大学课件高等数学下学期56反常积分

1、定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在区间在区间), a上连续，取上连续，取ab ，如果极限，如果极限 babdxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间), a上的广义积上的广义积分，记作分，记作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散时，称广义积分发散. .一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间,(b上连续，取上连续，取ba ，如果极限，如果极限 baadxxf)(li

2、m存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间,(b上的广义积上的广义积分，记作分，记作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. . 设函数设函数)(xf在区间在区间),(上连续上连续, ,如果如果广义积分广义积分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收敛，则都收敛，则称上述两广义积分之和为函数称上述两广义积分之和为函数)(xf在无穷区间在无穷区间),(上的广义积分，记作上的广义积分，记作 dxxf)(. . dxxf)( 0)

3、(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. .例例1 1 计算广义积分计算广义积分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 例例2 2 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx 211sinlimbbx 21coslim 2c

4、os1coslim bb. 1 例例 3 3 证证明明广广义义积积分分 11dxxp当当1 p时时收收敛敛，当当1 p时时发发散散.证证, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.例例 4 4 证证明明广广义义积积分分 apxdxe当当0 p时时收收敛敛，当当0 p时时发发散散.证证 apxdxe bapxbdxelimbapxbpe lim pepepbpablim 0,0,pppeap即即当当0 p时时

5、收收敛敛，当当0 p时时发发散散.定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在区间在区间,(ba上连续，而在上连续，而在点点a的右邻域内无界取的右邻域内无界取0 ，如果极限，如果极限 badxxf )(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间,(ba上的广义积分，记作上的广义积分，记作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间),

6、ba上连续，上连续，而在点而在点b的左邻域内无界的左邻域内无界. .取取0 ，如果极限，如果极限 badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间),ba上的广义积分，上的广义积分，记作记作 badxxf)( badxxf)(lim0. .当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上除除点点)(bcac 外外连连续续，而而在在点点c的的邻邻域域内内无无界界. .如如果果两两个个广广义义积积分分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都都收

7、收敛敛，则则定定义义 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否则则，就就称称广广义义积积分分 badxxf)(发发散散. .定义中定义中c为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.例例5 5 计算广义积分计算广义积分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点. axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 例例 6 6 证证明明广广义义积积分分 101dxxq当当1 q时时收收敛敛，当当

8、1 q时时发发散散.证证, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此当因此当1 q时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为q 11；当当1 q时广义积分发散时广义积分发散. 101dxxq例例7 7 计算广义积分计算广义积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原广义积分发散故原广义积分发散.例例8 8 计算广义积分计算广义积分解解.)1(3032 xdx1 x瑕点瑕点 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 无界函数的广义积分（无界函数的广义积分（瑕积分瑕积分）无穷限的广义积分无穷限的广义积分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意注意：不能忽略内部的瑕点）：不能忽略内部的瑕点） badxxf)(三、小结三、小结