线面角与面面角

1、如图如图, ,过斜线上斜足以外的过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线一点向平面引垂线po,po,过垂过垂足足o o和斜足和斜足a a的直线的直线aoao叫做叫做斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影. .平面的一条斜线和它在平平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角面上的射影所成的锐角, ,叫叫做这条直线和这个平面所做这条直线和这个平面所成的角成的角。斜线斜线斜足斜足射影射影垂足垂足垂线垂线一条直线垂直于平面一条直线垂直于平面, ,我们说它所成的我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行角是直角；一条直线和平面平行, ,或在或在平面内平面内, ,我们说它所成的角是我们说它所成的角是0 0

2、0 0的角。的角。规定规定:想一想想一想:直线与平面所成的角直线与平面所成的角的取值范围是什么的取值范围是什么?注意注意220 直线直线与平面所成的角与平面所成的角的取值范围的取值范围是：是： 。20 斜线斜线与平面所成的角与平面所成的角的取值范围的取值范围是：是： 。2.如图：正方体如图：正方体abcd-a1b1c1d1中，求中，求:（1）ab1在面在面bb1d1d中的射影中的射影（2）ab1在面在面a1b1cd中的射影中的射影（3）ab1在面在面cdd1c1中的射影中的射影a1d1c1b1adcbo线段线段b1o巩固练习巩固练习2.如图：正方体如图：正方体abcd-a1b1c1d1中，求中

3、，求:（1）ab1在面在面bb1d1d中的射影中的射影（2）ab1在面在面a1b1cd中的射影中的射影（3）ab1在面在面cdd1c1中的射影中的射影a1d1c1b1adcbe线段线段b1e巩固练习巩固练习2.如图：正方体如图：正方体abcd-a1b1c1d1中，求中，求:（1）ab1在面在面bb1d1d中的射影中的射影（2）ab1在面在面a1b1cd中的射影中的射影（3）ab1在面在面cdd1c1中的射影中的射影a1d1c1b1adcb线段线段c1d巩固练习巩固练习如图，正方体如图，正方体abcdabcda a1 1b b1 1c c1 1d d1 1. .1【热身练习】【热身练习】 。a

4、a1 1c c与与平平面面a a1 1b b1 1c c1 1d d1 1所成角是所成角是： a ab bc cd da a1 1b b1 1c c1 1d d1 1 。a a1 1c c与与平平面面a a1 1d d1 1dada所成角是所成角是： 。a a1 1c c与与平平面面a a1 1b b1 1baba所成角是所成角是： 如图，正方体如图，正方体abcdabcda a1 1b b1 1c c1 1d d1 1. .1【热身练习】【热身练习】 。a1c与与平平面面a1b1c1d1所成角是：所成角是： a ab bc cd da a1 1b b1 1c c1 1d d1 1 。a1c与

5、与平平面面a1d1da所成角是：所成角是： 。a1c与与平平面面a1b1ba所成角是：所成角是： 【例【例1 1】已知正方体的棱长为】已知正方体的棱长为a a，(1)(1)求直求直线线abab1 1和平面和平面a a1 1b b1 1c c1 1d d1 1所成的角；所成的角； 【例【例1 1】已知正方体的棱长为】已知正方体的棱长为a a，(2)(2)求直求直线线dbdb1 1和平面和平面a a1 1b b1 1c c1 1d d1 1所成的角的余弦值；所成的角的余弦值； 练习练习1:1:在正方体在正方体abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1中，中，e e是是a a

6、1 1d d1 1的中点，求的中点，求ebeb和平面和平面abcdabcd所成角的正切值所成角的正切值。f 【思考】已知三棱锥【思考】已知三棱锥a-bcda-bcd的各棱长都为的各棱长都为2 2，求直线求直线abab与平面与平面bcdbcd所成角的大小。所成角的大小。 o小结归纳小结归纳2.2.计算直线与平面所成角采用的思想：计算直线与平面所成角采用的思想：空间角转化为平面角空间角转化为平面角 3.3.解题技巧：解题技巧：线面角找射影线面角找射影 1. 1. 直线与平面所成角的计算步骤直线与平面所成角的计算步骤小结归纳小结归纳作出所求的空间角作出所求的空间角证明所作的角符合证明所作的角符合构造

7、三角形并求角构造三角形并求角 【课外延伸】【课外延伸】 1. 1.已知四棱锥已知四棱锥p p- -abcdabcd的底面是边长为的底面是边长为2 2的的正方形，正方形，pdpd底面底面abcdabcd, , pd=adpd=ad, , e e为为abab的的中点。求：中点。求：(1)(1)异面直线异面直线pbpb与与cece 所成角的所成角的余弦值余弦值(2)(2)直线直线dcdc与平面与平面pbcpbc所成角的大小。所成角的大小。abcdpeo2 2：p p是所在平面外一点，且是所在平面外一点，且pa=pb=pc=10,ab=6,bc=8,ca=10，求求pa、pb、pc分别与平面分别与平面

8、abc所成的角。所成的角。 3. 3.如图，在正方体如图，在正方体abcdabcda a1 1b b1 1c c1 1d d1 1中，中，求求a a1 1b b和平面和平面a a1 1b b1 1cdcd所成的正切值角。所成的正切值角。a ab bc cd da a1 1b b1 1c c1 1d d1 1o o2二面角的定义二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面角的棱，每个半平面叫做二面角的面面叫做二面角的面 棱为棱为l，两个面分，两个面分别为别为 、 的二面角记的二面

9、角记为为 -l- l 在二面角在二面角 -l- 的的棱棱l上任取一点上任取一点o，如如图，图，在半平面在半平面 和和 内，从点内，从点 o 分别作垂分别作垂直于棱直于棱 l 的射线的射线oa、ob，射线，射线oa、ob组成组成aob 怎样度量二面角的大小？能否转化怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？为两相交直线所成的角？ obal 4二面角的大小二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来二面角的大小可以用它的平面角来度量即二面角的平面角是多少度，就度量即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度说这个二面角是多少度二面角的范围：二面角的范围： 0o, 180o 二面角的两

10、个面重合：二面角的两个面重合： 0o； 二面角的两个面合成一个平面：二面角的两个面合成一个平面：180o；4二面角的大小二面角的大小 平面角是直角的二面角叫直二面角平面角是直角的二面角叫直二面角寻找二面角的平面角寻找二面角的平面角在正方体在正方体abcd-aabcd-ab bc cd d中，找出下列二中，找出下列二面角的平面角：面角的平面角：（1 1）二面角）二面角d d-ab-d-ab-d和和a a-ab-d-ab-d；（2 2）二面角）二面角c c-bd-c-bd-c和和c c-bd-a.-bd-a.bacdabcdbacdabcd寻找二面角的平面角寻找二面角的平面角在正方体在正方体abc

11、d-aabcd-ab bc cd d中，找出下列二中，找出下列二面角的平面角：面角的平面角：（1 1）二面角）二面角d d-ab-d-ab-d和和a a-ab-d-ab-d；（2 2）二面角）二面角c c-bd-c-bd-c和和c c-bd-a.-bd-a.寻找二面角的寻找二面角的 平面角平面角bacdabcdo寻找二面角的平面角寻找二面角的平面角在正方体在正方体abcd-aabcd-ab bc cd d中，找出下列二中，找出下列二面角的平面角：面角的平面角：（1 1）二面角）二面角d d-ab-d-ab-d和和a a-ab-d-ab-d；（2 2）二面角）二面角c c-bd-c-bd-c和和c c-bd-a.-bd-a.bacdabcdo寻找二面角的平面角寻找二面角的平面角在正方体在正方体abcd-aabcd-ab bc cd d中，找出下列二中，找出下列二面角的平面角：面角的平面角：（1 1）二面角）二面角d d-ab-