随机变量的性质

1、随机变量的性质随机变量的性质n随机变量定义随机变量定义n随机变量的独立性随机变量的独立性n随机变量的矩与相关系数随机变量的矩与相关系数n随机变量分布的峰度和偏度随机变量分布的峰度和偏度 n随机变量的矩母函数和特征函数随机变量的矩母函数和特征函数 n极限定理极限定理 主要内容主要内容n随机变量的提出：随机变量的提出：观察一个随机现象，其随机事件有些是数量性质，有些是非数量性质的。非数量性质的随机事件很非数量性质的随机事件很难运用成熟的数学方法去处理，即使对数量方式刻画的随机难运用成熟的数学方法去处理，即使对数量方式刻画的随机事件由于缺乏规范性和统一性，在进行数学处理时通常也会事件由于缺乏规范性和

2、统一性，在进行数学处理时通常也会存在一些问题。存在一些问题。 为此，人们提出了一种与事件的原始描述形为此，人们提出了一种与事件的原始描述形态相对应、易于数学处理、比较规范、并有许多共性的数学态相对应、易于数学处理、比较规范、并有许多共性的数学描述方法，这就是所谓的随机事件的随机变量表示。描述方法，这就是所谓的随机事件的随机变量表示。n 借助于随机变量对借助于随机变量对上的事件进行数学化刻画以后，我们上的事件进行数学化刻画以后，我们既可以利用概率测度既可以利用概率测度p评价评价f 中的事件，又可以广泛借助于中的事件，又可以广泛借助于数学方法对数学方法对f 中的事件进行更全面、更深入的认识。中的事

3、件进行更全面、更深入的认识。n注意：注意：随机变量的定义也必须遵循一定的规则。对于概率随机变量的定义也必须遵循一定的规则。对于概率空间空间(, f,p)，尽管，尽管的所有随机事件皆可以用随机变量来的所有随机事件皆可以用随机变量来描述，但我们只对评测描述，但我们只对评测f中的事件感兴趣，而且也只有中的事件感兴趣，而且也只有f中的中的随机事件才是可测的，或者说只有对随机事件才是可测的，或者说只有对f中事件才能进行概率中事件才能进行概率测度。测度。随机变量定义的界定随机变量定义的界定定义定义 称映射:r1 是随机变量（或者f可测的），若ab (r1)，-1(a)=w|(w) af，即-1(a)是f中

4、的事件。显然，g -1(a)| ab (r1)是f中的集合簇。我们把由g生成的代数 (g)称为由随机变量生成的代数，记作(),()是使可测的最小代数。定义定义多维随机变量多维随机变量设(, f,p)为概率空间，称(1(w),2(w),n(w):rn是多维随机变量，当且仅当的每个分量都是f可测的。同样，我们也可以定义多维随机变量:rn 的分布函数：对x = (x1,xn) rn，定义f(x)= f(x1,xn)=p(w|1(w)x1 ,n(w)xn)，则称f为 的n维联合分布函数。对m n，在联合分布函数中将其中n-m个变量用+来代替，就可得到对应于 的m个分量的边际分布函数。例如：f(x1,

5、+,+)=p(w|1(w)x1,2(w)+,n(w) +)是一维边际分布函数，实质上也是分量1的分布函数。多维随机变量多维随机变量若存在一个非负实函数f：rn r1 ，使得对ab(rn)，满足p(a) =p(w|(w)a ) = f(x)dx则称f为n维随机变量的密度函数，此时n维随机变量的联合分布函数表示为我们经常使用的概率分布有二项分布、poission分布、正态分布、对数正态分布、高斯分布、2-分布、t-分布、f分布等。nxnnxxndssssfdsdsxxfxf),(),()(2121121ax 随机变量的独立性随机变量的独立性定义定义 设1, 2,n为定义在(, f,p)上的随机变量

6、，若对aib(r1)，i=1,2, ,n，有p(w|1(w) a1 , 2(w) a2, n(w) an)= p(w|i (w) ai ), 则称1, 2,n是相互独立的。ni 1随机变量的独立性随机变量的独立性另外，还有等价定义为：称1, 2,n相互独立，若对任意实数x1, x2,xn，有p(1 x1, 2 x2,n xn)= p(1 x1) p(2 x2)p(n xn) 上式等价于f(x1, x2,xn)= f1(x1) f2(x2)fn(xn), 其中，f是随机向量(1, 2,n)的联合分布函数，f1 ,fn分别为随机变量1, 2,n的一维边际分布函数。随机变量的矩与相关系数随机变量的矩

7、与相关系数 定义定义 设为概率空间(, f,p)上的随机变量，若积分 |k|dp +，则称 kdp为的k阶矩，记作ek；同理，可定义k阶中心矩e(e)k)；n称一阶矩e为的数学期望，记为e；n称二阶中心矩e(e)2)为的方差，记作2或v；n称为的标准差。多维随机变量的数学期望和方差多维随机变量的数学期望和方差: 对维随机向量（对维随机向量（ 1, 2, n），若每），若每个随机变量个随机变量 i (i=1,2,n)都有有限数学期都有有限数学期望，则称望，则称cov( i, j)=e( ie i)( je j) = e i je ie j , ( i j )为随机变量为随机变量 i与与 j的协方

8、差，或称为二阶混合的协方差，或称为二阶混合中心矩；中心矩；若若 i， j的方差的方差v i 和和v j非零有限，则定义非零有限，则定义 i与与 j的相关系数为的相关系数为容易推理得容易推理得0 | ( i, j)| 1。 21)(),cov(),(jijijivv方差方差-协方差矩阵协方差矩阵:我们称n阶方阵为n维随机向量（ 1, 2,n ）的方差-协方差矩阵，记为，显然方差-协方差矩阵为非负定的对称矩阵。同理，我们也可以得到由(i,j)组成的相关系数矩阵。nnnnnvvv),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(2222121211数学期望和方差有一条重要性质：

9、数学期望和方差有一条重要性质：若1, 2,n相互独立，则 e( 1 2 n )= e 1 e 2 e n通过上式可以知道，当两个随机变量与相互独立时，(,)=0，即两随机变量不相关。iniiniivcvc121)(随机变量的峰度和偏度随机变量的峰度和偏度设设 为定义在概率空间为定义在概率空间(, f,p)上的某随机上的某随机变量，则用变量，则用 的标准化的三阶中心矩来定的标准化的三阶中心矩来定义义 的偏度，即的偏度，即所有对称分布的偏度都为所有对称分布的偏度都为0，偏度不为，偏度不为0的的分布曲线是右偏斜或左偏斜。分布曲线是右偏斜或左偏斜。 233)()()(vees用用 的标准化的四阶中心矩

10、来定义的标准化的四阶中心矩来定义 的峰度，的峰度，即即正态分布的偏度为正态分布的偏度为0，峰度为，峰度为3，厚尾分布，厚尾分布的峰度大于的峰度大于3，甚至有无限峰度。，甚至有无限峰度。24)()()(veek在实际应用中，也可以用样本数据去估计偏在实际应用中，也可以用样本数据去估计偏度和峰度，以找到样本数据的变化规律。度和峰度，以找到样本数据的变化规律。假设有样本数据假设有样本数据 ，则样本均值，则样本均值 和和方差方差 分别为分别为niix1u 2niixnu11212) (11niiuxn这样，样本的偏度 和峰度 分别为s kniiuxns133) () 1(1414) () 1(1nii

11、uxnkn从前面的分布可以看出，我们可以用随机变量分布函数、数学期望、方差等数字特征来了解随机变量某些特征和统计规律。n数字特征是由随机变量的有阶矩决定的。随着矩阶数的提高，例如偏度和峰度，矩的直接计算越来越复杂，非常需要一个简便有效的计算工具，于是特征函数和母函数就应运而生了。n特征函数是将数学中著名的fourier变换应用到分布函数或密度函数而产生的。由于特征函数比分布函数具有更好的性质，例如连续性、可导性等，所以凭借这些良好特性和反演公式，我们既可以很方便用以求分布函数、各阶矩，也可以用来研究随机变量其他方面更多的规律。当处理离散型随机变量时，则用母函数更为方便，因为此时可以充分利用幂级

12、数的性质而避免再引进更复杂的复函数积分。随机变量的矩母函数和特征函数随机变量的矩母函数和特征函数 定义：定义：设为随机变量，则称数学期望为矩母函数。原点矩的求法：利用矩母函数可求得的各阶矩，即对逐次求导并计算在点的值：( )txte e( )txte xe2( )txte x e计算在 点的值得 矩母函数的名称就来自此性质。( )nntxte x e0t (0)(1)nne xn矩母函数：矩母函数：定理：定理：设相互独立的随机变量的矩母函数分别为 ，则其和 的矩母函数为由于一个随机变量的矩母函数不一定存在，故理论上更方便的是定义特征函数.12,rxxx12( ),( ),( )rttt12ryxxx12( )( )( )( )yrtttt通过概率理论得到的基本认识为：大量个体的随机现象的共同运动产生了非随机的规律，其中最主要的规律就是大数定律大数定