定积分基本计算公式定积分的计算公式

1、一一 定积分计算的基本公式定积分计算的基本公式 xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记( )( ).xaxf t dt 积分上限函数积分上限函数4. 定积分的计算定积分的计算abxyoxx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得( ),fx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x.xxx 在在 与与之之间间补充补充 ( )( )( )( )f b

2、x b xf a x a x 证证: dttfxfxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxf ()()( )( )b xa xdfxf t dtdx 例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.证证 xdtttfdxd0)(),(xxf

3、 xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxf ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxf)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxf证证, 1)(2)(0 dttfxxfx, 0)(2)( xfxf, 1)( xf, 01)0( f 10)(1)1(dttff 10)(1dttf, 0 令令基本公式基本公式cxxf )()(,bax 证证令令ax ,)()(caaf 0)()( dttfaaa,)(caf ),()()(a

4、fxfdttfxa ,)()(cdttfxfxa 令令 bx).()()(afbfdxxfba )()()(afbfdxxfba 基本公式表明基本公式表明 bafx 注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系之间的关系例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式202sincosxxx .23 例例5 5 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 10

5、2152dxxdx原式原式. 6 xyo12例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 例例7 7 求求 解解.112dxx dxx 12112ln|x . 2ln2ln1ln 解解 面积面积xyo 0sin xdxa0cos x . 2 二二 定积分的换元公式定积分的换元公式定理定理证证),()()(afbfdxxfba ( )( ),tft 令令dtdxdxdft )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dttt

6、f)()( )()( ff ),()(afbf ( )( )( )baf xdxf bf a )()( .)()(dtttf 应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）例例9 9 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 例例10 10 计算计算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20c

7、ossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf例例1111 当当)(xf在在,aa 上连续，且有上连续，且有 )(xf为偶函数，则为偶函数，则 aaadxxfdxxf0)(2)(； )(xf为奇函数，则为奇函数，则 aadxxf0)(. 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 奇函数奇函数例例12 12 计算计算解解.11c

8、os21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积证证tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112x

9、dx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf三、定积分的分部积分法三、定积分的分部积分法定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式证证 ,vuvuuv (),bbaauv dxuv ,bbbaaauvu vdxuv dx.bbbaaaudvuvvdu例例1414 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 则则例例1515 计算计算解解.2cos140 xxd

10、x,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 401tan2xx xdxtan2140 401lnsec82x .42ln8 例例1616 计算计算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 解解例例1717 设设 求求 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21x

11、fx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf例例1818 证明定积分公式证明定积分公式 2200cossinxdxxdxinnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxn

12、dun ,cos xv dxxxnxxinnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxninnn 22002sin)1(sin)1( nninin)1()1(2 21 nninni积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式ni4223 nninni,直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止,214365223221202immmmim ,3254761222122112immmmim ), 2 , 1( m,2200 dxi, 1sin201 xdxi,221436522322122 mmmmim.325476122212212 mmmmim于是于是四、杂例四、杂例例例19 19 计算极限计算极限111lim12nnnnn1111