角动量第五章角动量角动量守恒定律

1、 数学家和哲学家追求数学的最初生长点的研究，恰像一次向远处的地平线走去的旅行。终点似乎就在前面，可是走过去之后发现，它还在前方。 但是旅行者毕竟一次又一次地大开眼界。他发现了越来越广大的世界。 摘自张景中（院士）摘自张景中（院士） 数学与哲学数学与哲学同学们好！同学们好！?显然，这段话对物理学也适用。显然，这段话对物理学也适用。第五章第五章 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律角动量角动量转动惯转动惯量量 角动量的角动量的时间变化率时间变化率力矩力矩角动量角动量定理定理角动量角动量守恒定律守恒定律重要性：重要性：大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；大到星系

2、，小到基本粒子都有旋转运动；微观粒子的角动量具有量子化特征；微观粒子的角动量具有量子化特征；角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。学时：学时： 6难点：难点：角动量概念，角动量概念， 角动量定理及角动量守恒定律的应用角动量定理及角动量守恒定律的应用重点：重点：概念：概念：角动量，转动惯量，力矩，角冲量，角动量，转动惯量，力矩，角冲量，规律：规律：刚体定轴转动定律，刚体定轴转动定律， 角动量定理的微分形式和积分形式，角动量定理的微分形式和积分形式， 角动量守恒定律，角动量守恒定律， 0=cvmp总总5.1 5.1 角动量角动量 转动惯量转动惯量一

3、、角动量一、角动量由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜采用动量来量度转动物体的机械运动量。说明不宜采用动量来量度转动物体的机械运动量。*引入与动量引入与动量 对应的角量对应的角量 角动量角动量pl问题：问题：将一绕通过质心的固定轴转将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为多少？动量为多少？c mmopr1.1.质点的角动量质点的角动量vmrprl=定义：定义：prprmvrl=sin=大小：大小： p r方向：方向：xyz

4、m rpo o rl p服服从从右右手手定定则则。组组成成的的平平面面，和和垂垂直直于于prpm lpprlo，大大小小相相同同，则则：、若若为为参参考考点点：以以0or p作直线运动作直线运动设设m物理意义：物理意义：o r 0 lo为参考点：为参考点：以以* *质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。转运动的强弱。* *必须指明参考点，角动量才有实际意义。必须指明参考点，角动量才有实际意义。 iiiiciiiiiiciciiiiiiciiiicvmrvmrvmrvvmrvmrvmrrl 2.2.质点系角动量质点系角动量系统内所有质点

5、对同一参考点角动量的矢量和系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和 iiiiiiiiivmrprll ipo1ririm2r1p2p iciicivvvrrr ipocririmir c有有：对质心：对质心无无：对参考点：对参考点与与i无关无关iiiiciiiiiicvmrvmrvmrl iimm设设第一项：第一项： icciicvmrvmr即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上，即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上，该质点对参考点的角动量该质点对参考点的角动量以质心为代表，描述质点系整体绕参考点的旋转运以质心为代表，描述质点系整体绕参考点的旋转运动，称为质点系的动，称为质点系的轨道

6、角动量轨道角动量。ccvmrl 轨轨道道即即：由由mrmrmrmriiiciiic 第二项：第二项：0 ccciiivrmvmr质心对自己的位矢质心对自己的位矢iiiiciiiiiicvmrvmrvmrl ciiiciiivrmvmr ciiivmrmm 与与 i 无关无关iiiiciiiiiicvmrvmrvmrl 反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点o o的选择无关，的选择无关，描述系统的内禀性质：描述系统的内禀性质：自自旋旋l第三项：第三项：iiiivmr 各质点相对于质心角动量的矢量和各质点相对于质心角动量的矢量和于是：于是：自旋自旋轨道轨道llvm

7、rvmrliiiicc+=+=自自旋旋l轨道轨道ll轨轨道道l自自旋旋l与与 i 有关有关3.3.定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量 方向：沿方向：沿大小：大小：2iiiiiioiormvmrll 2iiiorml 即即对对的角动量：的角动量：imiiiiovmrl 转轴转轴 角速度角速度刚体上任一质点刚体上任一质点转轴与其转动平面交点转轴与其转动平面交点 绕绕 圆周运动半径为圆周运动半径为 imzimirivimoir 转动转动平面平面z刚体对刚体对 z 轴的总角动量为：轴的总角动量为： iiiiiiiizzmrmrll22 在轴上确定正方向，角速度在轴上确定正方向，角速度 表示为代数

8、量，则表示为代数量，则定义质点对定义质点对 z 轴的角动量为轴的角动量为:2izioi illm r mrmrllzzddd22 vmdor z对质量连续分布的刚体：对质量连续分布的刚体： jlz 刚体对刚体对 z 轴的总角动量为：轴的总角动量为：令：令： iiimrj2mrjd2 二、刚体对轴的转动惯量二、刚体对轴的转动惯量1.1.定义定义 iiimrj2刚体对某定轴的转动惯量等于其各质点的质量与刚体对某定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积求和。该质点到转轴距离的平方之积求和。若质量连续分布，则若质量连续分布，则mrjd2 转动惯量转动惯量mrjd2 刚体对轴的转动惯

9、量刚体对轴的转动惯量 j j与刚体总质量有关与刚体总质量有关与刚体质量分布有关与刚体质量分布有关与转轴的位置有关与转轴的位置有关2. 2. 计算计算积分元选取：积分元选取：md mdl,ldd线线元元：线线密密度度： s,sdd面面元元：面面密密度度： v,vdd体元：体元：体密度：体密度： mdmd练习练习1.由长由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过对过 a 垂直于纸面的轴的转动惯量垂直于纸面的轴的转动惯量llllamm2m3m4m5222232254232ml)l)(mm()l(mmlj 2302231031ddmllxlmxlmxmxjl 2

10、. 一长为一长为的细杆，质量的细杆，质量 m 均匀分布均匀分布 ，求该杆对过，求该杆对过杆一端端点且垂直于杆的杆一端端点且垂直于杆的 z 轴的转动惯量。轴的转动惯量。lmdoxxzxlmxmddd 3. 求质量求质量 m ,半径半径 r 的均匀球壳对直径的转动惯量的均匀球壳对直径的转动惯量24 rm dsin2d2drrlrs dsin21ddmsm dsin21dsindd3222mrmrmrj 023232dsin21dmrmrjj解：解：取离轴线距离相等的点的集合取离轴线距离相等的点的集合 为积分元为积分元orrld dm4. 求质量求质量 m ,半径半径 r 的均匀球体对直径的转动惯量

11、的均匀球体对直径的转动惯量rrvd4d2 334rm vmdd 342d2d32drrmrrmj 234052d2dmrrrmrjjr 解：解：以距中心以距中心 ，厚，厚 的球壳的球壳 为积分元为积分元rrdorrdrm教材教材p.89 一些均匀刚体的转动惯量表一些均匀刚体的转动惯量表注意：注意：对同轴的转动惯量具有可加减性。对同轴的转动惯量具有可加减性。or1r2m1m2同轴圆柱同轴圆柱2221122212rmrmjjjz 2221122212rmrmjjjz r1r2m1m2空心圆盘空心圆盘z平行轴定理平行轴定理cddm2mdjjcd 正交轴定理正交轴定理yxzjjj 对平面刚体对平面刚体

12、yxzo练习：练习：ca4lmbozl求长求长 l、质量、质量 m 的均匀杆对的均匀杆对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量解解2.2224874343314431mllmlmjjjoboaz 解解3.222248741214mllmmllmjjcz 243422487ddmllllmmljllz 解解1.用其它方法求：用其它方法求：一、质点角动量的时间变化率一、质点角动量的时间变化率tprptr)pr(ttldddddddd prl frtprtlvmvpvptr dddd0dd质点位矢质点位矢合力合力5.2 5.2 角动量的时间变化率角动量的时间变化率 力矩力矩frm 二、力矩二、力矩1. 1.

13、 对参考点的力矩：对参考点的力矩：大小：大小：fdrffr sin方向：方向：服从右手定则服从右手定则rf odmfrtl dd质点角动量的时间变化率等于质点角动量的时间变化率等于质点所受合力的力矩质点所受合力的力矩服服从从右右手手定定则则。组组成成的的平平面面和和垂垂直直于于方方向向：,fr sinfrfd 大大小小：力矩力矩 frfrffrfrmo/)(f/f frodmz2. 2. 对轴的力矩对轴的力矩zm第一项第一项/frm 1方向垂直于轴，其效果是改方向垂直于轴，其效果是改变轴的方位，在定轴问题中，变轴的方位，在定轴问题中，与轴承约束力矩平衡。与轴承约束力矩平衡。第二项第二项 frm

14、2方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，称为力对轴的矩，表为代数量：称为力对轴的矩，表为代数量： frmz即：即： xyzxyzzyxoyfxfkxfzfjzfyfifffzyxkjifrm xyzyfxfm 力对力对 o 点点 的力矩在的力矩在 z 轴方向的分量轴方向的分量注意：注意：力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。 ooommm21 zzzmmm21矢量和矢量和代数和代数和思考：思考： 00omf 00omf合力为零时，其合力矩是否一定为零？合力为零时，其合力矩是否一定为零？合力矩为零时，合力是否一定为零

15、？合力矩为零时，合力是否一定为零？ffooff例：例： 例例 质量为质量为 ，长为，长为 的细杆在水平粗糙桌面上的细杆在水平粗糙桌面上绕过其一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正绕过其一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正比，杆与桌面间的摩擦系数为比，杆与桌面间的摩擦系数为 ，求摩擦力矩。，求摩擦力矩。 ml 解：解：rkrrmddd 设杆的线密度设杆的线密度kr 22d2d2lrmrm,lmk 得得2021ddklrkrmml 由由omdfdzr rrlmgmgfd2dd2 frmdd mglrrlmgmml 32d2d022 2d2dlrmrm omdfdzr 实际意义实际意义ff rro半径半径 r ，质量，质量 m