线性代数矩阵习题课

1、1、设设 ,求求 an 2an-1 (n2)。 a= 1 0 1 0 2 0 1 0 1解解：an 2an-1 =(a-2e )an-1=-1 0 1 0 0 0 1 0 -1 an-1=-1 0 1 0 0 0 1 0 -1 a an-2=-1 0 1 0 0 0 1 0 -1 an-2 1 0 1 0 2 0 1 0 1=0线性代数课（一）2、设设n 维向量维向量 =(a , 0 , , 0 , a)t(a0),其中其中a的逆矩阵为的逆矩阵为b b，求求a的值的值。a=e-t , b=e-t/a ,解：解：ab=e+(1-1/a-2a)t,ab=e 1-1/a-2a =0a=-1/2 (

2、a =1舍去舍去)线性代数习题习题课（一）3、设设a与与a+ +e均可逆均可逆，g=e-(a+e)-1 ,求求 g-1。g =e-(a+e)-1 =a(a+e) -1g -1=(a(a+e) -1)-1=(a+e)a-1=(a+e)(a+e) -1-(a+e)-1由由a与与a+ +e均可逆可知均可逆可知g也可逆，且也可逆，且线性代数习题习题课（一）4、设四阶矩阵设四阶矩阵a=( , r2, r3, r4), b=(, r2, r3, r4),|a+b|=|+，2r2, 2r3, 2r4| =8(|a|+|b|) =40 其中其中 ， ，r2, r3, r4均为均为4维向量维向量，且已知且已知|

3、 |a|=|=4 , |b|=1 , 求求|a+b|。线性代数习题习题课（一）410011103a5、设设且且 ax=a+2x, 求矩阵求矩阵x.线性代数习题习题课（一）解解: 因为因为 ax=a+2x,所以所以(a2e)x=a,而而,2100111012ea又又100210010011001101)|2(aea线性代数习题习题课（一）,322100234010225001初等行变等所以所以322234225x线性代数习题习题课（一）6、设设001011a求求 an线性代数习题习题课（一）解：解：设设 a=e+h，hn=0(n3),，h= 0 1 1 0 0 1 0 0 0 则则h2= 0 0

4、 1 0 0 0 0 0 0 其其中中 故故 an=(e+h)n= n e +n-1h+n-2h2 n nn-1 n(n-1) n-2/2 0 n nn-1 0 0 n=线性代数习题习题课（一）7、设矩阵设矩阵6352132111a且且r(a)=2，求求 和和 的值的值。线性代数习题习题课（一） -1 1 2 3 63 -1 2解：解：a r2r3 r2-5r1 r3-3r1 -1 1 20 8 -5 -40 +3 -4 -4 r3-r2 -1 1 20 8 -5 -40 -5 +1 0 又又 r(a)=2,故故 = 5 , = -1线性代数习题习题课（一）8、多项式多项式 , x -1 0

5、x 2 2 3 x-7 10 4 3 1 -7 1 x f(x)=求求f(x)中常数项的值中常数项的值。解：观察解：观察f(x)的结构可知，常数项的值为的结构可知，常数项的值为d =-1(-1)1+23(-1)2+3(2-3)=3线性代数习题习题课（一）9、设、设 , ,求求a2014。133121a解：注意到解：注意到a3=-e , a6=e，故故 a2014=(a6)335a3a=-a线性代数习题习题课（一）10、计算行列式、计算行列式 1 1 2 23 -1 -1 12 2 1 -11 2 3 0 d=解：解：5 5 4 05 1 0 02 2 1 -11 2 3 0 d=5 5 4 5

6、 1 0 1 2 3 =-20 5 4 0 1 0 -9 2 3 =-20 4 -9 3 =24线性代数习题习题课（一）11、设设n阶矩阵阶矩阵a的伴随矩阵为的伴随矩阵为a*, (1) 若若| a | = 0, 则则| a* | = 0; 证明证明:(2) |a*| = | a | n1.线性代数习题习题课（一）证证(1): 当当a = 0时时, 则则 | a |的所有代数余子式的所有代数余子式从而从而a* = 0, 故故| a* | = 0.当当 a o且且| a | = 0时时, , 用反证法证明用反证法证明.假设假设| a* | 0, 则有则有a*(a*)1 = e,故故 a = ae

7、= aa*(a*)1 = aa*(a*)1 = | a |e(a*)1 = o,这与这与a 0矛盾矛盾, 故当故当| a | = 0时时, | a* | = 0.均为均为0,线性代数习题习题课（一）(2) 当当| a | = 0时时, , 则由则由(1)得得| a* | = 0, 从而从而| a* | = | a |n1成立成立.当当| a | 0时时, , 由由 aa* = | a | e 得得,| a | | a* | = | aa* | = | a | e | = | a |n,由由| a | 0得得, | a* | = | a |n1.线性代数习题习题课（一） 12、设设a a为可逆矩

8、阵，证明其伴随矩阵为可逆矩阵，证明其伴随矩阵a*也是也是证证: : a为可逆矩阵为可逆矩阵，则则|a* |=|a|n-10，故故a*是可逆的是可逆的。 又又 a*=|a|a-1，故故(a-1)*=|a-1|(a-1)-1=|a-1|a显然显然 a*(a-1)*=e，故故(a*)=(a-1)*。可逆的可逆的，且且(a*)=(a-1)*。线性代数习题习题课（一）13、设矩阵、设矩阵a,b满足满足a*ba=2ba-e,其中其中a=diag(1,-2,1), a*为为a的伴随矩阵，求矩阵的伴随矩阵，求矩阵b解解:|a|=-2,故故a可逆，且可逆，且 a-1=diag(1,-1/2,1),又又 a*=|

9、a|a-1=-2a-1=diag(-2,1,-2)故故2(e+a-1)ba=e , 即即b=(e+a-1)-1a-1/2故故b=diag(-1,1/2,-1)又又 (e+a-1)-1=diag(-1 , 1/2 , -1)线性代数习题习题课（一）14、设、设n阶矩阵阶矩阵 a、b、a+b可逆，可逆，试证明试证明:a-1+b-1可逆可逆,并求其逆矩阵。并求其逆矩阵。证明：证明：a+b=a(a-1+b-1)b,|a+b|=|a|a-1+b-1|b|,又因为又因为 a、b、a+b可逆，可逆，故故a、b、a+b的行列式不为零。的行列式不为零。故故a-1+b-1的行列式不为零，的行列式不为零，即即a-1

10、+b-1为可逆矩阵。为可逆矩阵。又又a-1(a+b)b-1=a-1+b-1,故故(a-1+b-1)-1=b(a+b)-1a线性代数习题习题课（一）15、设行列式、设行列式 ， 1 1 2 23 -1 -1 12 2 1 -11 2 3 0 d=解：解：1 1 2 23 -1 -1 11 -1 1 -11 2 3 0d=2 1 3 2 -4 4 3 2 1 =34第三行各元素余子式之和。第三行各元素余子式之和。 1 2 1 33 2 -4 41 0 0 01 3 2 1 =显然显然 m31+m32+m33+m34 =d=34线性代数习题习题课（一）线性代数习题习题课（一）16、设设 1=(1 ,

11、 1 , 1)t, 2=(1 , 2 , 3)t, 1=(1 , 3 , t)t(1)问问t为何值时为何值时，向量组向量组 1、 2、 3线性无关？线性无关？(2)问问t为何值时为何值时，向量组向量组 1、 2、 3线性相关？线性相关？线性相关时，将线性相关时，将 3 由由 1、 2线性表出。线性表出。解解：( 1, 2, 1)= 1 1 1 2 3 1 3 t 1 1 0 1 2 0 0 t-5 0 -1 0 1 2 0 0 t-5故故t=5时时，向量组向量组 1、 2、 3线性相关，线性相关，且且 3=- 1+2 2线性代数习题习题课（一）17、设、设 1=m 1+3 2+ 3 , 2=2

12、 1+(m+1) 2+ + 3 , 3=-2 1-(m+1) 2+(m-1) 3 , 其中向量组其中向量组 1、 2、 3线性无关，线性无关，试讨论向量组试讨论向量组 1、 2、 3线性相关性。线性相关性。线性代数习题习题课（一）解：解： ( 1 2 3)= ( 1 2 3)m 2 -2 3 m+1 -m-1 1 1 m-1 m 2 -2 3 m+1 -m-1 1 1 m-1=m(m-2)(m+1)故故m=0 ,否则否则向量组线性无关。向量组线性无关。或或m=-1 , 或或m=2时向量组线性相关。时向量组线性相关。aa154111、设设a为为n阶方阵阶方阵，a*为其伴随矩阵为其伴随矩阵，det

13、 (-1)n 3det(a)=1/3 , 则则线性代数习题习题课（一）2、设三阶方阵、设三阶方阵a0，b= ,且且ab=0，则，则t =4 3 5 4 t 3 5 3解：设解：设a=( 1 , 2 , ,3) , 则则ab=( 1+ +2 2+3 3 , ,3 1+4 2+5 3 , 5 1+t 2+3 3)由于由于ab=0，则则b的列向量为的列向量为ax=0的解的解又又三阶方阵三阶方阵a0，故故ax=0至多有两个至多有两个线性无关的解向量线性无关的解向量, ,即即r(b)2。 线性代数习题习题课（一）3、若若n阶矩阵阶矩阵a满足方程满足方程a2+2a+3e=0则则 a-1=ea2314、设设

14、a为三阶矩阵，且为三阶矩阵，且|a| = 1则则 |2a-1 +3a* |=53=125线性代数习题习题课（一）5、设、设a= ,则则 an= 3 0 0 0 1 0 0 0 4 3n 0 0 0 1 0 0 0 4n线性代数习题习题课（一）设设a= , 0 0 3 0 1 0 4 0 0则则 an= 12n 0 0 0 1 0 0 0 12na2n+1= 0 0 4n3n+1 0 1 0 4n+13n 0 0 a2n=6、设、设a= ,则则 a-1= 3 0 0 0 1 0 0 0 4 1/3 0 0 0 1 0 0 0 1/47、设设 =(a1 , a2 , , ,an) 0, =(b1

15、, b2 , , bn) 0且且a=t ，则则 r(a)= 1r(ab)minr(a) , r(b)线性代数习题习题课（一）设设a= , 0 0 3 0 1 0 4 0 0则则 a-1= 0 0 1/4 0 1 0 1/3 0 08、设设a为为4阶方阵阶方阵, 则则r(a*)= 1 r(a*)= n, 若若r(a)=n1, 若若r(a)=n-10, 若若r(a)n-2(2)若若矩阵矩阵a的秩的秩r(a)=2，a*为为a的伴随矩阵的伴随矩阵，则则r(a*)=0线性代数习题习题课（一）(1)若若矩阵矩阵a的秩的秩r(a)=3，线性代数习题习题课（一）9、设设a为为43矩阵矩阵，且且r(a)=2,

16、而而b= , 1 0 2 0 2 0-1 0 3则则 r(ab)=210、设设a= , k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k且且r(a)=3,则则 k =-311、设三阶矩阵设三阶矩阵a= , b= , 1 2 1 2且|a|=2 , |b|=3, 则则|3a|=|a+b|= ,|a-b|=|at+bt|=5420020线性代数习题习题课（一）作 业 题 答 案1、设矩阵设矩阵2 0 4 11 -2 4 3a=1 2 -2 30 2 -1 4b=3 4 1 22 -3 2 -1c=则则(1)a+b= 2 2 4 1 0 3 72a-3c=-2 -2 -3 1-2 5

17、-3 5b-c=-5 -12 5 -4-4 5 2 9(2)若矩阵若矩阵x满足满足a+2x=c ,则则x =(c-a)/2=1/2 2 -3/2 1/21/2 -1/2 -1 -2(3) 若矩阵若矩阵y满足满足(2a+y)+3(b-y)=0 ,则则y=(2a+3b)/2 =7/2 3 1 11/2 1 1 5/2 9(4) 若矩阵若矩阵x、y满足满足3x-y=2a , x+y=b ,则则x=(2a+b)/4 =5/4 1/2 3/2 5/41/2 -1/2 7/4 5/2则则y=(3b-2a)/4 =-1/4 3/2 -7/2 7/4-1/2 5/2 -11/4 3/5作 业 题 答 案 4

18、-1 0 5-2 2 1 32、 设矩阵设矩阵a= , b= 1 0 -2 3 -2 -1 04 5 -3 2 1则则abt= 4 -1 0 5-2 2 1 3 1 4 5 0 -2 -3 -2 -1 2 3 0 119 18 28 5 -13 11= 作 业 题 答 案线性代数习题习题课（一）3、用初等变换将矩阵、用初等变换将矩阵a化成阶梯形矩阵、化成阶梯形矩阵、行最简形矩阵、及标准型行最简形矩阵、及标准型 。a=2 -1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6 -9 7 91 1 -2 1 42 -1 -1 1 24 -6 2 -2 43 6 -9 7 9 r1r2

19、r4-(r1+r2) r3-2r2 r2-2r11 1 -2 1 40 -3 3 -1 -60 -4 4 -4 00 6 -6 5 3(-1/4)r3 r4+r21 1 -2 1 40 -3 3 -1 -60 1 -1 1 00 2 -2 1 3 r3+3r2 r4-2r2 r2r31 1 -2 1 40 1 -1 1 00 -3 3 -1 -60 2 -2 1 31 1 -2 1 40 1 -1 0 00 0 0 2 -60 0 0 -1 3 r3r41 1 -2 1 40 1 -1 0 00 0 0 -1 30 0 0 2 -6 r1+r3 r1-r2 r4+2r3 -r31 0 -1 0

20、 70 1 -1 0 00 0 0 1 -30 0 0 0 0 c3+c1 c3-c2 c5-7c1 c3-3c41 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 0 c3c41 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 0作 业 题 答 案作 业 题 答 案4、求、求a的逆矩阵的逆矩阵(ae)= 1 1 -1 1 0 0 1 2 -3 0 1 0 0 1 1 0 0 1 r2-r1 1 1 -1 1 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 1 1 0 0 1 r3-r2 1 1 -1 1 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 0 3 1 -1 1

21、(1/3)r3 1 1 -1 1 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 0 1 1/3 -1/3 1/3r1+r3 r2+2r3 1 1 0 4/3 -1/3 1/3 0 1 0 -1/3 1/3 2/3 0 0 1 1/3 -1/3 1/3r1-r2 1 0 0 5/3 -2/3 -1/3 0 1 0 -1/3 1/3 2/3 0 0 1 1/3 -1/3 1/3作 业 题 答 案5、解矩阵方程、解矩阵方程:(ab)= 1 2 1 -1 3 3 2 4 5 3r2-3r1 1 2 1 -1 3 0 -4 1 8 -6(ax=b)(-1/4)r2 1 2 1 -1 3 0 1 -1/4 -2

22、 3/2r1-2r2 1 0 3/2 3 0 0 1 -1/4 -2 3/2 3/2 3 0 -1/4 -2 3/2 x=作 业 题 答 案6、解矩阵方程、解矩阵方程: (axb=c) 2 -4 3 2 0 1 1 -2 4 =a=e(r1, r2)=a-1, b=e(r2 , r3)=b-1,x=a-1cb-1=e(r1, r2)e(r2 , r3) 2 1 0 2 3 -4 1 4 -2作 业 题 答 案7、设矩阵、设矩阵a、b满足满足ab=2b+a,且且a= 3 0 1 1 2 0 0 1 4解、有题设可知：解、有题设可知：(a-2e)b=a(a-2e a)= 1 0 1 3 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 1 4 1 0 0 1 2 0 0 1 0 -4 5 2 0 0 1 2 -2 1b= 1 2 0-4 5 2 2 -2 18、计算行列式、计算行列式2 0 0 40 1 -1 20 -4 0 05 2 -3 8 d=2 0 40 -1 25 -3 8 =41 0 10 -1