反比例函数教材分析

1、反比例函数反比例函数一、为什么要学一、为什么要学函数函数数与式数与式方程、不等式方程、不等式整式整式（七上）（七上） 一元一次方程一元一次方程（七上）（七上） 二元一次方程组二元一次方程组（七下）（七下）不等式与不等式组不等式与不等式组（七下）（七下） 一元二次方程一元二次方程（九上）（九上） 一次函数一次函数（八（八下下）二次函数二次函数（九上）（九上） 分式分式（八下）（八下）分式方程分式方程（八下）（八下）反比例函数反比例函数（九下）（九下）( (一一) )从数学角度看从数学角度看( (初中的三个基本函数初中的三个基本函数) )一、为什么要学一、为什么要学( (一一) )从数学角度看从数

2、学角度看( (初中的三个基本函数初中的三个基本函数) )从定量从定量知识到知识到变量知识变量知识 用运动变用运动变化的观点化的观点看问题看问题 初中代数终结性初中代数终结性知识在初中代数知识在初中代数有有统领统领地位地位转变一种观念转变一种观念形成一种思想形成一种思想查漏补缺使数与式、方程与不查漏补缺使数与式、方程与不等式的知识进一步完善等式的知识进一步完善.为高中进为高中进一步学习一步学习奠定基础奠定基础它的图象是后续我们会在解析几何中继续研究的圆锥曲线之一双曲线，“渐近线” 的意识也是在这里有初步的感知 研究反比例函数的思想方法对于后续的学习有很大的帮助，如学习幂函数、指数函数与对数函数时

3、，很多函数的性质甚至是函数的意义都要借住反比例函数来进行类比学习 一、为什么要学一、为什么要学( (一一) )从数学角度看从数学角度看( (初中的三个基本函数初中的三个基本函数) ) 一次函数一次函数（八下）（八下） 反比例函数反比例函数（九下）（九下） 二次函数二次函数（九上）（九上） 函数的性质是由自变量参与的运算决定的。函数的性质是由自变量参与的运算决定的。分式运算分式运算决定了反比例函数是初中阶段唯一的非多项式、不连续的函数非多项式、不连续的函数，而且也是唯一的一个对自变量的取值范围有要求对自变量的取值范围有要求（定义域限制）的函数 这也正是教学的难点，是否 考虑这个因素因素将本部分知

4、识放在九下？一、为什么要学一、为什么要学( (二二) )从实际应用角度看从实际应用角度看 从日常生活、参加生产和进一步学习的需要看，关于（反比例）函数的知识是非常重要的。例如，在讨论社会问题，经济问题时，越来越多地运用数学思想、方法，函数的内容在其中占有相当的地位。又如，计算机日渐普及，学习、使用计算机是需要函数的有关知识的。考虑到诸多物理诸多物理知识的因素知识的因素将本部分知识放在九下。二、学什么二、学什么( (一一) ) 教科书内容教科书内容必学必学选学选学二、学什么二、学什么（二）本章知识结构框图（二）本章知识结构框图二、学什么二、学什么（三）本章的难点和重点（三）本章的难点和重点重点：

5、反比例函数的概念、图象和性质难点：对反比例函数及其图象和性质的 理解和掌握 三、三、教到什么程度?（一）课程学习目标（一）课程学习目标1. 结合具体情境结合具体情境体会体会反比例函数的意义，能根反比例函数的意义，能根 据已知条件据已知条件确定确定反比例函数的表达式。反比例函数的表达式。2能画出能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式反比例函数的图像，根据图像和表达式 y = (k0)探索并理解探索并理解k0和和k0时，图像的变时，图像的变 化情况。化情况。3能用能用反比例函数解决简单实际问题。反比例函数解决简单实际问题。（一）整体把握（一）整体把握1.突出反比例函数与现实世界的联系四、怎样教四

6、、怎样教（一）整体把握（一）整体把握2.注重数学思想的渗透四、怎样教四、怎样教变化与对应数形结合转化26.1 反比例函数反比例函数 56课时课时1. 反比例函数的意义反比例函数的意义2. 探究反比例函数的性质（探究反比例函数的性质（1）3. 探究反比例函数的性质（探究反比例函数的性质（2）5. 反比例函数与其他函数反比例函数与其他函数4. k的几何意义的几何意义( (二二) )课时建议课时建议四、怎样教四、怎样教26.2 实际问题反比例函数实际问题反比例函数 34课时课时1.实际问题与反比例函数（实际问题与反比例函数（1）2.实际问题与反比例函数（实际问题与反比例函数（2）3. 实际问题与反比

7、例函数（实际问题与反比例函数（3）4. 实际问题与反比例函数（实际问题与反比例函数（4）小结与检测小结与检测 12课时课时( (二二) )课时建议课时建议四、怎样教四、怎样教( (三三). ).具体建议具体建议四、怎样教四、怎样教概念的引入概念的引入内涵的概括内涵的概括概念的辨析概念的辨析概念的巩固概念的巩固概念的应用概念的应用26.1.1反比例函数的意义反比例函数的意义概念教学概念教学概念的引入概念的引入引例的选择引例的选择补充补充: :（4 4）一辆汽车以）一辆汽车以60 km/h60 km/h匀速行驶的汽车，它行驶的距离匀速行驶的汽车，它行驶的距离s s （kmkm）随时间）随时间t t

8、（h h）。）。（5 5）一辆汽车的油箱中现有汽油）一辆汽车的油箱中现有汽油5050升，如果不再加油，平均每升，如果不再加油，平均每千米耗油量为千米耗油量为0.10.1升，油箱中的余油量升，油箱中的余油量y(y(升升) )随行驶里程随行驶里程x(x(千米千米) )的变化而变化。的变化而变化。 （6） 正方形面积正方形面积 y（m2）与边长）与边长x(m)的关系的关系;典型的丰富的具体实例典型的丰富的具体实例（学生认知特点）（学生认知特点）引例的选引例的选择：择：1.从反比例从反比例关系（小关系（小学课程发学课程发展链）展链）2.适当复习适当复习正比例函正比例函数、一次、数、一次、二次函数二次函

9、数内涵的概括内涵的概括问题的设置问题的设置问题问题1 1 上述每个变化过程中的常量和变量分别是什么？上述每个变化过程中的常量和变量分别是什么？问题问题2 2 变量在什么范围内变化？变量在什么范围内变化？ 问题问题3 3 变量之间的对应关系怎样表达？变量之间的对应关系怎样表达？问题问题4 4 这两个量之间是否存在函数关系？这两个量之间是否存在函数关系？问题问题5 5 以上函数都是你熟悉的吗？这些不熟悉的函数以上函数都是你熟悉的吗？这些不熟悉的函数 解析式有什么共同特征？解析式有什么共同特征？xykxyk通过运算即从反比例关系（小学知识）进行定义（关注课程发展链），即和一次和一次（含（含正比例正比

10、例）函数函数、二次函数二次函数之间的关系？之间的关系？函数观点：变化与对应函数观点：变化与对应提供典型丰富的具体例证，进行提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括属性的分析、比较、综合，概括不同例证的共同特征不同例证的共同特征形如：形如： ，这样的函，这样的函数叫反比例函数数叫反比例函数. .提供典型丰富的具体例证，进行提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括属性的分析、比较、综合，概括不同例证的共同特征不同例证的共同特征内涵的概括内涵的概括形式定义形式定义知识生长知识生长常函数不具常函数不具研究价值研究价值与分式有着紧密与分式有着紧密的联系的联系-体会体会知识

11、间的起始点知识间的起始点和生长点和生长点问题问题1 1 反比例关系与反比例函数的关系？反比例关系与反比例函数的关系？问题问题2 2 为什么规定为什么规定k k0 0？问题问题3 3 自变量自变量x x的取值范围是什么？的取值范围是什么？问题问题4 4 函数函数y y的取值范围是什么？的取值范围是什么？概念的辨析概念的辨析反比例函数的等价形式：反比例函数的等价形式：)0k(kxy)0k(kxy)0k(xky1 用概念作判断的具体事例，通过用概念作判断的具体事例，通过正例、反例分析，达成对概念的正例、反例分析，达成对概念的进一步认识进一步认识.正正例、例、反反例、例、关关键键词词分分析析概念的巩固

12、概念的巩固用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤用概念作判断的具体步骤.掌握待定掌握待定系数法系数法下列的数表中分别给出了变量下列的数表中分别给出了变量y y与与x x之间的对应关系，之间的对应关系，其中有一个表示的是反比例函数其中有一个表示的是反比例函数, ,你能把它找出来吗你能把它找出来吗? ?(d)(a)(b)(c)x -3-2-1123y 54310-1x-2-1 012y30-103x-3 -2 -1 123y-2 -3 -6 632x-3-2-1123y-6-4-22462xy12 xyxy6xy2将将新概念新概念纳入概念系统，建立与纳入概念

13、系统，建立与其他概念的联系其他概念的联系.概念的应用概念的应用什么是研究什么是研究函数的性质函数的性质 每一个每一个k值对应一个函值对应一个函数数,而研究这些函数的共性就是研究函数而研究这些函数的共性就是研究函数的性质的性质 )0k(xky 对要研究地函数根据系数的取值范围进行对要研究地函数根据系数的取值范围进行分类分类； 学情分析学情分析1 学生通过一次函数、二次函数的学习已明确初学生通过一次函数、二次函数的学习已明确初等函数的图象及其性质的研究内容、一般方法、过程。等函数的图象及其性质的研究内容、一般方法、过程。 0kxky.k,k0026.1.2反比例函数的图象及性质（反比例函数的图象及

14、性质（1）26.1.2反比例函数的图象及性质（反比例函数的图象及性质（1）如何研究如何研究函数的性质函数的性质 1. 一般问题特殊化一般问题特殊化;2. 通过具体函数定性（图象）、定量通过具体函数定性（图象）、定量（解析式）两个角度研究性质（解析式）两个角度研究性质;3. 特殊问题一般化归纳性质特殊问题一般化归纳性质.（计算机（计算机辅助教学）辅助教学）1. 列表猜性质列表猜性质（1）关注自变量的取值范围；）关注自变量的取值范围；（2）关注自变量每取一个值，函数都有唯一确定的值和它）关注自变量每取一个值，函数都有唯一确定的值和它对应对应（3）关注对于自变量在某一范围内的取值，函数值的取值范围）

15、关注对于自变量在某一范围内的取值，函数值的取值范围以及随的变化规律，从而得到以及随的变化规律，从而得到关于函数性质的猜想关于函数性质的猜想.（学情分析学情分析2 学生通过分式的学习，具备完成表格的运算能力即学生通过分式的学习，具备完成表格的运算能力即观察猜想性质的能力观察猜想性质的能力.) 定性（图象）、定量（解析式）研究性质定性（图象）、定量（解析式）研究性质x-3 -2 -1 123y 定性（图象）、定量（解析式）研究性质定性（图象）、定量（解析式）研究性质2. 图象看性质图象看性质问题问题1 如何画图如何画图即关注所描出的邻即关注所描出的邻近两点如何连线；近两点如何连线；（学情分析（学情

16、分析3 学生通过一次函数、学生通过一次函数、二次函数的学习已初步具备密集取二次函数的学习已初步具备密集取点观察趋势连线的能力。）点观察趋势连线的能力。） 定性（图象）、定量（解析式）研究性质定性（图象）、定量（解析式）研究性质2. 图象看性质图象看性质问题问题2 图象会和坐标轴有交点吗？图象会和坐标轴有交点吗？（学情分析（学情分析4 学生通过对分式运算的学生通过对分式运算的剖析，认识图象的不连续，渐近线的剖析，认识图象的不连续，渐近线的意识，这是教学的难点）意识，这是教学的难点） 建议这里不要上来就是用计算机展示图象，画反比例函数建议这里不要上来就是用计算机展示图象，画反比例函数图象和其他函数

17、有本质的差异，讨论、指导、纠错实际上图象和其他函数有本质的差异，讨论、指导、纠错实际上就是完成正确作图的过程，尤其对就是完成正确作图的过程，尤其对“形形”的错误的分析解的错误的分析解读的过程实质是读的过程实质是“数数”的认识的进一步深化，反复回到解的认识的进一步深化，反复回到解析式（分式运算）这一本质，有利于建立数形的互化意识。析式（分式运算）这一本质，有利于建立数形的互化意识。2. 图象看性质图象看性质问题问题3 如何如何观察图像观察图像（1） 图象的分布？图象的分布？（2）图象自左至右的变化趋）图象自左至右的变化趋势？势？（3） 图象有什么几何特性？图象有什么几何特性？ 定性（图象）、定量

18、（解析式）研究性质定性（图象）、定量（解析式）研究性质学情分析学情分析5 学生通过从数形两方面学生通过从数形两方面认识性质，图象的分布、变化趋势、认识性质，图象的分布、变化趋势、关于原点对称较易，关于直线对称关于原点对称较易，关于直线对称较难（不必作为整体要求）较难（不必作为整体要求）。2. 图象看性质图象看性质问题问题3 如何如何观察图像观察图像（1） 图象的分布？图象的分布？（2）图象自左至右的变化趋）图象自左至右的变化趋势？势？（3） 图象有什么几何特性？图象有什么几何特性？ 定性（图象）、定量（解析式）研究性质定性（图象）、定量（解析式）研究性质3. 解析式证明性质解析式证明性质 （这

19、一步要求比较高，实际上就是高中研这一步要求比较高，实际上就是高中研究函数增减性的方法，仅针对程度较好学生或在中考复习课究函数增减性的方法，仅针对程度较好学生或在中考复习课中展现）中展现）难点之一：关于的范围的分情况讨论：难点之一：关于的范围的分情况讨论：若点若点 在反比例函数图象上，则的大小有以下三在反比例函数图象上，则的大小有以下三种情况：种情况： 11y,x 2211,yxyx212121000 xxxxxx 定性（图象）、定量（解析式）研究性质定性（图象）、定量（解析式）研究性质3. 解析式证明性质解析式证明性质 （这一步要求比较高，实际上就是高中研这一步要求比较高，实际上就是高中研究函

20、数增减性的方法，仅针对程度较好学生或在中考复习课究函数增减性的方法，仅针对程度较好学生或在中考复习课中展现）中展现）难点之二难点之二 ：式的比较大小：式的比较大小 11y,x21121212212112210,0,06()660 xxxxx xxxyyxxx xyy 定性（图象）、定量（解析式）研究性质定性（图象）、定量（解析式）研究性质1.用计算机实用计算机实现密集的取点现密集的取点,近似地出现函近似地出现函数的图象数的图象,以增以增加猜想的可信加猜想的可信性性;2.利用信息技利用信息技术手段从特殊术手段从特殊.到一般的研究到一般的研究. 计算机辅助教学的作用计算机辅助教学的作用y=kx(k

21、0)y= (k0)kxx取一切实数取一切实数x取不为取不为0的所有实数的所有实数直线直线双曲线双曲线k0,经过第一、三象限经过第一、三象限; k0,分居分居第一、三象限第一、三象限; k0，y随着随着x增大而增大增大而增大; k0,在在每一象限内每一象限内，y随着随着x增大增大而减小而减小; k0,在在每一象限内每一象限内，y随着随着x增大而增大增大而增大.正比例函数正比例函数反比例函数反比例函数解析式解析式自变量取值范围自变量取值范围 图图 象象位位 置置增减性增减性加强反比例函数与正比例函数的对比教学加强反比例函数与正比例函数的对比教学1.解析式的结构解析式的结构:分式形式分式形式(自变量

22、的次数为自变量的次数为-1)决定它的图象是决定它的图象是双曲线双曲线 -对图象类型的决定对图象类型的决定2.解析式中的系数解析式中的系数k对图象的影响对图象的影响 对图像对图像 的影响的影响（1）回忆一次函数）回忆一次函数k对图象性质的影响对图象性质的影响 k的符号的符号-直线趋势直线趋势-增减性增减性 k的绝对值的绝对值-倾斜程度倾斜程度-夹角大小夹角大小 k相等，线平行；相等，线平行；k互反，线对称互反，线对称k26.1.3反比例函数的图象及性质（反比例函数的图象及性质（2）影响反比例函数的性质与图象的要素影响反比例函数的性质与图象的要素( (三三). ).具体建议具体建议 对图像对图像

23、的影响的影响（2）借助借助计算机辅助教学、计算机辅助教学、类比类比正比例函正比例函数从数从定性定性（图象）、（图象）、定量定量（解析式）两（解析式）两个角度探讨反比例函数函数个角度探讨反比例函数函数k对图象性质对图象性质的影响的影响k的符号的符号双曲线分布双曲线分布增减性增减性 k的绝对值的绝对值双曲线的弯曲程度双曲线的弯曲程度离离坐标原点的距离坐标原点的距离k互反，线对称互反，线对称k26.1.3反比例函数的图象及性质（反比例函数的图象及性质（2）( (三三). ).具体建议具体建议 对图像对图像 的影响的影响k图象（形）：图象（形）：k的绝对值越小图的绝对值越小图像越靠近坐标轴，像越靠近坐

24、标轴，解析式（数）：解析式（数）：(3, 1)(6, 1)；（1.5, 2)(3, 2)靠近靠近y轴的程度轴的程度 （2）借助计算机辅助教学、类比正比例函数）借助计算机辅助教学、类比正比例函数从定性（图象）、定量（解析式）两个角从定性（图象）、定量（解析式）两个角度探讨反比例函数函数度探讨反比例函数函数k对图象性质的影响对图象性质的影响 对图像对图像 的影响的影响（2）借助计算机辅助教学、类比正比例函数）借助计算机辅助教学、类比正比例函数从定性（图象）、定量（解析式）两个角从定性（图象）、定量（解析式）两个角度探讨反比例函数函数度探讨反比例函数函数k对图象性质的影响对图象性质的影响k图象（形）

25、：图象（形）：k的绝对值越小的绝对值越小图像越靠近坐标轴，图像越靠近坐标轴，解析式（数）解析式（数） :(1,3)(1,6)；(2,1.5)(2,3) 靠近靠近x轴的程度轴的程度 对图像对图像 的影响的影响k图象（形）：作图观察（再回图象（形）：作图观察（再回顾作图，希望利用自身对称性顾作图，希望利用自身对称性快捷画图），几何画板演示快捷画图），几何画板演示 。解析式（数）：从解析式角度解析式（数）：从解析式角度分析其合理性。分析其合理性。 结论：结论：k互反，线对称互反，线对称（2）借助计算机辅助教学、类比正比例函数）借助计算机辅助教学、类比正比例函数从定性（图象）、定量（解析式）两个角从定

26、性（图象）、定量（解析式）两个角度探讨反比例函数函数度探讨反比例函数函数k对图象性质的影响对图象性质的影响26.1.4反比例函数的图象及性质（反比例函数的图象及性质（3）推荐宋春桂推荐宋春桂老师课例老师课例 的几何意义的几何意义 k1如何由解析式如何由解析式xy=k(k为定值为定值)联想到图形面积联想到图形面积;（1） 反比例函数实质：两个变量的乘积是定值反比例函数实质：两个变量的乘积是定值.（代数）（代数）（2） k的的几何几何意义：意义： 面积不变性面积不变性.2若学生程度较好，是否可考虑能否用同样的方式研究正比若学生程度较好，是否可考虑能否用同样的方式研究正比例函数乃至一次函数中比例系数

27、例函数乃至一次函数中比例系数k的几何意义的几何意义(研究性学习研究性学习).26.1.5反比例函数与其他函数反比例函数与其他函数课本课本p9略高要求略高要求1x4 xyoa图226.1.5反比例函数与其他函数反比例函数与其他函数 适度拓展适度拓展（课本（课本p22）26.1.5反比例函数与其他函数反比例函数与其他函数._)0()1 (. 5图象的是在同一坐标系中的大致和如图能表示kxkyxkyoxyacoxydxyooxybd26.1.5反比例函数与其他函数反比例函数与其他函数oabcxyd略高要求略高要求26.1.5反比例函数与其他函数反比例函数与其他函数较高要求较高要求26.1.5反比例函

28、数与其他函数反比例函数与其他函数请利用函数图象，求方程请利用函数图象，求方程 的大致解的大致解211xx较高要求较高要求26.1.5反比例函数与其他函数反比例函数与其他函数26.2反比例函数应用反比例函数应用反比例函数的实际应用反比例函数的实际应用v=s.hf=p.sm=f.lu=i.rp=ru2m=f.lx.y=k,（k 0， 且为常数）且为常数）. 利用反比例函数解决现实世界的实际问题，以及如何利用反比例函数解决现实世界的实际问题，以及如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象用反比例函数解释现实世界中的一些现象(建模建模)，突出突出解决实际问题，建立模型的分析过程与方法解决实际问题，建立模型的分析过程与方法 先给出图形和题干，引导学生分析这是一个怎