材料力学-扭转1

1、5-1 扭转概念和工程实例扭转概念和工程实例第五章第五章 扭扭 转转5-2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图5-3 纯剪切纯剪切5-4 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力5-5 扭转变形扭转变形 扭转强度和刚度计算扭转强度和刚度计算5-6 5-6 扭转静不定问题扭转静不定问题5-7 矩形截面杆的自由扭转矩形截面杆的自由扭转5-1 5-1 扭转概念和工程实例扭转概念和工程实例1 1、螺丝刀杆工作时受扭、螺丝刀杆工作时受扭。 Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶一、扭转的工程实例一、扭转的工程实例2 2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。、汽车方向盘的转动轴工作时受

2、扭。2 2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。汽车传动轴汽车传动轴3 3、机器中的传动轴工作时受扭。、机器中的传动轴工作时受扭。4 4、汽车离合器连接时受扭。、汽车离合器连接时受扭。5 5、扳手卸轮胎、扳手卸轮胎二、扭转的概念二、扭转的概念受力特点：受力特点：杆两端作用着大小相等、转向相反的力偶，且力杆两端作用着大小相等、转向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。偶作用面垂直于杆的轴线。Am Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶em变形特点：变形特点：杆杆任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移。这种相对角位移称

3、为相对角位移。这种相对角位移称为扭转角扭转角，用，用 表示表示。 轴：轴：以扭转变形为主的杆件。以扭转变形为主的杆件。一、一、外力偶矩计算外力偶矩计算5-25-2外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶外力偶所做的功所做的功：N m1000() 1(s)sWP1260eenWMM 已知已知轴转速轴转速n 转转/ /分钟分钟输出功率输出功率P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩MePP已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（Nm）nPm9549P功率，单位为千瓦（KW）n转速，单位为rod/min P功率 ，

4、单位为马力（PS）n转速，单位为rod/minnPm70241PS=735.5Nm/s , 1kW=1.36PSmm0, 0mTmx T1 1、扭转杆件的内力扭转杆件的内力（截面法）（截面法）xmmmT Tx右段：右段：0, 0TmmxmT 内力偶矩内力偶矩扭矩扭矩T左段：左段：二、扭转杆件的内力二、扭转杆件的内力扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩，用符号，用符号T 表示。表示。2 2、扭矩的符号规定、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断按右手螺旋法则判断。T+T-例题例题： 1、一传动轴作200rmin的匀速转动，轴上装有五个轮

5、子。主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。3 3、内力图（扭矩图）、内力图（扭矩图）扭矩图扭矩图作法：同轴力图：作法：同轴力图：解：解： （一）外力偶矩（一）外力偶矩 （二）求解各段内力（二）求解各段内力由平衡条件可解得各段内力为由平衡条件可解得各段内力为 ：负号说明与假设方向相反。负号说明与假设方向相反。 112123123450.862.011.4350.385nnnnMmKN mMmmKN mMmmmKN mMmKN m （三）绘扭矩图。（三）绘扭矩图。 扭矩图扭矩图1 1、实验：、实验：5-3 纯剪切

6、纯剪切一、一、薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒横截面上的应力 薄壁圆筒轴的扭转薄壁圆筒轴的扭转0101rt , r0：平均半径）(壁厚壁厚2 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。结论：结论：, 0000横截面上横截面上可认为剪应力沿壁厚均匀分布可认为剪应力沿壁厚均匀分布, , 且方向垂直于其半径方向。且方向垂直于其半径方向。根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布

7、；,Dt Dt3 3、剪应力的计算公式：、剪应力的计算公式：2.2020200trtdrrdATAtrT202d薄壁圆筒横截面上的剪应力计算薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式式从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体单元体0zMyzxxzydddddd得得1 1、剪应力互等定理剪应力互等定理 Lmrtm二、关于剪应力的若干重要性质二、关于剪应力的若干重要性质 在相互垂直在相互垂直的两个平面上，的两个平面上，剪应力剪应力必然成对必然成对存在，且数值相存在，且数值相等；两者都垂直等；两者都垂直于两个平面的交于两个平面的交线，方向则共同线，方向则共同指向

8、或共同背离指向或共同背离这一交线。这一交线。纯剪切纯剪切 各个截面上只有各个截面上只有剪剪应应力没有正应力的情况称为力没有正应力的情况称为纯剪切纯剪切剪剪应力互等定理：应力互等定理：2 2、剪切虎克定律、剪切虎克定律 在在剪剪应力的作用下，应力的作用下，单元体的直角将发生微小单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量的改变，这个改变量 称称为为剪剪应变。应变。 当当剪应力剪应力不超过材料不超过材料的剪切比例极限时，的剪切比例极限时，剪剪应应变变 与与剪应力剪应力成正比，成正比，这个关系称为这个关系称为剪切胡克定剪切胡克定律律。 GG 剪切弹性模量剪切弹性模量(GN/m2) 各向同性材料，各向同性

9、材料，三个弹性常数之间的三个弹性常数之间的关系：关系：2(1)EG一、圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力一）、几何关系一）、几何关系：1 1、实验：、实验：5-4 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力观察变形规律：观察变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。了一个不同的角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。扭转平面假设扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大

10、小、大小 以及间距不变，半径仍为直线。以及间距不变，半径仍为直线。定性分析横截面上的应力定性分析横截面上的应力00（1）00（2）因为同一圆周上剪应变相同，所以同因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上剪应力大小相等，并且方向一圆周上剪应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。垂直于其半径方向。 取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为为研究对象研究对象微段扭转微段扭转变形变形 d dxRddxBBtgtgxbbdxdddxd二）物理关系二）物理关系：PmaxG GdxdG方向垂直于半径。方向垂直于半径。d / / dx扭转角变化率扭转角变化率弹性范围内弹性范围内三）静力关系：三）静力关系：ATdA

11、2AATdAdGdAdxdAIAp2横截面对形心的极惯性矩横截面对形心的极惯性矩pIdGdxpdTGIdxpTI横截面上横截面上 PPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面模量抗扭截面模量，整个圆轴上整个圆轴上等直杆：等直杆：PWTmaxmax三、公式的使用条件：三、公式的使用条件：1 1、等直的圆轴，、等直的圆轴， 2 2、弹性范围内工作。、弹性范围内工作。I Ip p截面的极惯性矩截面的极惯性矩，单位：，单位：二、圆轴中二、圆轴中max的确定的确定44, mmm.,33mmm单位单位：maxpPIW PW四、圆截面的极惯性矩四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数WpAA

12、Id2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d实心圆截面：实心圆截面：Odd223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心圆截面：空心圆截面：d2dA4432dD 44132DDdDdOd1 1、强度条件、强度条件：2 2、强度条件应用、强度条件应用：1 1）校核强度）校核强度: : .)1 (16,16433空心空心实心实心DDWP5-5 5-5 扭转变形扭转变形 扭转强度和刚度计算扭转强度和刚度计算PWTmaxmax PWmaxT2 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸: :3 3）确定外荷载）确定外荷载: :maxTPW一、一、 扭转强度计算扭

13、转强度计算max maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圆轴等截面圆轴: :变截面圆轴变截面圆轴: :例例 由无缝钢管制成的汽车传动轴，由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径外径D=89mm、壁厚壁厚 =2.5mm，材材料为料为2020号钢，使用时的号钢，使用时的最大扭矩最大扭矩T=1930Nm, =70MPa. .校核此轴的校核此轴的强度。强度。34340.9450.2(1)0.2 8.9 (1 0.945 )29tdDWD 6max6193066.7 10 Pa29 1066.7MPa 70MPatTW例例 如把上例中的传动轴改为实心如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强

14、度相轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。和空心轴的重量。解：解：当实心轴和空心轴的最大应力同当实心轴和空心轴的最大应力同 为为 时，两轴的许可扭矩分别为时，两轴的许可扭矩分别为311 16tTWD34342(1) (90) (1 0.944 ) 1616TDT T1 1=T=T2 2 ，于是有于是有 3341(90) (1 0.944 )D 153.10.0531Dmmm224211(0.0531)22.2 1044DAm223232422()(90 10 )(85 10 ) 6.87 1044ADdm 在两轴长度相等，材料

15、相同的情况下，两轴重量之比等于横在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。截面面积之比。42416.87 100.3122.2 10AA可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的3131% % 。实心轴和空心轴横截面面积为实心轴和空心轴横截面面积为例例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用剪应力 = 80MPa ，试校核该轴的强度。解解： 1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图

16、2214T图（kNm）MA MBMC ACBBC段段MPa3 .71mm10016mmN1014362p2max, 2WTAB段段1p1max, 1WT2 2、计算轴横截面上的最大剪应力并校核强度、计算轴横截面上的最大剪应力并校核强度MPa8 .64mm12016mmN102236MPa80即该轴满足强度条件。即该轴满足强度条件。2214T图（kNm）1 1、扭转变形：（相对扭转角）、扭转变形：（相对扭转角）PGITdxddxGITLP扭转角单位：弧度（扭转角单位：弧度（radrad） GIP抗扭刚度抗扭刚度。dxGITdPpGITl二、二、 扭转杆的变形计算扭转杆的变形计算扭转变形与内力计算

17、式扭转变形与内力计算式1) 1) 扭矩不变的等直轴扭矩不变的等直轴piiiGIlT单位长度的扭转角单位长度的扭转角mradPGITdxd2)2)各段扭矩为不同值的阶梯轴各段扭矩为不同值的阶梯轴3)3)变截面轴变截面轴dxxGIxTpl)()(x( )pIx)(xT2 2、单位长度扭转角：、单位长度扭转角：3 3、刚度条件：、刚度条件：maxmaxpGITrad/m0/m 许用单位长度扭转角180maxmaxpGIT4 4、刚度条件应用：、刚度条件应用：1)1)、校核刚度、校核刚度: : max pGTI 3)3)、确定外荷载、确定外荷载: :2)2)、设计截面尺寸、设计截面尺寸: : maxp

18、GIT max 例题例题：已知m1=1.5kN.m，m2=3kN.m，m3=9kN.m，m4=4.5kN.m；各轮的间距为l1=0.8m，l2=1.0m，l3=1.2m；材料的=80GPa， =0.3/m，G=80GPa.(1)设计轴的直径D；(2)若轴的直径D0=105mm，试计算全轴的相对扭转角D-A解：1）作扭矩图 mKNT5 . 4max2）设计轴的直径取 d 102 mmmmTd66163max由刚度条件：mmGTd0211803242max由强度条件：180maxmaxpGITPWTmaxmax 3）计算全轴的相对扭转角D-A。163. 0123pABpBCpCDABBCCDADG

19、IlTGIlTGIlT例题例题：一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮。轴的直径分别为d1=40mm，d2=70mm，已知轮3输入的功率为N3=30kW，轮1输出的功率为N1=13kW。轴作匀速转动，转速n=200rmin。若材料的容许剪应力=60MPa，G=8104MPa，轴的容许单位长度扭转角为=2m，试校核该轴的强度和刚度。 4)1 (42221dD2221)1 (dD例题： 已知：空心轴和实心轴材料相同，面积相同,= 0.5。试比较空心轴和实心轴的强度和刚度情况。解：2）比较强度341113342132(1)1616(1)111pxxpDWMdMWDd空心轴强度实心轴强度dd1D1面积相同1

20、）确定两轴尺寸关系441114442142(1)3232(1)111ppppDGIIdGIIDd空心轴刚度实心轴刚度3）比较刚度44. 15015 . 0111度心轴2222实心轴强度强空67. 15 . 015 . 0111心轴2222实心轴刚度刚度空0.5由，有dd1D1例题例题：有一外径为100mm、内径为80mm的空心圆轴，与一直径为80mm的实心圆轴用键相连接。在A轮处由电动机带动，输入功率N1=150kW；在B、C轮处分别负载N2=75kW，N3=75kW。若已知轴的转速为n=300rmin，容许剪应力=45MPa；键的尺寸为10mml0mm30mm，其容许应力为=100MPa和c

21、=280MPa。(1)校核空心轴及实心轴的强度（不考虑键槽的影响）；(2)求所需键数n。 P5-6 5-6 扭转静不定问题已知:AB 阶梯轴两端固定,C 处作用外力偶矩Me, AC抗扭刚度为G1Ip1, CB抗扭刚度为G2Ip2 。求:轴的扭矩。解:1）静力学关系0MMM,0mBAex2）变形几何关系0BACABC扭转静不定问题ABCeMMBACBMAxeMACBabeM3）物理关系1xAMM12120ABppM aM bG IG I2xBMM 解出:1121112pxeppG I bMMG I bG I a2122212pxeppG I aMMG I bG I aMBACBMAxeMACBabeM11 pACAIGaM2