大学课件高等数学下册84

1、第八章第八章 重积分重积分第四节第四节 重积分的应用重积分的应用把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. . d d dyxf),( dyxf),(),(yx 若要计算的某个量若要计算的某个量u对于闭区域对于闭区域d具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域d分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量u相应相应地分成许多部分量，且地分成许多部分量，且u等于部分量之和等于部分量之和)，并且，并且在闭区域在闭区域d内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，时，相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似地表示为 的形式，的形式，其中其

2、中 在在 内这个内这个 称为所求量称为所求量u的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为，所求量的积分表达式为 ddyxfu ),(du设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,dd 设小区域设小区域,),( dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxms .dsdadadsszd 则有则有，为为；截切平面；截切平面为为柱面，截曲面柱面，截曲面轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以如图，如图， d),(yxmdaxyzs o 一、曲面的面积,面上的投影面上的投影在在为为xoydad ,cos

3、 dad,11cos22yxff dffdayx221,122 dyxdffa 曲面曲面s的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyaxydyzxz 22)()(1设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为： .122dzdxazxdxyzy 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： ;122dydzayzdzxyx 同理可得同理可得例例 1 1 求球面求球面2222azyx ，含在圆柱体，含在圆柱体axyx 22内部的那部分面积内部的那部分面积.由由对对称称性性知知14aa , 1d：axyx 22

4、 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面积积dxdyzzadyx 12214 12224ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所围立体的表面积所围立体的表面积.解解解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,:222ayxdxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 221yxzz22221 ayax,

5、441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaasxyd 222441故故dxdyxyd 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a),(yx二、质心当薄片是均匀的，质心称为当薄片是均匀的，质心称为形心形心.,1 dxdax .1 dyday dda 其中其中,),(),( dddyxdyxxx .),(),( dddyxdyxyy 由元素法由元素法,),(),( dvzyxdvzyxxx 由元素法由元素法,),(),( dvzyxdvzyxyy ,),(),( dvzyxdvzyxzz 解: 下页 例3 求两圆2sin和4sin之间

6、的均匀薄片的质心 形称由对性, 所以心) ,(yxc位于 y 轴上, 于是0 x所以3737y此因所求形心是)37 , 0(c31222dd31222dd, 因为 7sinsinsin4sin2202ddddyddd7sinsinsin4sin2202ddddyddd7sinsinsin4sin2202ddddyddd7sinsinsin4sin2202ddddyddd, z = 0心心的的 所围立体所围立体与平面与平面求由抛物面求由抛物面质质 0 1 22 zyxzyxzo yx 则则, )( zyx，质质解解心心为为设设21rz .1 dddzrr v 21 02 01 0ddd2rzzr

7、r.31 . )31 , 0 , 0 ( 心为心为故故质质. ddd2zyxzz 2102010dddrzrr2 . . . .例例4.4. zyxzvz ddd.1三、平面薄片的转动惯量,),(2 dxdyxyi .),(2 dydyxxi 薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y,),()(22dvzyxzyix 立体对于立体对于x 轴的转动惯量轴的转动惯量立体对于立体对于y 轴的转动惯量轴的转动惯量,),()(22dvzyxzxiy 立体对于立体对于z 轴的转动惯量轴的转动惯量,),()(22dvzyxyxiz 解解设三角形的两直角边分别在

8、设三角形的两直角边分别在x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图aboyx对对y轴的转动惯量为轴的转动惯量为,2dxdyxidy babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同理：对同理：对x轴的转动惯量为轴的转动惯量为dxdyyidx 2 .1213 ab 例例6 求密度为求密度为 的均匀球体对于过的均匀球体对于过球心的一条轴球心的一条轴l的转动惯量的转动惯量 取球心为坐标原点取球心为坐标原点, , z轴与轴轴与轴l重重合合, , 又设球的半径为又设球的半径为a 解解 球体所占空间闭区域可表示为球体所占空间闭区域可表示为 (x, , y, , z)| x2 y2 z2 a2 所求转动惯量即球体

9、对于所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量轴的转动惯量iz , , 其中334am 为球体的质量首页dvyxiz )(22ddrdr34sindrrdda200043 sin5158ama252dvyxiz )(22ddrdr34sin drrdda200043 sin5158ama252drrdda200043 sin5158ama252, 四、引力的大小近似为的大小近似为的引力微元的引力微元点点对质对质，则质量微元，则质量微元任取一点任取一点中中在在元素元素个下块，任取一个体积个下块，任取一个体积分成分成将将dfmdvdvzyxzyxmdvdvn0),(),(, dvrmzyxgdf2),(

10、 下页 设物体占有空间有界闭区域设物体占有空间有界闭区域, 其密度其密度 (x, , y, , z)为为 上的连续函数上的连续函数 求求物体对于物体外一点物体对于物体外一点m0(x0, , y0, , z0)处的质量为处的质量为m的质点的引力的质点的引力 .0的距离的距离与与为为为引力常数，为引力常数，其中其中mmrg),(0000zzyyxxmm 由于由于所以所以202020)()()(zzyyxxr 轴上的大小分别为轴上的大小分别为在三个坐标在三个坐标的方向一致，故的方向一致，故与与fdmmfd 0rxxdvrmzyxgdfx02),( ryydvrmzyxgdfy02),( rzzdvr

11、mzyxgdfz02),( 的大小为的大小为在三个坐标轴上的分量在三个坐标轴上的分量所以引力所以引力f dvrxxmzyxgfx30)(),( dvryymzyxgfy30)(),( dvrzzmzyxgfz30)(),( 例例7 设均匀柱体密度为设均匀柱体密度为 , , 占有闭区域占有闭区域(x, , y, , z)|x2 y2 r2, , 0 z h, , 求它对于位于点求它对于位于点m0(0, , 0, , a)(a h)处单位质量的质点的处单位质量的质点的引力引力 解解: 由柱体的对称性可知由柱体的对称性可知, , 沿沿x轴与轴与y轴方向的分力互相抵消轴方向的分力互相抵消, , 故故fx fy 0, , 而而 dvzayxzagfz2/3222)( 2222/32220)()(ryxhzayxdxdydzzag 2002/3220)()(rhzarrdrddzzag 2002/3220)()(rhzarrdrddzzag hdzzarzazag022)(11)(2 hdzzarzazag022)(11)(2 )(22222hararhg 几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：质心