2020_2021学年新教材高中数学第2章函数章末综合提升学案含解析北师大版必修第一册

1、 - 1 - 函数函数 巩固层知识整合 提升层题型探究 函数图象的应用 【例 1】 已知f(x)为定义在 r r 上的奇函数，且f(x)f(2x)，当x0，1时，f(x)x.求x3，5时，f(x)12的所有解的和 解 当x1，0时，x0，1，f(x)x. 又f(x)为奇函数，x1，0时，f(x)f(x)x.即x1，1时，f(x)x. 又由f(x)f(2x)可得f(x)的图象关于直线x1 对称 由此可得f(x)在3，5上的图象如下： 在同一坐标系内画出y12的图象， 由图可知在3，5上共有四个交点， f(x)12在3，5上共有四个解，从左到右记为x1，x2，x3，x4，则x1与x4，x2与x3关

2、于直线x1 对称， - 2 - x1x421，x2x321. x1x2x3x44. 画函数图象是表示函数的一种方法，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果 跟进训练 1已知函数f(x)|x2mx3|，且f( )1 0. (1)求m的值； (2)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性； (3)求集合mm|使方程f(x)m有四个不相等的实根 解 (1)由f( )1 0，得|4m0，解得m4. f(x)（x2）21，x（，13，），（x2）21，x（1，3）， 作出图象如图所示 (2)递增区间为1，2和3，)，递减区间为(，1)和(2，3). (3)由图象可知，y

3、f(x)与y m图象，有四个不同的交点，则 0m1， 集合mm|0m1 函数性质的应用 【例 2】 已知函数f(x)对任意x，yr r， 总有f(x)f(y)f(xy)， 且当x0 时，f(x)2. 解 (1)证明：由f(x)f(y)f(xy)，可得 f(xy)f(x)f(y). 在 r r 上任取x1x2，令xyx1，xx2， - 3 - 则f(x1)f(x2)f(x1x2). x1x2，x1x20. 又x0 时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)2，即f(x)f(x)2f(x)f(3)f(3x)， 由(1)知f(x)在 r r 上为减函数，f(x)f(3x)，得x3x，

4、解得解集为 xx32. (1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值 (2)研究与抽象函数有关的问题时要紧扣其定义，通过赋值来求解 跟进训练 2函数f(x)的定义域为dx|x0，且满足对于任意x1，x2d，有f(x1x2)f(x1)f(x2). (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围 解 (1)对于任意x1，x2d， 有f(x1x2)f(x1)f(x2)， 令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.

5、(2)f(x)为偶函数 证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)， - 4 - f(1)12f(1)0. 令x11，x2x，则f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x)，f(x)为偶函数 (3)依题设有f(44)f(4)f(4)2， 由(2)知，f(x)是偶函数， f(x1)2f(|x1|)f(16). 又f(x)在(0，)上是增函数 0|x1|16，解得15x17 且x1. x的取值范围是x|15xx13，求x的取值范围 解 x2与x13有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数yx，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x的取值范围，如图所示，可

6、得x的取值范围是x1. 数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然 跟进训练 3已知函数f( )xx23x4 的定义域为0，m，值域为254，4 ，则m的取值范围是_ 3 32 2，3 3 f( )xx23x4x322254， f32254，又f( )0 4， - 5 - 故由二次函数图象可知 32mm32320 ，解得32m3. 所以m的取值范围为32，3 . 角度二 分类讨论思想 【例 4】 设函数f( )xx22x，x2，a，若函数的最小值为g( )a，试求g( )a. 思路点拨 由于a与 1 的大小关系不确定，所以应分2a1 与a1 两种

7、情况考虑 解 f( )xx22x()x121，对称轴为直线x1. 而 1 不一定属于区间2，a，应进行讨论 当2a1 时，f( )x在区间2，a上单调递减，则g( )af( )aa22a； 当a1 时，f( )x在区间2，1 上单调递减，在1，a上单调递增，则g( )af( )1 1. 综上，g( )aa22a，2a11，a1 . 考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据与 1 的大小关系去分类用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏 跟进训练 4在例 4 中，求该函数的最大值h( )a. 解 f( )xx22x()x121，对称轴为直线x1. 而 1 不一定属于区间2，a，应进

8、行讨论 当2a4 时，h( )af()2 8； 当a4 时，h( )af( )aa22a. 综上，h( )a8，2a4a22a，a4 . 角度三 转化的数学思想 【例 5】 若函数f(x)x2mxn，对任意实数x都有f(2x)f(2x)成立，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小 解 依题意可知f(x)的对称轴为x2， - 6 - f(1)f(5). f(x)在2，)上是增函数， f(2)f(4)f(5)，即f(2)f(4)f(1). 通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而运用其性质来解题 跟进训练 5指出函数f(x)x24x5x24x4的单调区间，并比较f()与f22的大小 解 因为f(x)x24x41x24x