2020_2021学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量基本定理学案含解析新人教B版选择性必修第一册

1、1.1.2空间向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1理解空间向量基本定理(重点)2运用空间向量基本定理解决一些几何问题(难点)3理解基底、基向量及向量的线性组合的概念(重点)1通过基底、基向量及向量的线性组合空间向量基本定理的学习，培养数学抽象素养2借助任一空间向量可用一组基向量线性表示，提升数学运算素养图中的向量，是不共面的三个向量，请问向量与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？1共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使cxayb思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？提示平面向量基本定理中要求向

2、量a与b不共线，在空间中仍然成立2空间向量基本定理如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc特别地，当a，b，c不共面时，可知xaybzc0时，xyz03相关概念(1)线性组合：表达式xaybzc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式(2)基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合a，b，c，常称为空间向量的一组基底(3)基向量：基底a，b，c中a，b，c都称为基向量(4)分解式：如果pxaybzc，则称xaybzc为p在基底a，b，c下的分解式思考2：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向

3、量基底的三个向量有什么条件？提示空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示思考3：基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？提示基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量4拓展：设o，a，b，c是不共面的四点，则对空间任一点p，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使xyz，当且仅当xyz1时，p，a，b，c四点共面1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，b，c为空间一个基底，则a，b,2c也可构成空间一个基底()(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，

4、c共面()(3)若a，b是两个不共线的向量，且cab(，r且0)，则a，b，c构成空间的一个基底()答案(1)(2)(3)提示(1)a，b，c为空间一个基底，则a，b，c不共面，a、b、2c也不共面，故a，b,2c也构成空间一个基底(2)由共面定理知(2)正确(3)由cab知a，b，c共面，不能构成基底2(教材p16练习a改编)对于空间的任意三个向量a，b,2a3b，它们一定是()a共面向量b共线向量c不共面向量 d既不共线也不共面的向量a根据共面向量定理知a，b,2a3b一定共面3在长方体abcda1b1c1d1中，可以作为空间向量一个基底的是()a， b，c， d，c由题意知，不共面，可以

5、作为空间向量的一个基底向量共线问题【例1】如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e在a1d1上，且2，f在对角线a1c上，且求证：e，f，b三点共线证明设a，b，c2，b，()()abcabc又bcaabc，e，f，b三点共线判断向量共线就是利用已知条件找到实数x，使axb成立，同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出axb，从而得出ab，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线.1如图所示，四边形abcd和abef都是平行四边形，且不共面，m，n分别是ac，bf的中点，判断与是否共线？解与共线，证明：m，n分别是ac、bf的中点，而四边形abcd

6、，abef都是平行四边形，又，22()2，即与共线共面定理及应用【例2】已知a，b，c三点不共线，平面abc外的一点m满足(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点m是否在平面abc内解(1)易知3，()()，向量，共面(2)由(1)知向量，共面，三个向量的基线又有公共点m，m，a，b，c共面，即点m在平面abc内判断三个(或三个以上)向量共面的方法(1)应用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示(2)选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式2如图所示，p是平行四边

7、形abcd所在平面外一点，连接pa，pb，pc，pd，点e，f，g，h分别是pab，pbc，pcd，pda的重心，分别延长pe，pf，pg，ph，交对边于m，n，q，r，并顺次连接mn，nq，qr，rm应用向量共面定理证明：e，f，g，h四点共面证明e，f，g，h分别是所在三角形的重心，m，n，q，r为所在边的中点，顺次连接m，n，q，r，所得四边形为平行四边形，且有，四边形mnqr为平行四边形，()()()，由共面向量定理得，共面，所以e，f，g，h四点共面基底的判断及应用探究问题1构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？提示不唯一，不共面2空间向量的基底选定后，空间任一向量怎样用基底表示？提示

8、基底选定后，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则，寻求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基底表示出来3用基底表示向量应注意哪些问题？提示(1)明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示；(2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；(3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的【例3】(1)若a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底(2)如图，在三棱柱abcabc中，已知a，b，c，点m，n分别是bc，bc的中点，试用基底a，b，c表示向量，思路探究(1)判断ab，bc，ca是否共面，若不共面，则可作为一

9、个基底，否则，不能作为一个基底(2)借助图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来解(1)假设ab，bc，ca共面则存在实数、使得ab(bc)(ca)，abba()ca，b，c为基底，a，b，c不共面此方程组无解，ab，bc，ca不共面ab，bc，ca可以作为空间的一个基底(2)()()ba(cb)bacbabcab()ab(cb)abc1(变条件)若把本例3(2)中的a改为a，其他条件不变，则结果又是什么？解()b(ab)ab()a(cb)abc2(变换条件、改变问法)如图所示，本例3(2)中增加条件“p在线段aa上，且ap2pa”，试用基底a，b

10、，c表示向量解()()(acb)caabc用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果(3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量1空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的2在用基底表示

11、向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示1o，a，b，c为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则()a，共线b，共线c，共线 do，a，b，c四点共面d由，不能构成基底知，三向量共面，所以o，a，b，c四点共面2给出下列命题：若a，b，c可以作为空间的一个基底，d与c共线，d0，则a，b，d也可作为空间的基底；已知向量ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；a，b，m，n是空间四点，若，不能构成空间的一个基底，那么a，b，m，n共面；已知向量组a，b，c是空间的一个基底，若mac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是()a1b2c3d4d根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然正确中由、共面且过相同点b，故a，b，m，n共面下面证明正确假设d与a，b共面，则存在实数，使dab，d与c共线，c0，存在实数k，使dkc，d0，k0，从而cab，c与a，b共面与条件矛盾d与a，b不共面同理可证也是正确的3从空间一点p引出三条射线pa，pb，pc，在pa，pb，pc上分别取a，b，c，点g在pq上，且pg2gq，h为rs的中点，则_(用a，b，c表示)abc(bc)a4设oabc是四面体，g1是abc