概率论第二章习题PPT演示文稿

1、2021-10-241第第 二二 章章 习习 题题 课课2021-10-242021-10-242 2主要内容：主要内容： 分布函数、分布列、分布函数、分布列、 密度函数及概率密度函数及概率的计算问题，期望和方差的性质和计算，常用分布的计算问题，期望和方差的性质和计算，常用分布的应用，随机变量函数的分布，其他特征数的计算的应用，随机变量函数的分布，其他特征数的计算. . 学习重点：学习重点：分布函数、分布列、密度函数及概率的分布函数、分布列、密度函数及概率的计算，期望和方差的性质和计算，常用分布的应用，计算，期望和方差的性质和计算，常用分布的应用，随机变量函数的分布随机变量函数的分布. .学习

2、难点：学习难点： 随机变量函数的分布，常用分布的应用随机变量函数的分布，常用分布的应用. . 2021-10-242021-10-243 3一、随机变量的分布一、随机变量的分布 2.12.1（p73p73）4 4、9 9、1616 4 4、有、有3 3个盒子，第一个盒子装了个盒子，第一个盒子装了1 1个白球，个白球，4 4个黑球；个黑球；第二个盒子装了第二个盒子装了2 2个白球，个白球，3 3个黑球；第三个盒子装了个黑球；第三个盒子装了3 3个白球，个白球，2 2个黑球。现任取一个盒子，从中取个黑球。现任取一个盒子，从中取3 3个球，个球，以以x x表示取到的白球数。表示取到的白球数。求求x的

3、概率分布列；的概率分布列； 取到的白球数不少于取到的白球数不少于2 2个的概率是多少？个的概率是多少？解：记解：记ai为取到第为取到第i个盒子，个盒子，x的可能取值为的可能取值为0，1，2，3.(1)(0)p x 112233() (0)() (0)() (0)p a p xap a p xap a p xa 16 2021-10-242021-10-244 4131(1), (2), (3).21030p xp xp x 同同样样可可求求得得：x从从而而， 的的分分布布列列为为01231131621030xp(2)(2)(2)(3)p xp xp x 13 2021-10-242021-10

4、-245 59 9： 从从1 1，2 2，3 3，4 4，5 5这五个数中任取这五个数中任取3 3个，按大小个，按大小 1232,.xxxxxx 记记为为，令令求求 的的分分布布函函数数解：解：x的可能取值为的可能取值为2 2、3 3、4.4.2x 3124,5(2)p x 3533;10c 3x 143,25(3)p x 3544;10c 4x 1245,33533(2).10p xc 2021-10-242021-10-246 6x从从而而， 的的分分布布列列为为2340.30.40.3xpx的的分分布布函函数数为为0,2;0.3, 23;( )0.7, 34;1,4.xxf xxx 20

5、21-10-242021-10-247 7016( )( )0,()1( )0.5( ).axp xf xafaf ap x dx 设设 的的密密度度函函数数是是偶偶函函数数，为为分分布布函函数数，则则对对有有()( )afap x dx 证证：() ()axtpt dt ( )ap t dt ()p xa1()p xa 1( )f a(0)(0)p xp x由由0.5, 00( )( )0.5p x dxp x dx 00.5( )ap x dx 00( )( )( )aap x dxp x dxp x dx ()p xa2021-10-242021-10-248 8二、期望和方差二、期望和

6、方差 2.22.2（p81p81）5 5、1313、1616；2.32.3（p88p88）6 6、9.9.2.22.2（p81p81） 5 5、用天平称量某种物品的质量，现有、用天平称量某种物品的质量，现有三组砝码：三组砝码：甲甲1 1，2 2，2 2，5 5，1010g g；乙乙1 1，2 2，3 3，4 4，1010g g；丙丙1 1，1 1，2 2，5 5，1010g g，称量时只能使用一组砝码。当要称量的物品质量是称量时只能使用一组砝码。当要称量的物品质量是1 1，2 2，10g10g的概率相同时，用哪一组砝码平均所用的概率相同时，用哪一组砝码平均所用的砝码数最少？的砝码数最少？解：记

7、解：记x、y、z表示三组砝码称重时所用的砝码数，则表示三组砝码称重时所用的砝码数，则 用甲组砝码时：用甲组砝码时：1 1个砝码可以称个砝码可以称4 4种物品（种物品（1 1，2 2，5 5，1010），），2 2个砝码可以称个砝码可以称4 4种物品（种物品（3 3，4 4，6 6，7 7），），3 3个砝码可以称个砝码可以称2 2种物品（种物品（8 8，9 9），从而得到），从而得到 x的分布的分布. .1230.40.40.2xp2021-10-242021-10-249 91230.40.40.2xp同样可得同样可得1230.50.30.2yp12340.40.30.20.1zp1.8;1

8、.8;2.0.exeyez 2021-10-242021-10-24101021cos,0;13.( )220 ,./3() .xxxp xxye y 设设对对 独独立立重重复复观观测测其其他他4 4次次， 表表示示观观测测值值大大于于的的次次数数，求求()3p x 解解：311cos22xdx 0.5 (4, 0.5).yb 422440()0.5 (10.5)kkkke yk c 5 或者，或者，22()( )()e yd yey 240.50.5(40.5)5 2021-10-242021-10-2411111616、设连续型随机变量、设连续型随机变量x的分布函数为的分布函数为( ),f

9、 xex存存在在，求求证证：00()1( )( ).e xf x dxf x dx ()( )e xxp x dx 证证：00( )( )xp x dxxp x dx 0( )xp x dx 化化为为二二重重积积分分00) ( )xdy p x dx ( (改改变变积积分分次次序序0( )yp x dx dy ( (0( )f y dy xy000( )() ( )xxp x dxdy p x dx 同同样样得得0( )yp x dx dy 01( )f y dy 01( )f x dx xy2021-10-242021-10-2412122882.36(),()() .pcexd xe xc

10、 证证明明：对对有有2()()d xe xex 证证：2()()excexc22()()e xcexc 2() .e xc()e xcexc 2021-10-242021-10-241313x证证： 若若 为为连连续续的的，()( )p xp x dx ( )( ),( )g xp x dxg ( )( )g xg ( )( )( )g xp x dxg ().( )e g xg 离散型类似可证离散型类似可证. .2021-10-242021-10-241414,abcppab补补充充题题： 向向中中随随机机投投一一点点求求点点 到到的的.x距距离离 的的数数学学期期望望和和方方差差acb p

11、xxef( )()f xp xx efbaabcss 21() .hxh 0 xh 当当时时，22(),0( ).0,hxxhp xh 其其他他222,(),().3618hhhexe xd xh2021-10-242021-10-241515三、常用分布三、常用分布 2.42.4（p101p101）4 4、1111； 2.52.5（p115p115）3 3、6 6、1010、1717、26262.42.4（p101p101）4 4、经验表明，预定餐厅座位而不来、经验表明，预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为就餐的顾客比例为2020。如今餐厅有。如今餐厅有5050个座位，但个座位，但预定给了预定

12、给了5252位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？位的概率是多少？52.x解解：记记 为为预预定定的的位位顾顾客客中中不不来来就就餐餐的的人人数数(52, 0.2) .xb 则则所所求求概概率率为为(1)p x (0)(1)p xp x 52510.8520.80.2 0.0001279 2021-10-242021-10-2416161111、某种产品上的缺陷数、某种产品上的缺陷数x服从以下分布服从以下分布 11(),0,1,2,2kp xkk 求此种产品上的平均缺陷数。求此种产品上的平均缺陷数。注意：注意：几何分布几何分布的分布列为的分布列为1

13、()(1),1,2,kp xkppk 11( ),.2yxge pp 其其中中12.eyp(1)exe y 11.ey 注：也可以直接按数学期望的定义计算注：也可以直接按数学期望的定义计算, ,另解如下另解如下 2021-10-242021-10-2417171111、某种产品上的缺陷数、某种产品上的缺陷数x服从以下分布服从以下分布 11(),0,1,2,2kp xkk 求此种产品上的平均缺陷数。求此种产品上的平均缺陷数。1112kkexk 234111123222 211122kkexk 345111123222 23451111122222ex 21121212 1.ex 作差作差2021

14、-10-242021-10-241818补充题：设某商店中每月销售某商品的数量补充题：设某商店中每月销售某商品的数量x服从服从参数为参数为7 7的泊松分布，问在月初应进货多少件，才的泊松分布，问在月初应进货多少件，才能保证当月不脱销的概率不小于能保证当月不脱销的概率不小于0.900.90？解：设解：设k为月初的进货件数，为月初的进货件数，()0.9.p xk(9)0.830,(10)0.901.p xp x 查查表表知知：所以月初至少应进货所以月初至少应进货1010件。件。2021-10-242021-10-24191911522.53()(1, 6)10.pkxkx 设设服服从从上上的的均均

15、匀匀分分布布，求求方方程程有有实实根根的的概概率率解：方程有实根的充要条件为解：方程有实根的充要条件为 0 240k 22kk ()p方方程程有有实实根根 22= p xp x 440.552021-10-242021-10-2420206 6、设某种商品每周的需求量、设某种商品每周的需求量x服从（服从（1010，3030）上的）上的均匀分布，而商店进货数为（均匀分布，而商店进货数为（1010，3030）中的某一数，）中的某一数，商店每销售商店每销售1 1单位商品可获利单位商品可获利500500元；若供大于求则元；若供大于求则削价处理，每销售削价处理，每销售1 1单位商品亏损单位商品亏损100

16、100元；若供不应元；若供不应求，则可从外部调剂供应，每销售求，则可从外部调剂供应，每销售1 1单位商品可获利单位商品可获利300300元。为使商店所获利润的期望不少于元。为使商店所获利润的期望不少于92809280元，试元，试确定最少进货量。确定最少进货量。2021-10-242021-10-242121,ay解解： 设设进进货货量量为为利利润润为为则则有有500100(),10500300(),30xaxxayaxaax 600100 ,10300200 ,30xaxaxaax 27.53505250eyaa 9280 220263a故至少应进货故至少应进货21 21 数量单位。数量单位。

17、2021-10-242021-10-2422221010、某种设备的使用寿命、某种设备的使用寿命x以年计以年计服从指数分布，服从指数分布，其平均寿命为其平均寿命为4 4年。制造此种设备的厂家规定，若设年。制造此种设备的厂家规定，若设备在使用备在使用1 1年内损坏，则可予以调换。如果售出一台年内损坏，则可予以调换。如果售出一台设备可赢利设备可赢利100100元，而调换一台设备需花费元，而调换一台设备需花费300300元。元。求每台设备的平均利润。求每台设备的平均利润。( ),xexp 14ex 1.4 设设y为一台设备在一年内损坏的设备数，为一台设备在一年内损坏的设备数， 则则y服从二项分布服从

18、二项分布b(1,(1,p) )（0 01 1分布）分布）. .(1)pp x z为为一一台台设设备备的的利利润润，100300 .zy 2021-10-242021-10-24232310.25401(1)10.22124xpp xedxe 1( ),4xexp (1,)ybp 100300 .zy (100300 )ezey 1003000.221233.64 2021-10-242021-10-2424242217.( ,),(70)0.5(60)0.25,(1),;(2)52xnp xp x 某某地地区区的的成成年年男男子子的的体体重重若若已已知知，求求的的值值从从这这个个地地区区随随机

19、机抽抽取取 名名成成年年男男子子，至至少少 人人体体重重超超过过65kg65kg的的概概率率是是多多少少？65(5,).ykgybp 记记为为人人中中体体重重超超过过的的人人数数，则则0.5(70)p x 70,( (0)0.5); 0.25(60)p x10() 14.81. 7065(65)()0.6324,14.81pp x (2)p y 1(1)(0)0.94.p yp y 2021-10-242021-10-24252522121226.( ,4 ),( ,5 )(4),(5),.xnynpp xpp ypp 设设， 比比较较的的大大小小1(4)pp x 解解：4()4p u( 1)

20、 2(5)pp y 5()5p u 1(1) 12.pp 即即有有2021-10-242021-10-242626 四、随机变量函数的分布四、随机变量函数的分布 2.62.6（p123p123）5 5、11115.(,),cos22xuyx 设设随随机机变变量量求求的的密密度度函函数数. .1,( )220,xxpx ；解解：其其他他. .cos01.yxy的的可可能能取取值值范范围围是是2 2 012021-10-242021-10-2427272 2 01( )()yfyp yy (cos)pxy (arccosarccos)22pxyyx 或或(2arccos )/y 22,01( )10,yypyy 其其他他01y当当时时，arccosyarccosy y2021-10-242021-10-2428281111、设随机变量、设随机变量x的密度函数为的密度函数为 23, 11;( )20 ,.xxxpx 其其他他求下列随机变量的分布求下列随机变量的分布 21233,3,.yxyxyx 1(1)3( 3, 3).yx 解解：的的取取值值范范围围是是( )(3)yfypxy (/3)p xy /32132