的坐标，然后结合平面 AEF的法向量和直线 AG的方向向量可判断直线

18、是否在平面内【解析】(I )由于PA，平面ABCD, CD 平面ABCD,则PAXCD,由题意可知 AD CD ,且PAnAD=A, 由线面垂直的判定定理可得 CD,平面PAD.(n)以点A为坐标原点，平面 ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的 空间直角坐标系A xyz ,易知：A 0,0,0 ,P 0,0,2 ,C 2,2,0 ,D 0,2,0uuu i uuir2 2 4由PF 1 PC可得点F的坐标为F -,-,-,33 3 3uuu i uuur由 PE -PD 可得 E 0,1,1 , 2ir设平面AEF的法向量为：m x, y,z ,则v uu

19、uv2 2m AF x, y, z ,-3 3v uuv m AE x, y, z23y0,1,1 y z4-z30ur据此可得平面 AEF的一个法向量为：m 1,1, 1 ,r很明显平面AEP 一个法向量为n 1,0,0 ,ir r cos m, nur r m nirm面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为 叵.（出）易知P 0,0,2 ,B 2,uur1,0 ,由 PG2UUU4 2 2PB 可信 G ,一33 3 3uur则AGu注意到平面AEF的一个法向量为：m1,1, 1 ,42 2 3, 33,ir uur其m AG 0且点A在平面AEF内，故直线 AG在

20、平面AEF内.17 .改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月 A, B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中 A, B两种支付方式都不使用的有 5人，样本中仅使用 A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:付金额（兀）支付方式交(0,1000(1000,2000大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（I ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月 A, B两种支付方式都使用的概率；（II）从样本仅使用 A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于 1

21、000元的人数，求 X的分布列和数学期望；（出）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查 3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.一 2【答案】（1）2;5（n）见解析；（出）见解析.【思路引导】(I)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；(n)首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可(m)由题意结合概率的定义给出结论即可100 30 25 5 40人，贝U：该学生上个月A, B两种支付方式都使用的概率 p40100

22、【解析】(I )由题意可知，两种支付方式都是用的人数为:(n)由题意可知,仅使用A支付方法的学生中,金额不大于1000的人数占3 ,金额大于1000的人数占2 ,仅使用B支付方法的学生中,金额不大于1000的人数占-,金额大于1000的人数占3 ,26 一, 525且X可能的取值为0,1,2.p X 05 22LX的分布列为:X012p X6251325625其数学期望：E X 0 1 13 2 1.252525(出)我们不认为样本仅使用 A的学生中本月支付金额大于 2000元的人数有变化.理由如下： 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于

23、 概率.学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这 种现象可能是发生了 小概率事件” .【点睛】 本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列 的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关18 .已知抛物线 C： x2=-2 py经过点(2, -1 ).(I)求抛物线 C的方程及其准线方程；(n)设。为原点，过抛物线 C的焦点作斜率不为 0的直线l交抛物线C于两点M, N,直线y=-1 直线OM, ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过 y轴上的两个定点.【答案】(1)x24y, y 1；(n )见解

24、析【思路引导】(I )由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程;(n)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令分别交x=0【解析】(I)将点2, 1代入抛物线方程：222p 1 可得：p 2,即可证得题中的结论.故抛物线方程为：x2 4y,其准线方程为:(n)很明显直线l的斜率存在，焦点坐标为0,设直线方程为y kx4 y联立可得：x2 4kx 40.故：X x24k,xJ22 x_ xo一设 M x, , N x2,一，则 kOM44直线OM的方程为y 土 x ,与y41联立可得:4-A 一, 1 ,同理可得x1Bi,1易知以AB为直

25、径的圆的圆心坐标为:x12 1 x2,圆的半径为:x1x2口 22且：一 一2 x1 x22x1 x24x1x2x1x2x1x2x1x2xx22 k2则圆的方程为:x 2k4 k2令x 0整理可得：y22y0,解得:y13,y21,即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点0, 3 ,0,1 .【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解 及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力1 3219.已知函数f(x) x x x.4(i)求曲线y f(x)的斜率为1的切线方程；(n)当 x 2,4时，求证：x 6 f(x) x；(出)设F(x)

26、|f(x) (x a)|(a R),记F(x)在区间2,4上的最大值为M (a),当M (a)最小时, 求a的值.【答案】(I) x y 0 和 27x 27y 64 0.(n)见解析；(出)a 3.【思路引导】(i)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程;(n)由题意分别证得f x x 60和f x x 0即可证得题中的结论;(出)由题意结合(n )中的结论分类讨论即可求得a的值.3 23 28【解析】(I) f (x) -x 2x 1,令 f(x)-x2x11 得 x0 或者x -.443当x0时，f (0)0,此时切线方程为yx,即xy0；当x8

27、时，f(8)8，此时切线方程为yx 64,即27x27y640；332727综上可得所求切线方程为 x y 0和27x 27y 64 0.1 3(n)设 g (x) f (x) x x 423 2X, g(x) 4x所以当x 2,0时，g (x) 0, g(x)为增函数；当x-3,、3 282x,令 g(x) - x 2x 0 得x 0 或者 x -， 43小 88(0, 一)时，g (x) 0, g(x)为减函数；当 x - ,433时，g (x) 0 , g(x)为增函数;同理令h(x) f (x) x6 1x34而 g(0) g(4) 0,所以 g(x) 0,即 f(x) x；2x 6,

28、可求其最小值为h( 2) 0,所以h(x) 0,即f(x) x 6,综上可得x 6 f (x) x.(出)由(n)知 6 f (x) x 0,所以M (a)是a , a 6中的较大者，若 aa6 ,即 a3时，M (a)a a 3 ；若 aa6 ,即 a3时，M(a)a6 a 63；所以当M (a)最小时，M(a) 3,此时a 3.【点睛】 本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力20.已知数列an,从中选取第ii项、第i2项、第im项ii i2.im，若 为ai2aim,则称新数列气，%，aim为an

29、的长度为m的递增子列.规定：数列 an的任意一项都是 an的长度为1 的递增子列.(I)写出数列1, 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列；(n)已知数列 an的长度为P的递增子列的末项的最小值为 am0,长度为q的递增子列的末项的最小值为 an0 .若 p q ,求证：amo an。；(m)设无穷数列 an的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若an的长度为s的递增子列末项的最小值为2s 1,且长度为s末项为2s 1的递增子列恰有2s1个s 1,2,.,求数列 an的通项公式.【答案】(I ) 135,6； (n)见解析;(出)见解析.【思路引导】(I)由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；(n )利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；(山)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，