平面弯曲变形课件

1、平面弯曲变形110.7 10.7 梁的弯曲变形及刚度条件梁的弯曲变形及刚度条件7-1概述概述平面弯曲变形2概述概述平面弯曲变形3概述概述平面弯曲变形410.7.1 10.7.1 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程一、基本概念一、基本概念挠曲线方程：挠曲线方程：)(xfw 由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠度转角关系为：dxdw tan挠曲线挠曲线wxxw挠度挠度 转角转角挠度挠度w：截面形心：截面形心在在w方向的位移。方向的位移。转角转角：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。7-2平面弯曲变形5二、挠曲线

2、的近似微分方程二、挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到：zEIM1忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响zEIxMx)()(1 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程平面弯曲变形6由数学知识可知：由数学知识可知：322211)(dxdydxyd 略去高阶小量，得略去高阶小量，得221dxwd zEIxMdxwd)( 222M(x) 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) b。解解1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02 2）弯矩方程）弯矩方程 axxlFbxFxMAy 11

3、110 ,AC AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB CB 段：段：maxwab1x2xACDFxAyFByFABwB 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形平面弯曲变形113 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分112112xlFbxMdxwdEI )(1211112CxlFbxEIdxdwEI )( 1113116DxCxlFbEIw AC 段：段：ax 10)()(axFxlFbxMdxwdEI 22222222222222222CaxFxlFbxEIdxdwEI )()( 2223232662DxCaxFxlFbEIw

4、)(CB 段：段：lxa 2maxwab1x2xACDFxAyFByFAB wB 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形平面弯曲变形124 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数022 )(,lwlx00011 )(,wx代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件)()(,2121aaaxx )()(,2121awawaxxlFbFblCC661321 021 DDmaxwab1x2xACDFxAyFByFABwB 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形平面弯曲变形135 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程)(2221621bllFbxlF

5、bEI 12231661xbllFbxlFbEIw)( AC AC 段：段：ax 10)()(2222222622bllFbaxFxlFbEI 22232322666xbllFbaxFxlFbEIw)()( CB CB 段：段：lxa 2maxwab1x2xACDFxAyFByFABwB 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形平面弯曲变形146 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，0 dxd )(6,maxalEIlFablxB 令令 得，得，0dxdw)(39)(,3322max22EIlblFbwblxmaxwf maxwab1x2xACDFxAyFByFABwB

6、 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形平面弯曲变形15讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？平面弯曲变形1610.7.3 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形平面弯曲变形17例例3 3 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求均为已知。求C 截面截面的挠度的挠度wC ；B截面的转角截面的转角 B B1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解321CCCCwwww321BBBB wC1wC2wC32 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C截面的截面的挠度和挠度和B截面的转角截面的转角。EIqlB2431 EIqlB1631 EIqlB333

7、 EIqlwC384541 EIqlwC4842 EIqlwC1643 解解 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形平面弯曲变形183 3） 应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和作用时的结果求和 EIqlEIqlEIqlEIqlwC38411164838454444 EIqlEIqlEIqlEIqlB4811316243333 wC1wC2wC3平面弯曲变形19例例4 4 已知：悬臂梁受力如图已知：悬臂梁受力如图示，示，q、l、EI均为已知。求均为已知。求C截面的挠度截面的挠度wC和转角和转角 C C1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表

8、可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效了不改变原来载荷作用的效果，在果，在AB 段还需再加上集段还需再加上集度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均布载荷。荷。 Cw平面弯曲变形20Cw2Cw1Cw2Bw,EIqlwC841 ,248128234222lEIqlEIqllwwBBC EIqlC631 EIqlC4832 EIqlwC3844143 3）将结果叠加）将结果叠加 EIqlC48732 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用

9、的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C截截面的挠度和转角。面的挠度和转角。 平面弯曲变形21思考题：求图示简支梁的思考题：求图示简支梁的wc.aaCABq平面弯曲变形22B求图示外伸梁的求图示外伸梁的A截面挠截面挠度和度和B截面转角。截面转角。可采用逐段刚化方法求解可采用逐段刚化方法求解思考题思考题平面弯曲变形23 结构形式叠加（逐段刚化法结构形式叠加（逐段刚化法) ) 原理说明原理说明+等价等价等价等价BCFL2f1xf21fff=AxFL1L2BCffFABC刚化刚化AC段段FL1L2ABC刚化刚化BC段段FL1L2f2ABCMxf平面弯曲变形24B求图示外伸梁的求图示外伸梁的A截面挠

10、截面挠度和度和B截面转角。截面转角。A A截面挠度截面挠度思考题思考题awfBAA 1 EIlFfpA33aEIalFp 3B B截面转角截面转角EIalFEIMlpB33 平面弯曲变形25讨讨 论论叠加法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？平面弯曲变形2610.7.4 10.7.4 梁的刚度校核梁的刚度校核刚度条件刚度条件,maxmax fwf建筑钢梁的许可挠度：建筑钢梁的许可挠度：1000250ll机械传动轴的许可转角：机械传动轴的许可转角：30001精密机床的许可转角：精密机床的许可转角：500017-5平面弯曲变形27 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆

11、轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B 处转处转角不超过许用数值。角不超过许用数值。 B1）由计算的承受集中载荷的外伸梁）由计算的承受集中载荷的外伸梁B 处的转角为：处的转角为： EIFlaB3 解解例例5 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承。轴承B处的许可转处的许可转角角 =0.5。根据刚度要求确。根据刚度要求确定轴的直径定轴的直径d。EIMlB3 查查表表得得平面弯曲变形28B2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度条件确定轴的直径： B 111mmm101115010206318012102064318064342934 .

12、 EFlad 1803EIFla EFlaI3180 EFlad3180644 例例5 5 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，alm，l2m，E=206 GPa。轴承轴承B处的许可转角处的许可转角 = =0.5。根。根据刚度要求确定轴的直径据刚度要求确定轴的直径d。平面弯曲变形2910.8 10.8 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁1.1.基本概念：基本概念：超静定梁：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言从维持平衡角度而言, ,多余的约束多余的约束超静定次数：超静定次数：

13、多余约束或多余支反力的数目。多余约束或多余支反力的数目。2.2.求解方法：求解方法：解除多余约束，建立相当系统解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变比较变形，列变形协调条件形协调条件由物理关系建立补充方程由物理关系建立补充方程利用利用静力平衡条件求其他约束反力。静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统用多余约束力代替多余约束的静定系统7-6平面弯曲变形30 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA解解例例6 6 求梁的支反力，梁的抗弯求梁的支反力，梁的抗弯刚度为刚度为EI。 2a(d)(c)(b)(a) aM

14、MBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1 1）判定超静定次数）判定超静定次数2 2）解除多余约束，建立相当系统）解除多余约束，建立相当系统(d)ABCFByABFC0 ByFBFBBwww)()(3 3）进行变形比较，列出变形协）进行变形比较，列出变形协调条件调条件 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁平面弯曲变形314 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方程 EIFaaaEIaFwFB314296232 )()()(EIaFwByFBBy383 )(03831433 EIaFEIFaBy所以所以FFBy47 4 4）由整体平衡条件求其他约束反力）由整

15、体平衡条件求其他约束反力 )(),(FFFaMAyA432 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFCA AM MA Ay yF F 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁平面弯曲变形32解除解除BC杆的约束代之杆的约束代之以约束反力以约束反力解：解： 以悬臂粱作为静定基以悬臂粱作为静定基aCEAFNwB lBCEIaFEIaqwNB328234)()( EAaFlNBCBCBlwIAaAqaFN38623 Aq2aaBCEAEIq

16、ABEIFN2aBCBlw ：或或变形协调方程为：变形协调方程为：求梁的支反力求梁的支反力平面弯曲变形33例例7 梁梁AB 和和BC 在在B B 处铰接，处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度两端固定，梁的抗弯刚度均为均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。求约束反力。求约束反力。 从从B 处拆开，使超静定结构变处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：21BBww BBFFFB wB1 FBwB2物理关系物理关系EIFEIqwBB3484341 EIFEIFwBB3424362322 解解 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁

17、平面弯曲变形34FB FBwB1wB2kN7584842046104023342. BF代入得补充方程：代入得补充方程： EIFEIFEIFEIqBB342436234843234 确定确定A 端约束力端约束力04, 0 qFFFBAykN25.7175. 82044 BAFqF0424, 0 BAAFqMM mkN12575. 842204424 BAFqM 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁平面弯曲变形350, 0 FFFFCBy确定确定B 端约束力端约束力 kN75.4875. 840 BCFFF042, 0 BCCFFMM kN.m11540275. 8424 FFM

18、BC 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁FB FBwB1wB2平面弯曲变形36A、B 端约束力已求出端约束力已求出)(kN25.71 AF)kN(75.48 CF)(mkN125 AM)m(kN115 CM用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁平面弯曲变形37一、降低一、降低 Mmax 合理安排支座合理安排支座合理布置载荷合理布置载荷6-710.9 提高梁承载能力的措施提高梁承载能力的措施平面弯曲变形38合理布置支座合理布置支座FFF平面弯曲变形39合理布置支座合理布置支座平面弯曲变形40改改变变支支座座形形式式合理布置支座合理布置支座平面弯曲变形41F合理布置

19、载荷合理布置载荷, ,使使 M max 尽可能小尽可能小合理布置载荷合理布置载荷平面弯曲变形42EIFLw3max021. 0EIFLw3max014. 0EIFLw3max0073. 0Mx3FL/16MxFL/4MxqL2/10合理布置载荷合理布置载荷FL/43L/4FL/2L/2F=qLL/54L/5对称对称平面弯曲变形43改改变变载载荷荷类类型型%5 .6212CCww合理布置载荷合理布置载荷平面弯曲变形44EIqLw43max10326. 0 超静定梁超静定梁EIqLw4max013.0qL8qL2Mx322maxqLM 超静定梁超静定梁qL/2L/2平面弯曲变形45采用超静定结构采

20、用超静定结构平面弯曲变形46采用超静定结构采用超静定结构平面弯曲变形47二、减小梁的跨长二、减小梁的跨长6-7减小梁的跨长对提高梁的刚度尤为明显减小梁的跨长对提高梁的刚度尤为明显, ,是是提高梁提高梁刚度的重要措施刚度的重要措施. . qL/2L/210.9 提高梁承载能力的措施提高梁承载能力的措施平面弯曲变形48三、选用三、选用合理截面合理截面, ,增大增大WZ 合理设计截面合理设计截面合理放置截面合理放置截面6-710.9 提高梁承载能力的措施提高梁承载能力的措施平面弯曲变形4962bhWZ 左62hbWZ 右合理放置截面合理放置截面平面弯曲变形50合理设计截面合理设计截面平面弯曲变形51充分利用材料特性充分利用材料特性合理设计截面合理设计截面脆性材料脆性材料： maxmax, yy 宜上下不对称截面宜上下不对称截面：T 形，形，不等边工字型，不等边矩形框等不等边工字型，不等边矩形框等； maxy maxyZ 中性轴偏向受拉区的一侧中性轴偏向受拉区的一侧理想的中性轴的位置理想的中性轴的位置: :应是最大拉应力和最大压应是最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。应力同时达到许用应力。maxmaxmaxmaxmaxmax yIMyIMzzmaxmax yy平面弯曲变形52讨论：讨论