正弦定理(课堂使用)

1、a1第一章第一章 解三角形解三角形 1.问题的引入问题的引入: .(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月明月 高悬高悬,我们仰望夜空我们仰望夜空,会有无限遐想会有无限遐想,不禁会问不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样科学家们是怎样 测出来的呢？测出来的呢？a3(2)设设A,B两点在河的两岸两点在河的两岸, 只给你米尺和量角只给你米尺和量角设备设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗不过河你可以测出它们之间的距离吗?AB我们这一节所学习的内容就是解决这些问题我们这一节所学习的内容就是解决这些问题题的有力工具题的有力工具.a4

2、回忆一下直角三角形的边角关系回忆一下直角三角形的边角关系? ABCcbasinacA 两等式间有联系吗？两等式间有联系吗？sinsinabcAB sin1C sinsinsinabcABC 思考思考:对一般的三角形对一般的三角形,这个结论还能成立吗这个结论还能成立吗?1.1.1 正弦定理正弦定理sinbcB a5(1)当当 是锐角三角形时是锐角三角形时,结论是否还成立呢结论是否还成立呢?ABC D如图如图:作作AB上的高是上的高是CD,由由三角函数的定义三角函数的定义,得到得到.sinsinbcAEBCBC 同同理理, , 作作有有 sinsinsinabcABC 1.1.1 正弦定理正弦定理

3、sin ,sinCDaB CDbA sinsinaB bA 所所以以 sinsinabAB 得得到到 BACabcE(2)当当 是钝角三角形时是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立以上等式是否仍然成立?ABCBACbcaDCDABABD作交的延长线于点sin,sinCDACDbAb即sin 180sin ,sinCDBBCDaBa即sinsinbAaBsinsinabAB即sinsinacAC同理：sinsinsinabcABCa7CcBbAasinsinsin 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即对角的正弦的比相等，即含三角形的三边及三

4、内角含三角形的三边及三内角定理结构特征定理结构特征:1.1.1 正弦定理正弦定理一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和它和它们的对边们的对边a a，b b，c c叫做三角形的元素。三叫做三角形的元素。三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形角形a8剖析定理、加深理解可以解决三角形中两类的问题：可以解决三角形中两类的问题： 两角和一边，求其他角和边两角和一边，求其他角和边 两边和其中一边的对角，求另一边两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角sinsinsinabcABC正弦定理

5、：例例1 在在 中中, , 解三角形解三角形. ABC 0030 ,135 ,2ABa 两个内角和任何一边，解三角形两个内角和任何一边，解三角形变式：假设将变式：假设将a=2 改为改为c=2，结果如何？，结果如何？sinsinsinabcABC3( 62)24 3)26(5 ,210(1)(1) 已知已知 , ,求求 ; ; 10,45 ,30cAC, a b练习一练习一(2) ,(2) ,求求 ; ;(3) ,(3) ,求求 . .3,45 ,60cABb12,30 ,120bAB在在ABC中中a例2、 a=16， b= ， A=30,解三角形两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角,解三角

6、形解三角形解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以60,或120当 时60C=90.32cC=30.16sinsinACac316当120时B16300ABC1631683练习二练习二B=300无解无解013,60 ,1,ABCbBca AC、中，求 和00(1)45 ,2,2,10 3(2)60 ,4,3ABCAabBABCAabB在中，已知 求在中，已知求2,90,30aACa134.探究课题引入时问题探究课题引入时问题(2)的解决方法的解决方法ABCbc1.1.1 正弦定理正弦定理bsinbsin AB =AB =sin(sin( + + )

7、) 一个定理一个定理 两个应用两个应用 一个思想：一个思想： sinsinsinabcABC (1) 两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角；两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角； (2)两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解此时可能有一解、二解、无解 1.1.1 正弦定理正弦定理小结小结:有特殊到一般的探究问题的思想有特殊到一般的探究问题的思想.阅读课本阅读课本P8?解三角形的进一步讨论解三角形的进一步讨论?，发现多解的奥秘！发现多解的奥秘！小组合作探求：小组合作探求：sin,ABCAA(1)

8、在中，由的值讨论有两个角或一个角，所以解不唯一。(2)a、b及及A作三角形，其解的情况如下：作三角形，其解的情况如下： A为锐角时为锐角时 A为直角或钝角时为直角或钝角时 ACababsinA无解无解ACaba=bsinA一解一解ACabbsinA a b 两解两解BB1B2BACbaab一解一解absinAbsinAbsinAABabCABabCABabCab 一解一解 15,4,120abA ，求，求B； 判断判断 解的个数：解的个数：ABC 25,4,90abA，求，求B； 10 335,903abA，求，求B； 一解一解 一解一解 无解无解 两解两解 练习三：练习三：.B,30,28,

9、20)4(求Aba2R为为ABC外接圆直径外接圆直径2sinsinsinabcRABC求证：例例3证明：证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,902 ,2sinsinabRRAB同理,OBBCAC作外接圆过 作直径连2sinsinsinabcRABC asinAbsinBcsinC2R.=2RbsinBBABCbOABCbOBABCbOCRcBRbARasin2,sin2,sin2CBAcbasin:sin:sin:由公式得：由公式得：公式变形：公式变形：2sinsinsinabcRABC2sinsinsinsinsinsinabca b cRABCABC 作

10、用：可实现边角之间的互化，作用：可实现边角之间的互化，BAbaBAsinsin 2 在 在 中 ， 假 设中 ， 假 设 ，那么那么 是是( ) A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等边三角形等边三角形2cos2cos2cosCcBbAa ABC 1 1在在 中，一定成立的等式是中，一定成立的等式是 ABC BbAaA.sinsin BbAaBcoscos. AbBaC.sinsin AbBaDcoscos. CABC D 练习练习a25 一个定理一个定理 两个应用两个应用 一个思想：一个思想： sinsinsinabcABC (1) 两角及任意一边，可以求出其他两边