重积分的概念及其计算法

1、三重积分的概念及其计算法三重积分的概念及其计算法复习复习 二重积分的概念二重积分的概念设函数设函数 f (x,y) 在平面有界闭区域在平面有界闭区域d上上有界有界，将将 d 任意任意分成分成 n 个无公共内点的小区域个无公共内点的小区域，i 每个小区域的面积记作每个小区域的面积记作i ，), 2 , 1(ni 在每个小区域上在每个小区域上任意任意取一点取一点，iiiiyxp ),(作和式作和式， niiiiyxf1),( ，的的直直径径令令0max1 ini 如果上述和式的如果上述和式的极限存在极限存在，点点pi 的取法的取法无关无关，并且与区域并且与区域 d 的分法及的分法及则称此极限值为函

2、数则称此极限值为函数 f (x,y) 在在区域区域 d 上的上的二重积分二重积分，记作记作.),( dyxfd 此时也称函数此时也称函数 f(x, y) 在区域在区域 d 上是上是可积的可积的即即.),(lim),(10 niiiidyxfdyxf 一、三重积分的概念一、三重积分的概念1. 定义定义 设函数设函数 f (x,y,z)在空间有界闭区域在空间有界闭区域上上有界有界，将将 任意任意 分成分成 n个无公共内点的小区域个无公共内点的小区域每个小区域的体积记作每个小区域的体积记作iv ，), 2 , 1(ni 在每个小区域上在每个小区域上任意任意 取一点取一点，iiiiivzyxp ),(

3、， niiiiivzyxf1),( ，的的直直径径令令0max1 iniv 如果上述和式的如果上述和式的极限存在极限存在， 并且与区域并且与区域的分法及的分法及则称此极限值为函数则称此极限值为函数 f (x,y,z) 在在记作记作.),(dvzyxf 此时也称函数此时也称函数 f(x,y,z) 在区域在区域 上是上是可积的可积的，iv 作和式作和式点点pi 的取法的取法无关无关，区域区域上的上的三重积分三重积分， dvzyxf),(由定义由定义iiiniivzyxf ),(lim10 其中：其中： f (x,y,z) 称为称为被积函数被积函数， 称为称为积分区域积分区域， f (x,y,z)d

4、v 称为称为被积表达式被积表达式， dv 称为称为体积元素体积元素， 称为称为iiiniivzyxf ),(1积分和积分和2. 函数可积的条件函数可积的条件 可以证明：如果可以证明：如果 f (x,y,z) 闭区域闭区域 上连续，上连续， 则则 f (x,y,z) 在在上可积上可积 特别地：如果特别地：如果 f (x,y,z) 1， 则有则有 . vdv)(的体积的体积为为其中其中 v三重积分有与二重积分三重积分有与二重积分完全类似完全类似 的性质的性质 如如果果用用平平行行于于坐坐标标面面在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中，二、三重积分的直角坐标计算法二、三重积分的直角坐标计算法.lkji

5、zyxv 则则 故在空间直角坐标系下故在空间直角坐标系下体积元素体积元素为：为： dxdydzdv 从而在直角坐标系下三重积分可表示为从而在直角坐标系下三重积分可表示为.),(),(dzdxdyzyxfdvzyxf 与二重积分与二重积分类似类似， 三重积分可化为三重积分可化为三次积分三次积分 ，的平面来划分的平面来划分 进行计算进行计算xyzo d1z2z),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx面面上上的的投投影影区区域域为为在在设设xoy ，：),(11yxzzs 轴的直线，轴的直线，作平行于作平行于过点过点zyx),(，则则穿穿入入点点的的竖竖坐坐标标

6、为为),(1yxz.),(dvzyxf 计算计算如图如图其中积分区域其中积分区域 ，：bxad ，)()(21xyyxy 设区域设区域 的下、上边界曲面的下、上边界曲面 方程为方程为，：),(22yxzzs ，上上任任取取一一点点在在),(yxd，轴正向穿过区域轴正向穿过区域沿沿 z，穿出点的竖坐标为穿出点的竖坐标为),(2yxz的的函函数数，看看作作看看作作定定值值，将将先先将将zzyxfyx),(,求积分求积分 ),(),(21),(yxzyxzdzzyxf ),(yxfxyzo d1z2z),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx.),(dvzyxf

7、计算计算，：bxad ，)()(21xyyxy ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxf的的上求上求然后在区域然后在区域),(yxfd二重积分，二重积分， dvzyxf),(即即dydxyxfd ),( dyxzyxzdydxdzzyxf),(),(21),( ),(),(21),(yxzyxzddzzyxfdydx.),(),(),()()(2121 yxzyxzbaxyxydzzyxfdydx三次积分三次积分 注意积分区域注意积分区域 的特点的特点.和和各部分区域上的积分之各部分区域上的积分之分等于分等于域满足相应条件，原积域满足相应条件，原积若干个区域，使每个区若干个区

8、域，使每个区分成分成的交点多于两点，可将的交点多于两点，可将的边界曲面的边界曲面区域区域内部的直线与内部的直线与轴，且穿过区域轴，且穿过区域如果平行于如果平行于 sz先关于先关于面面投影到投影到可将可将有时，为了方便起见也有时，为了方便起见也(yoz . )()求求积积分分先先关关于于面面或或求求积积分分yzoxx例如例如 ),(),(21),(zyxzyxddxzyxfdzdyyzdvzyxf ),(.),(),(),(21 xzyxzyddyzyxfdxdzzx例例 1 计算三重积分计算三重积分 zdxdydz, 其中其中为三坐标面为三坐标面及平面及平面1 zyx所围成的闭区域所围成的闭区

9、域. 解解（一一） xozy111先关于先关于z 积分积分为为面上的投影区域面上的投影区域在在xydxoy dzzdxdyxyd dxdyyxxyd 2)1(21dyyxdxx 10210)1(21 103)1(61dxx.241 dxdydzz 故故 0yx 1解解（二二） zdyzyzdz1010)1(xozy111先关于先关于x 积分积分dxdydzz 为为面面上上的的投投影影区区域域在在yzdyoz 故故 dxzdydzzydyz 10dydzzyzyzd )1( 102)1(21dzzz.241 666x+y+z=63x+y=62x0z yzyxzyxfiddd ),( ：平面平面y

10、=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 666x+y+z=63x+y=62x0z yzyxzyxfiddd ),( ：平面平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 3x+y=63x+2y=12x+y+z=6666x0z y42zyxzyxfiddd ),( ：平面平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的

11、区域.例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 3x+y=63x+2y=12x+y+z=666426x0z yzyxzyxfiddd ),( ：平面平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， z = 0y = 042x+y+z=6666x0z yzyxzyxfiddd ),( ：平面平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 42666 yxdzzyxfyxi6 0)

12、d,(dd.d0y x624d yxyyzzyxfxyi6 032 4 3 26 0d),(dd.x0z yx+y+z=6zyxzyxfiddd ),( ：平面平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， y2=xxyzo 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxzyxfiddd),( 例例3 将将 化为三次积分化为三次积分 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zx2 2 2

13、 y2=xxyzozyxzyxfiddd),( 例例3 将将 化为三次积分化为三次积分 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxzyxfiddd),( 例例3 将将 化为三次积分化为三次积分, z = 0y=0 2 2 xyzo zzyxfyxixxd ),(dd2 002 0 。 dxzzyxfyxi2 0)d,(dd 0y x 2 xy y2=xd例例4 4 将将 化为三次积分，化为三次积分， zyxzyxfiddd),( 所围成的区域所围成的区域 与与 : z,yxxyz1x+ y=1yozx1z=xy.例例4 4 将将 化为三次积

14、分，化为三次积分， zyxzyxfiddd),( 所围成的区域所围成的区域 与与 : z,yxxyzz =01x+ y=1ozx1yz=xy.例例4 4 将将 化为三次积分，化为三次积分， zyxzyxfiddd),( 所围成的区域所围成的区域 与与 : z,yxxyz11z =0ozxx+ y=1y dxyzzyxfyxi0)d,(ddzzyxfyxxyxd ),(dd01 010 z=xy.z三重积分的截面计算法三重积分的截面计算法 )(zfdxdyzyxfzd ),(即即 .),(),(21 zdccdxdyzyxfdzdvzyxf向某轴作投影向某轴作投影把积分区域把积分区域 )1(，轴

15、轴例如例如)(z；得得投投影影区区间间,21cc，任任取取,)2(21ccz 面，面，作平面平行于作平面平行于过点过点xoyz；得得截截面面截截区区域域zd 上上计计算算二二重重积积分分在在zd)3( 21)(,)4(21ccdzzfcc上上计计算算定定积积分分最最后后在在例例 1 计算三重积分计算三重积分 zdxdydz, 其中其中为三坐标面为三坐标面及平面及平面1 zyx所围成的闭区域所围成的闭区域. xozy111解解（三三） ，轴轴上上任任取取点点在在1 , 0 zz得得区区域域面面，截截作作平平面面平平行行 xoy，0, 0,1| ),( yxzyxyxdzzddxdydzz dzz

16、z210)1(21 zddxdydzz10.241 例例 5 计算三重积分计算三重积分dxdydzz 2，其中是，其中是由由 椭球面椭球面1222222 czbyax所成的空间闭区域所成的空间闭区域. xyzozd解解1,| ),(222222czbyaxczczyx ccdzzczba222)1( .1543abc 三、三重积分的柱面坐标计算法三、三重积分的柱面坐标计算法0 xz ym(x,y,z) rn(x,y,0)xyz设点设点 m(x, y, z) 是空间任一点，是空间任一点， .故点故点 m(x, y, z)， r0， 20 . z且有：且有：r 由图可知直角坐标与柱面坐标的关系：由

17、图可知直角坐标与柱面坐标的关系：柱面坐标柱面坐标，记作，记作 ,sincos zzryrx 可以证明柱面坐标系下的可以证明柱面坐标系下的体积元素体积元素为：为：dzdrdrdv 为常数为常数r圆柱面；圆柱面；为常数为常数 半平面；半平面；为常数为常数z平平 面面),(zr 的的称为点称为点有序数组有序数组mzr),( ),(zrm 由前面的讨论可知：由前面的讨论可知：在柱面坐标系下三重积分可表示为在柱面坐标系下三重积分可表示为.),sin,cos(),(dzdrdrzrrfdvzyxf .),sin,cos(),(),(21dzzrrfrdrddxyrzrz ，计计算算例例dvyx )(622

18、.|222 hzryx：其中其中解解 dzyxdxdyhhdxy )(22原原式式dzdrdrhhdxy 3 hhrdzdrrd0320 .4hr 10 xz ydxy1.017222 zzyxzdxdydzi，：其其中中，例例解解 ，：2210yxz . 122 yxdxy：zzyxixydyxddd2210 zzrrrddd2101020 .4 0 xz y1dxy1zyxyxiddd11822 例例所围成所围成及及由由其中其中122 zyxz1解解 ，：122 zyx. 122 yxdxy：zrrrixydrd11dd1 2 1 1 0 22 0dd1drzrrr 1 0 22d12rr

19、rr 102)d111(2rrr ).222(ln 解解，zyx222 所围立体所围立体1在在 xoy 面上的投影区域面上的投影区域d1为：为： ，1622 yx8222 zzyx与与平平面面曲曲面面 1)(221dvyxi 12823drdzdrdr ， 345 积分区域积分区域 如图，如图， ，422 yx2d1d 22223drdzdrdr ， 625 21iii 2222 zzyx与与平平面面曲曲面面所围立体所围立体2在在 xoy 面上的投影区域面上的投影区域 d2为：为： 2)(222dvyxi.336623455 四、三重积分的球面坐标计算法四、三重积分的球面坐标计算法0 xz y

20、m(r, , )r nyxz 空间任一点空间任一点 m 还可用还可用球面坐标球面坐标 由图可知直角坐标与由图可知直角坐标与为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面， r0.20 ， 0且且 ， cossinsincossinrzryrx球面坐标的关系球面坐标的关系:来来表表示示有有序序数数组组),( r的的也也称称为为点点 mr),( 可以证明球面坐标系下的可以证明球面坐标系下的体积元素体积元素为为: dddrrdvsin2 从而在球面坐标系下三重积分可表示为从而在球面坐标系下三重积分可表示为 ddrdrrrrf sin)cos,sinsin,cos

21、sin(2 dvzyxf),(.sin),(2 ddrdrrf ).cos,sinsin,cossin(),( rrrfrf 其其中中为三次积分，为三次积分，化三重积分化三重积分例例dvzyxfi ),(10.2222rzyx ：其其中中解解一、直角坐标系下一、直角坐标系下 .),(2222222222 yxryxrxrxrrrdzzyxfdydxi二、柱面坐标系下二、柱面坐标系下 .),sin,cos(2222020 rrrrrdzzrrfdrrdi 三、球面坐标系下三、球面坐标系下 .)cos,sinsin,cossin(sin02020 rdrrrrrfddi 例例 11 计计算算 dx

22、dydzyxi)(22, 其其中中 是是圆圆锥锥面面222zyx 与与平平面面 az )0( a所所围围的的立立体体. 解解 1 采用球面坐标采用球面坐标 az ， cosar 222zyx ，4 ，： cos04020ar dxdydzyxi)(22drrdda 40cos03420sin .105a 解解 2 采采用用柱柱面面坐坐标标 dxdydzyxi)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(2 54254aaa .105a 222zyx ，rz ，azrar 020: 例例 12 求求曲曲面面22222azyx 与与22yxz 所所围围 成成的的立立体体体体积积. 解

23、解，ar2 ，4 ，ar204020: dxdydzv adrrdd202020sin4 4033)2(sin2 da.)12(343a 例例13 连连续续且且大大于于零零，且且设设函函数数)(xf， )(22)(222)()()(tdtdyxfdvzyxftf ， tttddxxfdyxftg)()()(2)(22 ：，：其其中中2222222)()(tyxtdtzyxt 内内的的单单调调性性在在讨讨论论), 0()()1( tf)2003()(2)(0)2(时时，证证明明当当tgtft 解解 (1) ttdrrfrddrrfrddtf0220022020)()(sin)( ， ttdrrf

24、rdrrfr02022)()(220202220222)()()()()(2)( tttdrrfrdrrfrttfdrrrftfttf202022)()()()(2 ttdrrfrdrrfrtrttf，内内所所以以在在0)(), 0( tf内内的的单单调调增增加加在在), 0()( tf例例13 连连续续且且大大于于零零，且且设设函函数数)(xf， )(22)(222)()()(tdtdyxfdvzyxftf ， tttddxxfdyxftg)()()(2)(22 ：，：其其中中2222222)()(tyxtdtzyxt 内内的的单单调调性性在在讨讨论论), 0()()1( tf)2003()

25、(2)(0)2(时时，证证明明当当tgtft 解解 (2) ， ttdrrfrdrrfrtf02022)()(2)(， ttdrrfdrrrftg0202)()()( ，时时要要证证当当)(2)(0tgtft ，只只需需证证0)(2)( tgtf 即即要要证证0)()()(20202022 tttdrrrfdrrfdrrfr即即要要证证0)()()(20202022 tttdrrrfdrrfdrrfr20202022)()()()( tttdrrrfdrrfdrrfrtg令令 ttdrrfrtfdrrftfttg02220222)()()()()(则则 tdrrrftft022)()(2 td

26、rrfrrtttf02222)()2()( tdrrfrttf0222)()()(时时，当当0 t，0)( tg内单调增加，内单调增加，在在故故), 0()(tg处处连连续续，在在又又0)( ttg时时，当当0 t，有有0)0()( gtg即即0)()()(20202022 tttdrrrfdrrfdrrfr三重积分在物理上的应用三重积分在物理上的应用1. 空间立体的质量、重心空间立体的质量、重心 设设有有一一空空间间立立体体，所所占占的的区区域域，在在点点),(zyx处处的的体体密密度度为为),(zyx ，假假定定),(zyx 在在上上连连续续， 则立体的质量为则立体的质量为 .),(dvzyxm 重心坐标为重心坐标为 当立体是均匀的，当立体是均匀的，重心也称为重心也称为形心形心.， dvzyxdvzyxxx),(),( ， dvzyxdvzyxyy),(),( .),()