模型的参数估计

1、 数学建模的一个重要工作是建立变量间的数学建模的一个重要工作是建立变量间的数学关系式数学关系式, 但公式中几乎总是涉及一些参数但公式中几乎总是涉及一些参数. 如用下面三个数学式描述肥素的施肥水平对如用下面三个数学式描述肥素的施肥水平对 土豆产量的影响：土豆产量的影响：xbeay 1磷磷肥肥：要得到最终可应用于实际的经验模型，要得到最终可应用于实际的经验模型，必须确定公式中的各个参数必须确定公式中的各个参数,2210 xbxbby 氮氮肥肥：.cxbeay 或或求模型中参数的估计值有三种常用方法：求模型中参数的估计值有三种常用方法：图解法、统计法、机理分析法。图解法、统计法、机理分析法。 对经验

2、模型的精度要求不高对经验模型的精度要求不高, 只需对参数做只需对参数做出粗略估计时可采用图解法出粗略估计时可采用图解法.例例6.3.1 磷施肥量与土豆产量的关系式磷施肥量与土豆产量的关系式 需估计三个参数需估计三个参数a、b、c, 观察图观察图7.3，数据数据点都位于直线点都位于直线 y=43的下方，并且数据点越来的下方，并且数据点越来越靠近这条直线，越靠近这条直线，可以估计可以估计a=43 . cxbeay 例例6.2.2( (见见p158例例7.2.1) )表中给出了表中给出了12月月1日日( (星期二星期二) )和和12月月2日日( (星期三星期三) )两天内的海浪潮两天内的海浪潮高度值

3、高度值( (相对于海堤上的零标尺记号相对于海堤上的零标尺记号, ,以米为以米为单位单位),),能依据此表来预测能依据此表来预测12月月5日日( (星期六星期六) )下下午午1:00的海浪高度值吗？的海浪高度值吗？分析分析 根据对数据散布图的分析根据对数据散布图的分析, 采用函数采用函数 需估计振幅需估计振幅 a 和和 频率频率b.)1(, 0)(),(sin)( txttbatx其其中中)2()cos()sin()(btcbtatx 或或解决方法：解决方法：直接量出高低浪之间的高度差为直接量出高低浪之间的高度差为6.6米，米， )(3 .3米米 a量出海浪变化周期约为量出海浪变化周期约为12.

4、3小时小时 3 .122 b )(511. 0每每小小时时 b 得经验模型得经验模型. 0),(511. 0sin3 . 3)( ttttx 将频率的估计代入将频率的估计代入(2)式式, 有有)511. 0cos()511. 0sin()(tctatx 代入代入x(0)=c=2.4 及及 x(23)=3.6 7 . 2 a得关于海浪潮随时间变化的另一经验模型得关于海浪潮随时间变化的另一经验模型. 0),511. 0cos(4 . 2)511. 0sin(7 . 2)( ttttx模型应用模型应用预测预测12月月5日下午日下午1:00的海浪潮高度为的海浪潮高度为 x(109) = 2.4cos(

5、5.11109) 2.7sin(5.11109)=2.4cos(55.7)2.7sin(55.7)=2.4cos(5.4302.7sin(55.7)3.6(米米). 误差分析误差分析 这一时刻潮位的实际观察值为这一时刻潮位的实际观察值为4.1米米,相对误差大约是相对误差大约是12%, 请考虑一下成因请考虑一下成因.仔细分析图仔细分析图5.5, 可发觉图中可发觉图中(1 ) x=0似乎不是海浪高低潮位的中值似乎不是海浪高低潮位的中值;(2) 振幅随时间的延续似乎在轻微地增大振幅随时间的延续似乎在轻微地增大.思考思考 怎样考虑这些细节来修改模型怎样考虑这些细节来修改模型,以获得以获得更准确的预报呢

6、？更准确的预报呢？ 参数估计的统计处理参数估计的统计处理, 往往运用最小二乘法往往运用最小二乘法估计估计.设有一组样本值设有一组样本值:),( ,),(),(2211nnyxyxyx对选定的一元回归函数对选定的一元回归函数 , ,回归模型为回归模型为)(x n(0,2), ,)( xy称称令令, 2 , 1),(nixyii niniiiiixyyys1122)()(为模型的为模型的残差平方和残差平方和.应选取应选取(x)中的未知参数中的未知参数, 使使s达最小值达最小值当回归函数为当回归函数为(x)=a +bx，回归模型回归模型n(0,2) , bxay称为一元线性回归模型称为一元线性回归模

7、型, 其残差平方和为其残差平方和为 niiibxays12)( 对对s 分别求关于分别求关于 a, b 的偏导数的偏导数, 并令其等于零并令其等于零得线性方程组如下：得线性方程组如下： niiiiniiixbxaybxay110)(2, 0)(2整理得正规方程整理得正规方程(组组)如下：如下： niiiniiniiniiniiyxxbxayxbna112111, xbyallbxxxy求得解求得解,11 niixnx niiyny11其中其中一元线性回一元线性回归模型参数归模型参数估计公式估计公式 niixxxxl12)( niiixyyyxxl1)( 部分部分非线性非线性回归函数经变量代换可

8、化为回归函数经变量代换可化为线性线性函数函数, ,利用线性利用线性参数估计公式进行估计参数估计公式进行估计,如如 例例6.3.1 磷施肥量和土豆产量磷施肥量和土豆产量 的回归函数选为的回归函数选为xbeay 1，令令xexyy ,1xbay 对数据进行相应变换对数据进行相应变换, 可估计出可估计出 ,0232. 0 a,0073. 0 b 得到磷施肥量和土豆产量的经验公式得到磷施肥量和土豆产量的经验公式. 0,0073. 00232. 01 xeyx分析分析 有有43lim yx 例例6.3.2 若用威布尔函数作为磷施肥量和土豆若用威布尔函数作为磷施肥量和土豆产量的回归函数产量的回归函数与目测

9、法的结论与目测法的结论惊人一致惊人一致., 0,43 xbeycx得得令令,43yz , 0, xbezcx相对于新变量相对于新变量x，lnlnz , , 这是一元线性函数这是一元线性函数. . 特点：特点：统计分析法应用于变量间存在相关统计分析法应用于变量间存在相关关系的情形关系的情形, 并且需要较多数据为基础并且需要较多数据为基础. 通过对问题的内部机理进行分析通过对问题的内部机理进行分析,找出变量间找出变量间 的因果关系的因果关系,从而确定出参数从而确定出参数.两边取对数两边取对数,有有.lnlncxbz 例例6.3.3 录像机磁带计数器模型录像机磁带计数器模型在一台录像机上有一个四位数

10、字的记数器在一台录像机上有一个四位数字的记数器. .1.在磁带开始运行时设置为在磁带开始运行时设置为“0000”，“180分分 钟钟”结束时显示读数为结束时显示读数为“1849”,1849”,实际所花的实际所花的 时间为时间为185分分20秒秒. .2.记数器从记数器从“0084”转到转到“0147”时用了时用了3分分21 秒的时间秒的时间. . 现在记数器上显示为现在记数器上显示为“1428”,”,问余下的磁带问余下的磁带是否足够再记录是否足够再记录6060分钟长的节目？分钟长的节目？ 已建立经验公式已建立经验公式 )(2)(2/12rrwvtwktn 其中其中 w 录象带的厚度；录象带的厚度；r 转动轴半径；转动轴半径； v转动速度；转动速度；k显示读数和旋转周显示读数和旋转周 数的比例系数数的比例系数. . 通过进一步分析简化模型通过进一步分析简化模型, ,使所含的未知参使所含的未知参数尽可量少数尽可量少, ,用很少的几个数据求得参数的用很少的几个数据求得参数的估计值估计值. . wvk/2 ,/2wvr 上式化为上式化为)()( ttn可利用的数据如下可利用的数据如下 时间时间t0 t1 t1+3.35 185.33读数读数n(t) 0 0084 0147 1849t=0，n=0是模型的