微积分三定理基本公式牛顿莱布尼茨公式

1、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(ttdttv另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12tsts 一、问题的提出一、问题的提出).()()(1221tstsdttvtt ).()(tvts 其其中中 xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具

2、有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x说明说明:1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2) 变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(

3、xxf通过原函数计算定积分开辟了道路 .)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx例如例如tantan ,xadtdtxdx.22xdttdxdaxxadttdxd2sinxx21sin2xxdttdxd22cos4cos2xx2cosx例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解：原式解：原式=21cos02limtxxedtxxexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.例例2 2 求求2030sinlim.xxt dtx解：原式解：原式=2

4、003sinlimxxt dtx220sinlim3xxx13例例3 3 求求2050coslim.xxxt dtx解：原式解：原式=2401coslim5xxx4402lim5xxx1.10练一练练一练2040020arctan1.limln 12.limxxxxtdtxt dtx1212 定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数. .定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在

5、的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xf是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(afbfdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已已知知)(xf是是)(xf的的一一个个原原函函数数，cxxf )()(,bax 证证三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式令令ax ,)()(caaf 0)()( dttfaaa,)(caf ),()()(afxfdttfxa ,)

6、()(cdttfxfxa 令令 bx).()()(afbfdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(afbfdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxf)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(afbfdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 解解（一）、直接积分法（

7、一）、直接积分法212212dxxx213123xxx1211221831.654例例5 5 求求 2211xdxx原式原式解解例例6 6 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx原原式式. 6 xyo12例例7 7 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面积面积xyo 0sin xdxa 0cos x. 2 练一练练一练212020240221201.d1cos22.dcossin3.

8、tand14.d15.1dxxxxxxxxxexexx 3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(afbfdxxfba 四、小结四、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系之间的关系思考题思考题思考题解答思考题解答dttfxa )(与与duufbx )(都都是是x的的函函数数)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 一一、 填填空空题题：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _