向量与解析几何课件

1、向量与解析几何线性运算线性运算表示法表示法数量积数量积混合积混合积（一）向量代数（一）向量代数一、向量代数和空间解几一、向量代数和空间解几向量与解析几何1 1、向量的概念、向量的概念定义定义:既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 负向量、负向量、向径向径.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、单位向量、单位向量、平行向量、平行向量、向量与解析几何(1) 加法：加法：cba 2 2、向量的线性运算、向量的线性运算dba ab(2) 减法：减法：cba dba (3) 向量与数的乘法：向量与数的乘法：设设 是是一一个个

2、数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为, 0)1( a 与与a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反反向向，|aa 向量与解析几何向量的分解式：向量的分解式：,zyxaaaa .,轴轴上上的的投投影影分分别别为为向向量量在在其其中中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：zyxaaa,3 3、向量的表示法、向量的表示法向量与解析几何向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,zyxaaa

3、a ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 向量与解析几何222|zyxaaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式)1coscoscos(222 向量与解析几何4 4、数量积、数量积 cos|baba 其中其中 为为a与与b的夹角的夹角(点积、内积点积、内积)zzyyxxb

4、abababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式向量与解析几何5 5、向量积、向量积 sin|bac 其中其中 为为a与与b的夹角的夹角c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系.(叉积、外积叉积、外积)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式ba 向量与解析几何zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa ,

5、cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 6 6、混合积、混合积abc ba h|,cbaV 向量与解析几何直直 线线曲面曲面曲线曲线平平 面面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系（二）空间解析几何（二）空间解析几何向量与解析几何x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o1 1、空间直角坐标系、空间直角坐标系空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx向量与解析几何xyoz空空间间直直角角坐坐标标系系共有一个原点共有一个原点,

6、三个坐标轴三个坐标轴,三个坐标面三个坐标面,八个卦限八个卦限.向量与解析几何 21221221221zzyyxxMM 它们距离为它们距离为设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点两点间距离公式两点间距离公式:向量与解析几何曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：(1) 曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形.2 2、曲面、曲面(2) 不不在在曲曲面面S上上

7、的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；向量与解析几何研究空间曲面的两个基本问题：研究空间曲面的两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.1 旋转曲面旋转曲面定义：以一条平面曲线绕定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之一周所成的曲面称之.这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.向量与解析几何方程特点方程特点:0),()2(0),()1(00),(:2222 yzxfyLzyxfxLzyxfL方程为方程为轴旋转所

8、成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线设有平面曲线设有平面曲线向量与解析几何（2）圆锥面）圆锥面222zyx （1）球面）球面（3）旋转双曲面）旋转双曲面1222222 czayax1222 zyx向量与解析几何2 柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C移动的直线移动的直线L所形成的曲面称之所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的的准线准线，动直线叫，动直线叫柱面的柱面的母线母线.向量与解析几何从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),

9、( yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线C.(1) 平面平面 xy 向量与解析几何(3) 抛物柱面抛物柱面 )0(22 ppyx(4) 椭圆柱面椭圆柱面 12222 byax(2) 圆柱面圆柱面 222Ryx 向量与解析几何3 二次曲面二次曲面定义定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面）椭球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2）椭圆抛物面）椭圆抛物面)(同同号号与与qp向量与解析几何zqypx 2222（3）马鞍面）马鞍面)(同同

10、号号与与qp（4）单叶双曲面）单叶双曲面1222222 czbyax（5）圆锥面）圆锥面222zyx 向量与解析几何3 3、空间曲线、空间曲线 0),(0),(zyxGzyxF1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程向量与解析几何 22222)21()21(1yxyxz 2sinsin2121cos21tztytx如图空间曲线如图空间曲线一般方程为一般方程为参数方程为参数方程为向量与解析几何3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxH设

11、空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程： 00),(zyxH曲线在曲线在 面上的投影曲线为面上的投影曲线为xoy 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲线面上的投影曲线yoz面上的投影曲线面上的投影曲线xoz向量与解析几何如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面向量与解析几何4 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体空间立体曲面曲面向量与解析几何4 4、平面、平面,CBAn ),(0000zyxMxyzon0MM1 平面的点法式方程平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA2 平面

12、的一般方程平面的一般方程0 DCzByAx1 czbyax3 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc向量与解析几何0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA4 平面的夹角平面的夹角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 5 两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( /212121CCBBAA 1 1n2 2n 向量与解析几何5 5、空间直线、空间直线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL1 空间直线的一般方程空间直线的一般

13、方程xyzo1 2 L向量与解析几何xyzosL0M M 3 空间直线的参数方程空间直线的参数方程pzznyymxx000 2 空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程 ptzzntyymtxx000),(0000zyxM,pnms 向量与解析几何直线直线:1L111111pzznyymxx 直线直线:2L222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的夹角公式两直线的夹角公式4 两直线的夹角两直线的夹角向量与解析几何5 两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL 0212121 ppnnmm21)2(LL/2

14、12121ppnnmm pzznyymxxL000: 0: DCzByAx6 直线与平面的夹角直线与平面的夹角向量与解析几何222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式)20( 7 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 L)1(pCnBmA L)2(/0 CpBnAm向量与解析几何8 点到平面的距离公式点到平面的距离公式),(000zyx0 DCzByAx到到平平面面222000CBADCzByAxd 的的距距离离向量与解析几何解：解：22)cos()sin( abab 22ba 22)(,bababbaa 求求设设例例2222)cos()sin(

15、)( babababa 典型例题典型例题向量与解析几何例例）（正正确确的的是是：均均为为向向量量，下下列列等等式式中中设设 ,cba22)()( .bababaA 222)( .babaB bbaababaC )()( .baabaD2)( . bbbabaaababa )()( 22ba 解解22),cos()(bababa bbabbaaababa )()(ba 2baaba2)(和和 两两个个向向量量。一一般般为为两两个个方方向向不不同同的的A故故选选00向量与解析几何例例）（为为则则）设设（ )()()(, 2accbbacba 6 D. 5 C. 4 B. 3 .A)()()(acc

16、bba 解解：)(accbbbcaba 0)(accbcaba acbacaabaccbccacba )()()()()()(4 cba )(2B 选选向量与解析几何例例3 D. 2 C. 1 B. 0 .A）则则 ( cba, bacacbcbacba 为为非非零零向向量量，且且设设解：解：由由条条件件知知必必定定两两两两垂垂直直，cbacba 由由cba 知知1 cba从从而而有有cab 类类似似地地abc D 选选向量与解析几何例例）直直线线方方程程为为（平平行行的的和和且且与与两两个个平平面面（过过点点 2312)4 , 2 , 0 zyzxPPl34120. zyxA24021. z

17、yxB14322. zyxC14322. zyxD解：解：向向向向量量即即可可。只只要要求求出出所所求求直直线线的的方方1 , 3 , 2310201 kji方向向量方向向量D选选向量与解析几何方方程程坐坐标标面面上上的的投投影影在在求求曲曲线线例例xoyzxzyxC 129222解解，得，得从方程组中消去从方程组中消去 z9)21(222 xyx化化简简，得得544)52(522 yx面上的投影为面上的投影为则在则在 xoy 0544)52(522zyx向量与解析几何例例解解.02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyxL的平面束方程为的

18、平面束方程为过直线过直线 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 L向量与解析几何, 014 即即41 故故,代代入入平平面面束束方方程程将将 . 013 zyx得得所求投影直线方程为所求投影直线方程为.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2( 向量与解析几何一、一、 选择题：选择题： 1 1、 若、 若a，b为共线的单位向量， 则它们的数量积为共线的单位向量， 则它们的数量积 ba （ ）. . （A A） 1 1； （B B）-1-1； （C C） 0 0； （D D）),cos(ba. .2 2、 向

19、向量量 ba与与二二向向量量a及及b的的位位置置关关系系是是（ ）. .（A A） 共共面面； （B B）共共线线；（C C） 垂垂直直； （D D）斜斜交交 . .测测 验验 题题 向量与解析几何3 3、设向量、设向量Q与三轴正向夹角依次为与三轴正向夹角依次为 ,，当，当 0cos 时，有时，有（ ）4 4、设设向向量量Q 与与三三轴轴正正向向夹夹角角依依次次为为 ,当当 1cos 时时有有（ ）面面面面面面面面；xozQDxozQCyozQBxoyQA )(;)(;)()(面面面面面面面；面；xoyQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()( 向量与解析几何5 5、 2)( （ ）（A A）22 ； （B B）222 ；（C C）22 ； （D D）222 . .6 6、 设平面方程为、 设平面方程为0 DCzBx， 且， 且0, DCB， 则则 平面平面（ ）. .（A A） 轴轴平行于平行于 x；（B B） 轴轴平行于平行于 y；（C C） 轴轴经过经过 y；（D D） 轴轴垂