高数下册复习

1、复复 习习 课课第八章第八章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数1 1、向量的概念、向量的概念定义定义:既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、单位向量、单位向量、2 2、向量的线性运算、向量的线性运算3 3、向量的表示法、向量的表示法向量的分解式：向量的分解式：kajaiaazyx ,zyxaaaa 向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：222|zyxaaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式

2、向量方向余弦的坐标表示式)1coscoscos(222 cos|baba 4 数量积数量积 (点积、内积点积、内积)zzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 sin|bac 5 向量积向量积 (叉积、外积叉积、外积)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式ba zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa （2）圆锥面）圆锥面222

3、zyx （1）球面）球面（3）旋转双曲面）旋转双曲面1222222 czayax1222 zyx6 特殊二次曲面的特性及其作图：特殊二次曲面的特性及其作图：(3) 抛物柱面抛物柱面 )0(22 ppyx(4) 椭圆柱面椭圆柱面 12222 byax(2) 圆柱面圆柱面 222ryx （1）椭球面）椭球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2）椭圆抛物面）椭圆抛物面)(同同号号与与qpzqypx 2222（3）马鞍面）马鞍面)(同同号号与与qp（4）单叶双曲面）单叶双曲面1222222 czbyax7 7 空间直线空间直线一般式方程一般式方程000 xxmtyyntzzpt 参数式

4、方程参数式方程对称式方程对称式方程000 xxyyzzmnp为直线的方向向量为直线的方向向量. .),(pnms ),(000zyx为直线上一点为直线上一点; 1111222200a xb yc zda xb yc zd 8 8 平面平面方程方程,cban ),(0000zyxmxyzon0mm平面的点法式方程平面的点法式方程0)()()(000 zzcyybxxa平面的一般方程平面的一般方程0 dczbyax1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc3210:21030 xyzlxyz 1 求过点求过点(1, 1, 1 ) 和直线和直线的平面方程的平面方程. . 3210

5、:21030 xyzlxyz 2 求过点求过点(1, 1, 1)且与直线且与直线垂直的平面方程垂直的平面方程. . 4 求以求以 端点的线段的端点的线段的11112222(,),(,)m xyzmxyz垂直平分面的方程垂直平分面的方程 .3210:21030 xyzlxyz 3 求过点求过点(1, 1, 1)且与直线且与直线平行的直线方程平行的直线方程. . 00sinlim11xyxayxy第九章第九章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用1、多元函数的极限计算多元函数的极限计算0011lim( sinsin)xyxyyx 1) 用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则用函数在一点

6、连续的定义和极限的四则运算法则2) 利用有界函数与无穷小乘积的性质利用有界函数与无穷小乘积的性质3) 利用变量对换化为一元函数极限利用变量对换化为一元函数极限4) 利用夹逼准则与两个重要极限利用夹逼准则与两个重要极限222200sin()limxyxyxy 2、多元函数的多元函数的连续连续、偏导数和可微的关系偏导数和可微的关系函数连续函数连续函数偏导存在函数偏导存在函数可微函数可微函数偏导连续函数偏导连续 222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy 讨论函数讨论函数 在点在点(0, 0)处的连续性，偏导数存在性，可微性处的连续性，偏导数存在性，可微性3、多元函数的一阶、二阶偏

7、导数、全微分计算、多元函数的一阶、二阶偏导数、全微分计算 , ),(yxuz dyyudxxudz ),(,),(,),(yxvvyxuuvufz zvuyxxvvzxuuzxz yvvzyuuzyz .,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数设设5、空间曲面的切平面、法向量、空间曲面的切平面、法向量6、可微函数的方向导数与梯度计算、可微函数的方向导数与梯度计算4、空间曲线的切线及法平面、空间曲线的切线及法平面 coscoscos .fffflxyz ,.l 其其中中为为 的的方方向向角角grad( ,),fffff x yxyz 求曲线的

8、切线及法平面求曲线的切线及法平面 ( (关键关键: : 抓住切向量抓住切向量) ) 求曲面的切平面及法线求曲面的切平面及法线 ( (关键关键: : 抓住法向量抓住法向量) ) 7、拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值、最值、拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值、最值 极值的必要条件极值的必要条件 求条件极值的方法求条件极值的方法 ( (消元法消元法, , 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法) ) 求解最值问题求解最值问题求求2245zxy在限制条件在限制条件2221xy时的最时的最大值大值和最小值和最小值. .1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）（1）二重积分在直角

9、坐标下的计算；）二重积分在直角坐标下的计算；( , )df x y dxd y21( )( )( , )dycyd yf x y d x )(2xyxoydba)(1yx)(2yxdcx)(1xyy21( )( )( ,)bxaxd xf x y d y 第十章第十章 重积分重积分（2）二重积分中二次积分的交换次序；）二重积分中二次积分的交换次序；（3）利用极坐标计算二重积分；）利用极坐标计算二重积分；( , )( cos , sin) d dddf x y d xd yf rrr r再根据再根据 d 的极坐标表示，将其化为累次积分的极坐标表示，将其化为累次积分.oyx ( )rr do 1(

10、 )rr d2( )rr x21( )( )( ,)d dd( cos , sin ) d .rrdf x yx yf rrr r 2( )00( ,)d dd( cos , sin ) d .rdf x yx yf rrr r 2222,2dxy dxdy dxy ：2,1.yde dxdy dyx yy 由由及及轴轴所所围围成成,dxydxdy 其中其中d 是直线是直线 y1, x2及及yx 所围的闭区域所围的闭区域.2、三重积分的计算、三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）方法方法1 “先一后二先一后二” (投影法投影法)方法方法2 “先二后一先二

11、后一” (截面法截面法)21( , )( , )d d( , , )dxyzx ydzx yx yf x y zzd( , , )d dzbadzf x y zxy( , , )df x y zv （1）直角坐标情形直角坐标情形:( , , )df x y zv （2）利用柱面坐标计算三重积分）利用柱面坐标计算三重积分( , , )(cos ,sin , ).f x y z d vfzdd dz dxdydzzyxf),(2( sincos , sinsin , cos)sin.f rrrrdrd d .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐

12、标的关系为直角坐标与柱面坐标的关系为直角坐标与柱面坐标的关系为sinyzz cosx（3）利用球坐标计算三重积分）利用球坐标计算三重积分第十一章第十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分1 对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化求曲线积分求曲线积分22( , ) ( ),( )( )( )lf x y dsftttt dt :( ),( ), ()lxtytt 若若曲曲线线， 则则.)(:)1(bxaxyl .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbal )(ba 第一类第一类: : 下小上大下小上大2 对坐标的曲线积分的计算对坐标

13、的曲线积分的计算:( ),( ), ()lxtytt 若若曲曲线线， 则则( , )( , ) ( ),( ) ( ) ( ),( )( )lp x y dxq x y dyptttqttt dt 第二类第二类: : 下始上终下始上终(1):( ).lyy xxab起起点点为为 ，终终点点为为.)()(,)(,dxxyxyxqxyxpqdypdxbal 则则(2):( ).lxx yycd起起点点为为 ，终终点点为为.),()(),(dyyyxqyxyyxpqdypdxdcl 则则定理定理 设区域设区域 d 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 l 围成围成, 函数函数则有则有, ),(y

14、xp),(yxqldyqxpyxypxqdddd3 格林公式及其应用格林公式及其应用在在 d 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,ldyxyqxpyxqpdddd或或主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分4 对面积的曲面积分的计算方法对面积的曲面积分的计算方法第一型曲面积分需要化为二重积分来计算第一型曲面积分需要化为二重积分来计算. ;1),(,22dxdyzzyxzyxfxydyx dszyxf),(1):( , )zz x y 若若曲曲面面则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：三步骤：一投、二代、三换三步骤：一投、二代、三换5 对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法 定理定理 设设 ( , , )r x y z是定义在光滑曲面是定义在光滑曲面 ():( , ),( , ).xyzz x yx yd 上的连续函数上的连续函数, 以以 的上侧为正侧的上侧为正侧( (这时这时 的法线方的法线方 ()( , , )d d( , , ( , )d d .xydr x y zx yr x y z x yx y z向与向与 轴正向成锐角轴正向成锐角), 则有则有步骤：步骤：“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号