转化思想在立体几何中的应用

1、某某学院毕业论文（设计）转化思想在立体几何中的几种应用某某某（数科院，某某班，学号）摘 要转化思想是一种重要的思想方法，掌握和运用转化思想可以培养学生分析问题和解决问题的能力.本文结合具体的例子，介绍了立体几何中空间角向平面角转化，空间距离向平面距离转化，空间度量向平面度量转化.旨在培养学生的分析问题和解决问题能力.关键词转化思想 立体几何 距离 空间图形转化思想是解决数学问题的基本思想.它将新的问题转化为已知问题；将抽象的问题转化为直观问题；将复杂问题转化为一个或几个简单问题,最终将不易解决的问题转化为易于解决的问题.立体几何是研究空间图形性质、画法和有关计算与应用的一门学科.它是在平面几何

2、知识的基础上进行研究.在具体研究方法上,我们常常将空间图形的性质、画法和计算转化成平面图形来进行.因此,转化思想是立体几何中的基本思想.中学立体几何的主要内容,不外乎直线和平面、多面体和旋转体两大部分.在解决这两部分内容的某些空间问题时,仅凭空间有关描述是不能具体刻画出它们的相对位置关系的.这时,我们常常运用转化思想,使其转化到平面图形来,采用平面几何的知识来准确刻画出空间关系.立体几何这种由空间图形向平面图形转化的方法,概括起来主要有三种类型,即:空间角向平面角转化；空间距离向平面距离转化；空间度量向平面度量转化1.一 空间角向平面角转化立体几何的直线和平面部分,有一些关于空间角的问题,如线

3、线、线面、面面关系中异面直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角等.在具体刻画时,就需要借助转化思想,使其转化成我们所熟悉的平面角,用平面角的大小,来刻画空间角的大小.异面直线所成的角,教材中就是将空间角转化成平面角来刻画两异面直线的“交叉”程度的.所谓异面直线,是指不在同一平面内的两条直线,而仅凭“不在同一平面内”来说明它们的位置关系,是远远不够的.要准确刻画出两异面直线的位置关系,就必须借助于具体的数学量来进行.立体几何中,就是采取空间角向平面角转化,用平面角来刻画两异面直线的“交叉”程度,用平面距离来刻画两异面直线的“相离”程度.即在空间任意一点,引两条异面直线的平行线,所构成的锐角(或

4、直角)叫做两异面直线所成的角.由此可知,要想求出两异面直线所成的角,一般的方法是先平移作出角的图形,再计算角的大小.例1如图,已知在长方体中，是 的中点， = 8，= 4，= 2，求直线与 所成的角.分析直线与平面相交，是空间位置关系，但仅凭“相交”也不能准确反映其位置关系.要准确刻画出直线与平面的位置关系，也需要用数量来表示.通常，我们是将直线与平面相交所成的角转化成平面的角来完成的.即用斜线与其在平面内的射影构成的锐角来表示，为了保证其完备性，同时规定，直线与平面垂直构成的角是直角，直线在平面内构成的角是0的角.所以，求直线与平面所成的角，一般方法是，先转化成平面内的角，再求出角的大小.题

5、中，要求异面直线与所成的角，由于，这样就将所求交角转化为与的交角.它是一个平面内的角，再用平面几何的知识求得该角的大小. 图1 解 如图1，连结，因为 ，所以为直线与所成的角.在中，因为 = = = ， = =， = =，所以由余弦定理得，所以 = ，即直线与直线所成的角为.例2已知正四棱锥 的底边长和各侧棱长均为13，、 分别是、上的点，且： = ：= 5: 8 .（1）求证：直线平面.（2）求直线与平面所成的角.分析 二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，它是由一条棱和两个半平面组成的，是空间角.在空间，我们不好直接度量它的大小，因而转化为用二面角的平面角来度量它.二面角的平面角

6、是以二面角的棱上任意一点为端点，在两个平面内作垂直于棱两条射线，这两条射线所组成的角.所以，求二面角的大小，一般的方法是先作出二面角的平面角，再求其大小.题中要求直线与平面所成的角，是先转化为直线与平所成的角，再转化成平面几何的角，然后计算出的大小而完成的. 图2解 （1）如图2，因为是正四棱锥，所以是正方形.连结并延长交于，连结，因为，所以： = ：.又由已知：= ：，所以，在平面内，故平面.（2）由（1）知，所以与平面所成的角就是与平面所成的角.设点在底面的射影为，连结、，则为与平面所成的角.根据正三棱锥的性质，得 = =，又根据（1）知：=：= 5 ：8，所以 =.在中，= 60，= 1

7、3， =，由余弦定理得=，在中, =，=，所以=.故直线与平面所成得角为.二 空间距离向平面距离转化立体几何中，有关空间距离都可以转化为平面距离，即线段的长来解决的，如异面直线间的距离，点到平面的距离，直线与平面的距离，两平行平面间的距离等都如此.因此，在求上述空间距离时，一般方法是先转化成线段，再求线段的长2.例1平面与平面的交线是，线段既是半径为的的弦，又是正方形的一条边，在平面上的射影是上异于，的点，且=3，求与间的距离.分析 题目的两种解法中，解法1是将异面直线的距离转化为异面直线的公垂线段的长，即平面距离来进行计算的.解法2是将异面直线的距离转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的

8、距离，最后转化为三棱锥的高进行计算的. 图3解法1如图3，连结、，所以平面，所以，又因为是正方形，所以.于是，且，所以的长为与间的距离.因为平面，由三垂线定理的逆定理得，所以是的直径，=，在中，得= ，于是= 6，故与间的距离为6.解法2因为，所以平面，因此与间距离就是到平面的距离，即点到平面的距离，可视为三棱锥的高，由=，即，得= 6，即与间的距离是6.三 空间度量向平面度量的转化立体几何中的一些度量问题也可以向平面度量转化的，如前所述，在空间角的度量中是转化为平面角，用平面角的度量方法来度量的；空间距离的度量，是转化为平面距离，用平面内线段的长来度量的；同时，空间图形的面积也是转化到平面图

9、形的面积来度量的，如教材中推导圆柱、圆锥、圆台的侧面积，是根据这些曲面均为可展面，而分别转化为矩形、扇形、扇环，用平面面积度量方法进行度量的3.例1 在三棱台中，是与的公垂直线段，已知=3，= 5 ，二面角为60.（1）求三棱锥的体积 .（2）求二面角的大小.分析 题中的转化思想为求三棱锥的体积是转化为三棱锥的体积来解决的,二面角和二面角分别转化成平面角和来解决的.图4解 （1）如图4，连结，因为是与的公垂线，所以，所以平面，所以，则是二面角的平面角，即= 60.在中，得= 4 ，在中，得= 4 ，所以是边长为4 的正三角形，所以= = 43 .（2）由（1）知平面，所以平面平面，过点作，垂足

10、为，则平面，且为的中点，过作，垂足为，连结，由三垂线定理得，所以为二面角的平面角.根据，得=，在中，= ，=23，所以= = ，所以= ，即二面角的大小为.综上所述，立体几何中空间向平面转化的形式是多种多样的.除此以外， 立体几何中还具有大量的转化思想，只要我们在教学和学习中，多加总结，注意运用，立体几何的许多问题就会化难为易，得到解决.参考文献1崔艳.用空间向量解决立体几何问题.德宏师范高等专科学校学报,2007,1.87-932洗虹雁.立体几何考点探析.广东教育,2008,10.43-453刘县萍.例说转化与化归思想解数学题.考试周刊,2008,45.46-494汪耀仁.立体几何中探索问题

11、的向量解法.教育改革,2008,10.83-875芮伟兴.新课程理念下立体几何教学策略探究.科学大众,2008,9.62-646毛秀珍,何诣然.拟单调广义向量变分不等式.四川师范大学学报(自然科学版),2007,2.134-137several applications of transforming thought in three-dimensional geometryenglish nameabstract transforming thought is an important way of thinking, mastery and exertion of it can help cultivate students ability to analyze and solve problems. combining with specific examples, this paper introduces the transformation from spatial angle to plane angle in three-dimensional geometry, spatial distance to plane distance, spatial measur