电路原理 8-1第八章-非正弦周期电流电路

1、本章主要内容：本章主要内容：周期函数的傅里叶级数展开式周期函数的傅里叶级数展开式 ，线性电路对周期性激励的，线性电路对周期性激励的稳态响应稳态响应 ，非正弦周期电流和电压的有效值，非正弦周期电流和电压的有效值平均功率平均功率 ，周，周期信号的频谱。期信号的频谱。重点：重点：线性电路对周期性激励的稳态响应线性电路对周期性激励的稳态响应 ，非正弦周期电流和电压，非正弦周期电流和电压的有效值的有效值平均功率平均功率 ，周期信号频谱的概念。，周期信号频谱的概念。第八章第八章 非正弦周期电流电路的分析非正弦周期电流电路的分析 产生非正弦周期电流的原因：产生非正弦周期电流的原因：1、激励本身为非正弦周期函

2、数、激励本身为非正弦周期函数(如发电机如发电机)。2、单一频率的正弦激励作用于非线性电路（、单一频率的正弦激励作用于非线性电路（二极管整流电路二极管整流电路）。）。tu(t)DR2uSu+_ t0Suu23. 大量脉冲信号均为周期性非正弦信号大量脉冲信号均为周期性非正弦信号t尖脉冲尖脉冲f(t)0t锯齿波锯齿波f(t)0t方波方波0f(t)4、多个不同频率的正弦激励作用于同一线性电路。、多个不同频率的正弦激励作用于同一线性电路。周期性非正弦电流电路的分析方法周期性非正弦电流电路的分析方法谐波分析法谐波分析法 周期性非正弦电源周期性非正弦电源分解成傅里叶级数分解成傅里叶级数(Fourier se

3、ries)利用叠加定理分别计算各次谐波电源利用叠加定理分别计算各次谐波电源单独作用在电路上产生的响应单独作用在电路上产生的响应将各次谐波电源在电路中产生的响应进将各次谐波电源在电路中产生的响应进行相加。行相加。狄里赫利条件狄里赫利条件:一、周期函数分解为傅里叶级数一、周期函数分解为傅里叶级数式中式中T为周期，为周期，k = 0、1、2、3 （k为正整数）为正整数）)()(kTtftf T 2 （1）函数在一周期内极大值与极小值为有限个。）函数在一周期内极大值与极小值为有限个。（2）函数在一周期内间断点为有限个。）函数在一周期内间断点为有限个。（3）在一周期内函数绝对值积分为有限值）在一周期内函

4、数绝对值积分为有限值 。 dttfT0)(即即任何满足狄里赫利条件的周期函数任何满足狄里赫利条件的周期函数f(t)可展开成傅里叶级数可展开成傅里叶级数8 1 周期函数的傅里叶级数展开式周期函数的傅里叶级数展开式 )sin( )sin( )2sin()sin()(1022110nnnnntnAAtnAtAtAAtfsincos )2sin2cos()sincos()(1022110tnbtnaatbtatbtaatfnnn周期函数傅里叶级数展开式为周期函数傅里叶级数展开式为还可表示成下式还可表示成下式将同频率将同频率 与与 合并，合并，)(tfcossinnnnnnnAbAacossin或或即即

5、f(t)在一周期内平均值在一周期内平均值求傅里叶系数求傅里叶系数(Fourier coefficient)的公式：的公式：nnnnnnbabaAtan22两种表示式中系数间的关系：两种表示式中系数间的关系：nanbnnA 2200d)(1d)(1TTTttfTttfTa)(dcos)(1dcos)(20ttntfttntfTaTn)(dsin)(1dsin)(20ttntfttntfTbTn00aA 基波基波(fundamental wave)或一次谐波或一次谐波(first harmonic)： )sin(111 tAn次谐波次谐波(n-th harmonic)： )1( )sin(1 nt

6、nAnn 二次和二次以上的谐波可统称为高次谐波二次和二次以上的谐波可统称为高次谐波(higher order harmonic) 谐波分析法谐波分析法(harmonic analysis) 具有对称性的周期函数的傅里叶级数展开式的特点：具有对称性的周期函数的傅里叶级数展开式的特点： (1) 奇函数奇函数(odd function) ：f ( t ) = f ( t ) 奇函数的波奇函数的波形对称于坐形对称于坐标系的原点标系的原点 0 , 0 , 020 nnbaa TttndttntfTb00 1 )sin()(2 dttntfTT )sin()(412 0 (2) 偶函数偶函数(even f

7、unction)： f ( t ) = f ( t ) 偶函数的波偶函数的波形对称于坐形对称于坐标系的纵轴标系的纵轴 0 , 02 , 0 0 nnaabdttntfTaTttn )cos()(21 00 dttntfTT )cos()(412 0 (3) 奇谐波函数奇谐波函数(odd harmonic function) ：)2()(Ttftf 后半周对横轴的镜象是前半周的重复后半周对横轴的镜象是前半周的重复 )sin()cos()(111 nnntnbtnatf ), 5 , 3 , 1()sin(11 ntnAnnn 值得指出：一个周期函数是否具有半波对称性，仅决值得指出：一个周期函数是

8、否具有半波对称性，仅决定于该函数的波形，但是，一个周期函数是否为奇函定于该函数的波形，但是，一个周期函数是否为奇函数或偶函数则不仅与该函数的波形有关，而且和时间数或偶函数则不仅与该函数的波形有关，而且和时间起点的选择有关。起点的选择有关。 8 2 线性电路对周期性激励的稳态响应线性电路对周期性激励的稳态响应 步骤：步骤：1、将周期性激励分解为傅里叶级数；、将周期性激励分解为傅里叶级数；2、根据叠加定理根据叠加定理，求每一谐波源单独作用于电路的响应；，求每一谐波源单独作用于电路的响应；3、将、将各谐波激励所引起的时域响应叠加起来，即得线性电各谐波激励所引起的时域响应叠加起来，即得线性电路对非正弦

9、周期性激励的稳态响应路对非正弦周期性激励的稳态响应 。 例例1一个周期性矩形脉冲电流源激励一个并联谐振电路一个周期性矩形脉冲电流源激励一个并联谐振电路已知：已知：电路的参数为电路的参数为R = 20 , L = 1 mH, C = 1000 pF。，2T 试求：此并联谐振电路的端电压试求：此并联谐振电路的端电压u(t)。T = 6.28 s，。mA2p I解：解：(1)对周期性激励电流进行谐波分析。对周期性激励电流进行谐波分析。 2222 022 )(pTttTtIti 及及此函数波形具有偶函数对称性，故此函数波形具有偶函数对称性，故 bn=0=0 2 0 1 )cos()(4Tndttnti

10、Ta 2 0 1 p )cos(4 dttnIT)sin(2 nTnIan dttiTaITT )(1 2 2 2 00 p2 0 p 2ITdtIT 电流电流i(t)的傅里叶级数展开式为的傅里叶级数展开式为 ttti11 3cos31 cos4()( mA ) 7cos71 5cos5111 tt 幅值频谱和相角频谱幅值频谱和相角频谱频谱图可直观而清晰地表示出一个信号包含有哪些谐波分量，频谱图可直观而清晰地表示出一个信号包含有哪些谐波分量，以及各谐波分量所占的比重和其间的相角关系，便于分析周期以及各谐波分量所占的比重和其间的相角关系，便于分析周期信号通过电路后它的各谐波分量的幅值和初相发生的

11、变化。信号通过电路后它的各谐波分量的幅值和初相发生的变化。 将周期信号的各谐波分量的幅值和初相分别按照它们的频率依将周期信号的各谐波分量的幅值和初相分别按照它们的频率依次排列起来则构成幅值频谱和相角频谱。次排列起来则构成幅值频谱和相角频谱。 0n1In1315171幅值频谱幅值频谱n1n0/2-/21315171相角频谱相角频谱4 5131171(2) 计算电路对各次谐波的端口等效阻抗计算电路对各次谐波的端口等效阻抗 ) ( 1) ( 1)(11111LjnRCjnLjnRCjnjnZ CRjnLCnLjnR )(1 1211 102)1(1020)(2231njnnjjnZ k 50) (1

12、 jZ k 375. 0)3(95.891jejZ k 208. 0)5(99.891jejZ k 146. 0)7(901jejZ (3) 求激励源的直流分量及各谐波分量单独作用时的求激励源的直流分量及各谐波分量单独作用时的电压响应电压响应 V 0157. 0V 402. 000 RIUmA1901jmeI mA31903jmeI 各谐波电流的幅值相量：各谐波电流的幅值相量：mA51905jmeI mA71907jmeI V 50=)(9011 1jmmeIjZU V 125. 0)3(95.17931 3jmmeIjZU V 0416. 0)5(01. 051 5jmmeIjZU 各谐波电

13、压的幅值相量：各谐波电压的幅值相量：V 0208. 0 )7(71 7 mmIjZU (4) 将响应的直流分量及各谐波分量的时间函数式相将响应的直流分量及各谐波分量的时间函数式相叠加，求出电压响应叠加，求出电压响应 )()()()()(75310tutututuUtu tjmtjmtjmtjmeUeUeUeUU 77 55 33 101 1 1 1ImImImIm V 7sin0208. 0)01. 0 5sin(0416. 0)95.179 3sin(125. 0)90 sin(500157. 01111 tttt 131Un1电压响应的幅值频电压响应的幅值频谱中基波含量最大谱中基波含量最大

14、是由于电路对基波是由于电路对基波发生谐振。发生谐振。08 3 非正弦周期电流和电压的有效非正弦周期电流和电压的有效值值平均功率平均功率 有效值有效值 周期电流周期电流i(t)的有效值为的有效值为 TdttiTI 0 2)(1 110)sin()(nnnmtnIIti TnnmndttnIITI02110)sin(1 20 0 201)1(IdtITT 2)(sin 1)2(2 0 122mnTnmnIdttnIT 0)sin(21)3( 0 10 TnmndttnIIT )(0 )sin()sin(21)4(011npdttptnIITTpnmpmn 周期电流周期电流i(t)的有效值可按下式计

15、算：的有效值可按下式计算： 122021nnmIII 1220nnIII非正弦周期电流电路中的平均功率非正弦周期电流电路中的平均功率 dttituTdttpTPTT )( )(1 )(1 0 0 11 0)sin()(nnmntnUUtu 11 0)sin()(nnmntnIIti 0000 0 1 )1(IUdtIUTT )sin()sin(1 )2(1 1 0 dttntnIUTnnmnmnT 0 )( 1 )3( 0 1 0 TnmndttnIUT nnnnnmnmnIUIU cos)cos(21 0 )sin( 1 )4( 0 1 0 TnmndttnUIT )( 0 )sin()si

16、n( 1 )5( 0 11 npdttptnIUTTpnmpmn 10100cosnnnnnnPPIUIUP 二端网络吸收的平均功率二端网络吸收的平均功率 非正弦周期电流电路的功率因数非正弦周期电流电路的功率因数仍定义为平均功率仍定义为平均功率P与视在功率与视在功率UIUI 之比，即之比，即 UIP 例：已知有源二端网络的端口电压和电流分别为A)502sin(424.0)20sin(707.01 V)102sin(6 .56)30sin(8550ttittu求电路所消耗的平均功率。W5 .782 . 93 .1950)5010cos(2404. 06 .56)20(30cos2707. 085

17、150210PPPP例例2已知已知 = 314 rad/s, R1 = R2 = 10 , L1 = 0.106 H，L2 = 0.0133 H，C1 = 95.6F，C2=159 F， V ) 3sin210 sin22010()(tttus 求电流求电流i1(t)和和i2(t)；求电流求电流i1(t)的有效值；的有效值；3. 求电路消耗的平均功率。求电路消耗的平均功率。解：解： 直流分量电压单独作用直流分量电压单独作用 A11010 RUIs020 I基波分量电压单独作用基波分量电压单独作用 0S )103103( 1 2211 jLjCj L1与与C1并联的等效导纳为并联的等效导纳为L1

18、与与C1并联处并联处相当于开路相当于开路 A1e= 1j452211s2111CjRRUIImmm 基波分量电压单独作用时响应的时域解为基波分量电压单独作用时响应的时域解为 A)45 sin(1)()(2111 ttiti 三次谐波分量电压单独作用三次谐波分量电压单独作用 L1与与C1并联的等效阻抗为并联的等效阻抗为 5 .12 31 j3111jLjC j 3 L2 = j12.5 电感电感L2在三次谐波频率下的阻抗为在三次谐波频率下的阻抗为 j 3 L2 = j12.5 ，所以对三次谐波而言，所以对三次谐波而言，L1与与C1并联后再与并联后再与L2串联，发串联，发生串联谐振，相当于短路生串联谐振，相当于短路 A2013s13jmmeRUI 023 mI三次谐波分量电压单独作用时响应的时域解为三次谐波分量电压单独作用时响应的时域解为 A 3sin2)(13tti A0)(23