提公因式法正版

1、提公因式法提公因式法本课内容本节内容3.2下列每个式子含字母的因式有哪些？下列每个式子含字母的因式有哪些？ xy，xz，xw.说一说说一说xy的因式有的因式有x，y，xz的因式有的因式有x，z，xw的因式有的因式有x，w，由此看出，由此看出，xy，xz，xw有公共的因式有公共的因式 x . 几个多项式的公共的因式称为几个多项式的公共的因式称为它们的它们的公因式公因式.运用已学过的知识填空运用已学过的知识填空: x(x+1)= x(x+1)= ; ; (x+1)(x-1)= (x+1)(x-1)= ; ; (a+b)(a+b)2 2= = .x x2 2+x+xx x2 2-1-1a a2 2+

2、2ab+b+2ab+b2 2 x x2 2+x=+x= ; ; x x2 2-1=-1= ; ; a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2= = .x(x+1)x(x+1)(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)(a+b)(a+b)2 2观察观察“回忆回忆”与与“探究探究”，你能发现它们之，你能发现它们之间间的联系与区别吗？的联系与区别吗？回忆回忆 x(x+1)= x2+x ; (x+1)(x-1)= x2-1 ; (a+b)2= a2+2ab+b2 .探究探究 x2+x= x(x+1) ; x2-1= (x+1)(x-1) ; a2+2ab+b2= (a+b)2 . 把一个多项式化为几个整

3、式的把一个多项式化为几个整式的 乘积形式，像这样的式子的变形叫做把这乘积形式，像这样的式子的变形叫做把这个多项式个多项式因式分解因式分解，也叫做把这个多项，也叫做把这个多项式式分解因式分解因式。乘积乘积x x2 2-1-1 (x+1)(x-1)(x+1)(x-1)因式分解因式分解整式乘法整式乘法如何把多项式如何把多项式 xy+xz+xw 因式分解？因式分解？ 把乘法分配律从右到左地把乘法分配律从右到左地使用，便得出使用，便得出 xy+xz+xw=x( (y+z+w) ). 像上面那样，如果一个多项式的各项有公因像上面那样，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多式，

4、可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做项式因式分解的方法叫做提公因式法提公因式法.例例1 把把5x2- -3xy+x因式分解因式分解 .举举例例分析分析 多项式各项均含有多项式各项均含有x，因此公，因此公因式为因式为x.第第3项将项将x提出后，括号内提出后，括号内的因式为的因式为1.解解5x2- -3xy+x= x( (5x- -3y+1) ). 1. 说出下列多项式中各项的公因式：说出下列多项式中各项的公因式：练习练习答：公因式是答：公因式是3y或或- -3y.（1）- -12x2y+18xy- -15y；23 2 （ ） r h+r .答：公因式是答：公因式是 .2r

5、答：公因式是答：公因式是2xm- -1yn- -1.（3）2xmyn- -1- -4xm- -1yn ( (m，n均为大于均为大于1的整数的整数）例例2 把把4x2 - -6x因式分解因式分解.举举例例分析分析 先确定公因式的系数，再确先确定公因式的系数，再确定字母定字母. 这两项的系数为这两项的系数为4，6，它们它们的最大公约数是的最大公约数是2；两项的字母部分两项的字母部分x2与与x都含有字母都含有字母x，且且x的最低次数的最低次数是是1，因此公因式为因此公因式为2x.解解4x2 - - 6x= 2x( (2x- -3) ) 2. 在下列括号内填写适当的多项式：在下列括号内填写适当的多项式

6、：3x2- -2x+1（1）3x3- -2x2+x= x( ( ) )（2）- -30 x3y2+48x2yz = - -6x2y ( )( )5xy- -8z练习练习例例3 把把8x2y4- -12xy2z因式分解因式分解. 举举例例分析分析 公因式的系数是公因式的系数是8 与与12的最大的最大公约数公约数4；公因式含的字母是各项中公因式含的字母是各项中相同的字母相同的字母x 和和y，它们的指数取各它们的指数取各项中次数最低的，因此公因式为项中次数最低的，因此公因式为4xy2 .解解 8x2y4- -12xy2z= ( (4xy2) )2xy2- -( (4xy2) )3z= 4xy2( (

7、2xy2- -3z).).3. 把下列多项式因式分解：把下列多项式因式分解：答案：答案：y( (3x- -5y+1) )（1）3xy- -5y2+y；（2）- -6m3n2- -4m2n3+10m2n2.答案：答案：- -2m2n2( (3m+2n- -5) )（3）4x3yz2- -8x2yz4+12x4y2z 3.答案：答案：4x2yz2( (x- -2z2+3x2yz) )练习练习第二课时第二课时第二课时下列多项式中各项的公因式是什么？下列多项式中各项的公因式是什么？说一说说一说（1）2am( (x+1) )+ +4bm( (x+1)+)+8cm( (x+1) )；（2）2x( (3a-

8、 -b) )- -y( (b- -3a) )；答：公因式是答：公因式是2m( (x+ +1) ).答：公因式是答：公因式是( (3a- -b) ).2am( (x+1) )，4bm( (x+1) )与与8cm( (x+1) )的公因式的公因式是是2m( (x+1) ).b- -3a可以看做可以看做- -( (3a- -b) )，所所以以2x( (3a- -b) )与与y( (b- -3a) )的公因的公因式是式是3a- -b .例例4 把把下列多项式下列多项式因式分解因式分解.举举例例（1） x( ( x - -2) ) 3( (x- -2) ) ；（2）x( (x - -2) )- -3(

9、( 2- -x) ) 解解 x( (x- -2) )- -3( (x- -2) )= ( (x- -2)()(x- -3) )（1） x( ( x - -2) ) 3( (x- -2) ) ；（2）x( (x - -2) )- -3( ( 2- -x) ) = x( (x- -2) )- -3 - -( (x- -2)解解 x( (x - -2) )- -3( ( 2- -x) ) = x( ( x- -2) )+3( (x- -2) )= ( (x- -2)()(x+3) ). 例例5 把把 ( (a+c)()(a- -b) )2- -( (a- -c)()(b- -a) )2因式分解因式分

10、解.举举例例解解 ( ( a+c)()(a- -b) )2- -( (a- -c)()(b- -a) )2= ( (a+c)()(a- -b) )2 - -( (a- -c)()(a- -b) )2= ( (a- -b) )2(a+c) )- -( (a- -c)= ( (a- -b) )2( (a+c- -a+c) ) = 2c( (a- -b) )2例例6 把把12xy2( (x+y) )- -18x2y( (x+y) ) 因式分解因式分解. 举举例例解解 12xy2( (x+y) )- - 18x2y( (x+y) )= 6xy( (x+y)()(2y- -3x).). 因式分解时，如何确定多项式各项的因式分解时，如何确定多项式各项的公因式公因式？议一议议一议把下列多项式因式分解把下列多项式因式分解： 练习练习（1）y( ( x- -y) ) +x( (x- -y) ) ；（2）y ( (x- -y) ) +x( (y- -x) ) ；（3