五年级上册奥数第五讲奇数与偶数及奇偶性的应用_通用版(例题含答案)

1、第五讲奇数与偶数及奇偶性的应用死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。但随 着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能 力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们 又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实，只要应用得当，“死 记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反，它恰是提高学生语 文水平的重要前提和基础。一、基本概念和知识一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士 勋（唐初学者，四门博士）春秋谷梁传疏日：“师者教人 以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦 而后历代对教师的别称之一。韩非子也有云：“今有不才 之子师长教之弗为变”其“师长”

2、当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上 是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知 识的对象和本身明确的职责。 1.奇数和偶数语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章，还有不少名家 名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩 段落，对提高学生的水平会大有裨益。现在，不少语文教师在 分析课文时，把文章解体的支离破碎，总在文章的技巧方面下 功夫。结果教师费劲，学生头疼。分析完之后，学生收效甚微, 没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关 键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍，其义自见”，如果有目的、有计划地引导学生反复阅读

3、课文，或细读、默读、 跳读，或听读、范读、轮读、分角色朗读，学生便可以在读中 自然领悟文章的思想内容和写作技巧，可以在读中自然加强语 感，增强语言的感受力。久而久之，这种思想内容、写作技巧 和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中，就会在写作中自 觉不自觉地加以运用、创造和发展。整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。偶数通常可以用2k （k为整数）表示，奇数则可以用2k+l （k为整数） 表示。特别注意，因为。能被2整除，所以。是偶数。2.奇数与偶数的运算性质性质1：偶数土偶数二偶数，奇数士奇数二偶数。性质2:偶数士奇数二奇数。性质3:偶数个奇数相加得偶

4、数。性质4:奇数个奇数相加得奇数。性质5:偶数X奇数二偶数，奇数X奇数二奇数。二、例题利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.例1 1+2+3+1993的和是奇数？还是偶数？分析 此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶 数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判 断和的奇偶性.此题可以有两种解法。解法 1: /1+2+3+1993又997和1993是奇数，奇数X奇数二奇数，.原式的和是奇数。解法 2: / 19932=996- -1,1993的自然数中，有996个偶数,有997个奇数。1996个偶数之和一定是偶数，又奇数个奇数之和是奇

5、数，997个奇数之和是奇数。因为，偶数+奇数=奇数，所以原式之和一定是奇数。例2 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150,这个 数是多少？解法1： 相邻两个奇数相差2,.150是这个要求数的2倍。.这个数是150+2=75。解法2:设这个数为x,设相邻的两个奇数为2a+l, 2a-l (al) .则 有(2a+1) x- (2a-l) x=150,2ax+x-2ax+x= 150,2x=150,x=75o这个要求的数是75。例3元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回 赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？ 分析此题初看似乎缺总人数

6、.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇 偶性上，因此与总人数无关。解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么 贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数;所有人 送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶 数-偶数二偶数。他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。例4已知a、b、c中有一个是5, 一个是6, 一个是7.求证a-1, b-2, c-3 的乘积

7、一定是偶数。证明：a、b、c中有两个奇数、一个偶数，a、c中至少有一个是奇数，Aa-1, c-3中至少有一个是偶数。又二偶数X整数=偶数,(a-1) X (b-2) X (c-3)是偶数。例5任意改变某一个三位数的各位数宇的顺序得到一个新数.试证新数与 原数之和不能等于999。则有a+a =b+b =c+c =9,因为9不会是进位后得到的又因为a、b、c是a、b、c调换顺序得到的，所以 a+b+c=a +b +c。因此，又有(a+a ) + (b+b ) + (c+c ) =9+9+9,即 2 (a+b+c) =3X9。可见：等式左边是偶数，等式的右边(3X9=27)是奇数.偶数a奇数. 因此

8、，等式不成立.所以，此假设“原数与新数之和为999”是错误的，命 题得证。这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种 说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可 能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学 上叫“反证法”。例6用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：aX b Xc Xd-a=1991aXbXcXd-b=1993aXbXcXd-c=2019aXbXcX d-d=2019试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。解：由原题等式组可知：a (bcd-1) =1991, b (acd-1) =1993,c (abd-1

9、) =2019, d (abc-1) =2019。1991、1993、2019、2019 均为奇数,且只有奇数X奇数二奇数，.a、b、c、d分别为奇数。.aXbXcXd=奇数。a b、c、d的乘积分别减去a、b、c、d后，一定为偶数.这与原题 等式组矛盾。.不存在满足题设等式组的整数a、b、c、do例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说 明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转” .要使9只杯子 口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇 数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过

10、多少次“翻转”，翻转的 总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子 全部口朝下。例8假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动(n-1)个开关，能否 把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。证明：当n为奇数时，不能按规定将所有的灯关上。因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。由于n是奇数，所以n个奇数的和二奇数，因此要把所有的灯（n盏）都关上，拉动拉线开关的总次数一定是奇 数。但因为规定每次拉动n-1个开关，且n-1是偶数，故按规定拉动开关的总次数一定是偶数。二.奇数大偶数，当n为奇数时，不能按规定将所有灯都关上。当n为偶数时，能按规定将所有灯关上.关灯

11、的办法如下：设灯的编号为1, 2, 3, 4,，n.做如下操作：第一次，1号灯不动，拉动其余开关；第二次，2号灯不动，拉动其余开关；第三次，3号灯不动，拉动其余开关；第n次，n号灯不动，拉动其余开关.这时所有的灯都关上了。例9在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或 两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求 证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。证明：假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是 两次染同色.设第一次染m个珠子为红色，第二次必然还仅染这m个珠子 为红色.则染红色次数为2m次。/2ml987 （偶数h奇数）假设不成立

12、。至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。 例10如下图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的 小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之 间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？解：任意挑选三棵树挂上小牌，假设第一棵挂牌的树与第二棵挂牌的 树之间相距a米，第二棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间相距b米，那么 第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的距离c=a+b （米）（如下图）， 如果a、b中有一个是偶数，题目已得证；如果a、b都是奇数，因为奇数 +奇数=偶数，所以c必为偶数，那么题目也得证。例U某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答 对一题给

13、3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级 参赛学生得分总和一定是偶数。解：对每个学生来说，40道题都答对共得120分，是个偶数.如果答 错一道，相当于从12。分中扣4分.不论答错多少道，扣分的总数应是4 的倍数，即扣偶数分.从120里减去偶数.差仍是偶数.同样，如果有某题不 答，应从12。里减去（3-1）分.不论有多少道题没答，扣分的总数是2的 倍数，也是偶数.所以从120里减去偶数，差仍是偶数.因此，每个学生得 分数是偶数，那么全年级参赛学生得分总和也一定是偶数.例12某学校一年级一班共有25名同学，教室座位恰好排成5行，每行5 个座位.把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做

14、原座位的邻位.问：让 这25个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？分析为了便于分析，我们可借助于下图，且用黑白染色帮助分析.我们把每一个黑、白格看作是一个座位.从图中可知，已在黑格“座 位”上的同学要换到邻座，必须坐到白格上；已在白格“座位”上的同学 要换到邻座，又必须全坐到黑格“座位”上.因此，要使每人换为邻座位, 必须黑、白格数相等。解：从上图可知：黑色座位有13个，白色座位有12个，13大12, W 此，不可能使每个座位的人换为邻座位。例12的解法，采用了黑白两色间隔染（着）色的办法.因为整数按奇偶分 类只有两类，所以将这类问题转变为黑白两色间隔着色，可以帮助我们较 直观地理解和

15、处理问题.让我们再看一道例题，再体会一下奇偶性与染色 的关系。例13在中国象棋竞任意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马”，按中 国象棋的走法，当棋岫上没有其他棋子时，这只“马”跳了若干步后回到 原处，问：“马”所跳的步数是奇数还是偶数？解：在中国象棋中，“马”走“H”字，如果将棋荒上的各点按黑白 二色间隔着色（如图），可以看出，“马”走任何一步都是从黑色点走到 白色点，或从白色点走到黑色点.因此，“马”从一色点跳到另一同色点， 必定要跳偶数步.因此，不论开始时“马”在棋盘的哪个位置上，而且不论“马”跳多 少次，要跳回原处，必定要跳偶数步。例14线段AB有两个端点，一个端点染红色，另一个端点染蓝

16、色.在这个 AB线段中间插入n个交点，或染红色，或染蓝色，得到n+1条小线段 （不重叠的线段）.试证：两个端点不同色的小线段的条数一定是奇数。证明：当在AB中插入第一点时，无论红或蓝色，两端色不同的线段 仍是一条。插入第二点时有三种情况：插入点在两端不同色的线段中，则两端不同色线段条数不变。插入点在两端同色的线段中，且插入点颜色与线段端点颜色相同， 则两端不同色线段条数不变。插入点在两端同色的线段中，但插入点颜色与线段端点颜色不同， 则两端不同色线段条数增加两条。因此插入第二个点时端点不同色的线段数比插入第一个点时端点不 同色的线段数（=1）多。或2,因此是奇数（1或3）。同样,每增加一个点，

17、端点不同色的线段增加偶数（0或2）条炳此, 无论n是什么数，端点不同色的线段总是奇数条。第12页/共12页习题五1 .有100个自然数，它们的和是偶数.在这100个自然数中，奇数的个 数比偶数的个数多.问：这些数中至多有多少个偶数？2 .有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每 一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依 次出现1、9、8、8这四个数吗？3 .求证：四个连续奇数的和一定是8的倍数。4 .把任意6个整数分别填入右图中的6个小方格内，试说明一定有一 个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。5 .如果两个人通一次电话，每人都记通话一次，在24小时以内，全 世界通话次数是奇数的那些人的总数为o(A)必为奇数，(B)必为偶数，(C)可能是奇数，也可能是偶数。6 . 一次宴会上，客人们相互握手.