浙江省高等数学竞赛试题与答案

1、（试题共4套 数学类、工科类、经管类、文专类 前面是试题 后面是答案）学校姓名准考证号专业装订线2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题工科类一计算题：（每小题1分，满分0分）1求极限。2设函数可导，且，满足，求的表达式。3计算（为正整数）。4计算，为与围成的平面有界闭区域。5求曲线，的形心，其中为常数。二、（满分20分）证明：，。三、（满分20分）设所有二阶偏导连续，证明可表示为的充分必要条件为。四、（满分20）在草地中间有一个底面半径为3米的圆柱形的房子。外墙脚拴一只山羊，已知拴山羊的绳子长为米，外墙底面半径为3米，求山羊能吃到草的草地面积。五、（满分20分）证明。2012浙江省高等数学（

2、微积分）竞赛试题学校姓名准考证号专业装订线经管类一、计算题（每小题14分，满分70分）1求极限。2设（为常数），求。3计算（为正整数）。4求积分5设函数，常数，试求最小的常数，使得。二、（满分20分）证明：，三、（满分20分）求的值。四、（满分20分）在草地中间有一个半径为的圆形池塘，池塘边拴着一只山羊，拴山羊的绳子长为，求山羊能吃到草的草地面积。五、（满分20分）（1）求极限（2）证明2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题学校姓名准考证号专业装订线数学类一、计算题（每小题14分，满分70分）1求极限。2设函数可导，且，满足，求的表达式。3计算。4计算，为与围成的平面有界闭区域。5求的值。二

3、、（满分20）证明： 使。三、（满分20分）设所有二阶偏导连续，证明可表示为的充分必要条件为。四、（满分20分）在草地中间有一个底面半径为3米的圆柱形的房子。外墙脚拴一只山羊，已知拴山羊的绳子长为米，外墙底面半径为3米，求山羊能吃到草的草地面积五、（满分20分）设，收敛，证明：。学校姓名准考证号专业装订线2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题文专类一计算题：（每小题14分，满分70分）1求极限。2设（为常数），求。3计算。4求不定积分。5极值设函数，常数，试求最小的常数，使得。二、（满分20分）设，且，证明有。三、（满分20分）验证，并计算积分四、（满分20）在草地中间有一个半径为的圆形池塘

4、，池塘边拴着一只山羊，拴山羊的绳子长为，求山羊能吃到草的草地面积。五、（满分20分）设函数在内可导，且极限与都存在，证明。学校姓名准考证号专业装订线2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题答案工科类答案一、计算题1、若 同理，当时， 所以2、解：由假设，有 可导同理 3、解：4、解： 原积分 5、解：，而 二、证明：显然 另一方面三、证明：时，显然有反之，若成立，即有 也即 四、解：(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点，拴羊点在轴上点，则羊跑最远的曲线在的区域内是渐开线 即 记在山羊能吃到草的草地面积为所以山羊能吃到草的草地面积(方法二) 山羊能吃到草的草地面积可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到

5、达的面积和绳子绕向房子时转过 其扫过的面积可近似为扇形 所以五、证明：而 等式成立经管类答案一、计算题1、若 同理，当时， 所以2、解：同理可得3、解：4、解： 5、解： 在处取到最小值，令 即时 ，且在时， 所以二、证明：显然 另一方面三、解：而 而 原级数四、解：以过拴羊点与池塘圆心为轴，拴山羊点为原点，则池塘边界圆为而羊能跑的最大圆周为，易知在时，两圆有两个交点五（1）解：原极限（2） 数学类答案一、计算题1、若 同理，当时， 所以2、解：由假设，有 可导同理 3、解：4、解： 原积分 5、解：而 而 原级数二、证明：对于不妨设，由柯西中值定理 取 即有三、证明：时，显然有反之，若成立，即有 也即 四、解：(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点，拴羊点在轴上点，则羊跑最远的曲线在的区域内是渐开线 即 记在山羊能吃到草的草地面积为所以山羊能吃到草的草地面积(方法二) 山羊能吃到草的草地面积可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积之和，绳子绕向房子时转过 其扫过的面积可近似为扇形 所以五、证明：“”记而文专类答案一、计算题1、若 同理，当时， 所以2、解：同理3、