1990年考研数学二真题及答案

1、1990年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 曲线上对应于点点处的法线方程是.(2) 设,则.(3) .(4) 下列两个积分的大小关系是： . (5) 设函数,则函数.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 已知,其中是常数,则 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 设函数在上连续,则等于 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 已知函数具有任意阶导数,且,则当为大于2的正整数时,的阶导数是 ( )(A) (B) (C) (D)

2、(4) 设是连续函数,且,则等于 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 设,其中在处可导,则是的 ( )(A) 连续点 (B) 第一类间断点(C) 第二类间断点 (D) 连续点或间断点不能由此确定三、(每小题5分,满分25分.)(1) 已知,求常数.(2) 求由方程所确定的函数的微分.(3) 求曲线的拐点.(4) 计算.(5) 求微分方程满足条件的特解.四、(本题满分9分)在椭圆的第一象限部分上求一点,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中).五、(本题满分9分)证明：当,有不等式.六、(本题满分9分)设,其中,求.七、(本题满分9分)过点作抛物线的切线,该切线与上述抛

3、物线及轴围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转一周所围成旋转体的体积.八、(本题满分9分)求微分方程之通解,其中为实数.答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(2)【答案】(3)【答案】(4)【答案】(5)【答案】二、选择题(每小题3分,满分15分.)(1)【答案】C(2)【答案】B(3)【答案】A(4)【答案】A(5)【答案】B三、(每小题5分,满分25分.)(1)此题考查重要极限：,得.或由 ,同理可得.(2)方程两边求微分,得,整理得 .(3)对分式求导数,有公式,所以,令得,在此变号,即是时,时,故拐点为.本题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了

4、.(4)由有, 为任意常数.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.(5)所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为.由于 ,两边乘以得.积分得 ,通解为 .代入初始条件可得,所求特解为.四、(本题满分9分)对椭圆方程进行微分,有.过曲线上已知点的切线方程为,当存在时,.所以点处的切线方程为,化简得到.分别令与,得切线在上的截距分别为；又由椭圆的面积计算公式,其中为半长轴和半短轴,故所求面积为.为常数,欲使得的最小,则应使得最大；从而问题化为求(由椭圆方程所确定)当时的最大值点. 令,得,再对

5、两边求导得,联合可得(唯一驻点),即在此点取得最大,取得最小值.由于,所以在上存在最小值,必为最小点,所求点为.五、(本题满分9分)证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边,令其为,另一边剩下0,再在给定区间内讨论的单调性即可证明原不等式. 令,则.因此,在上单调减；又有,所以,故时,所以原不等式得证.六、(本题满分9分)方法1：,由换元积分,；所以 .由区间相同的积分式的可加性,有 =.方法2：令,则 由牛顿-莱布尼兹公式,有,而,故.1O123七、(本题满分9分)先求得切线方程：对抛物线方程求导数,得,过曲线上已知点的切线方程为,当存在时,.所以点处的切线方程为,此切线过点,所以把点代入切线方程得,再代入抛物线方程得,由此,与抛物线相切于斜率为的切线方程为.旋转体是由曲线直线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所形成的,求旋转体体积：方法1：曲线表成是的函数,是两个旋转体的体积之差,套用已有公式得.方法2：曲线表成是的函数,并作水平分割,相应于小横条的体积微元,如上图所示,于是,旋转体体积 .八、(本题满分