二项式系数教学课件

1、 第第5 5章章 二项式系数二项式系数 5.1 Pascal5.1 Pascal公式公式 一、一、PascalPascal公式（帕斯卡）公式（帕斯卡） C? ?Cknkn? ?1? ?Ck? ?1n? ?1(1? ?k? ?n? ?1) 证明证明1 1：数学验证即可。数学验证即可。 证明证明2 2：组合学证明组合学证明两种计数方法。两种计数方法。 直接选取一个直接选取一个k-k-组合：组合： Ckn 任意选定一个元素任意选定一个元素a： 含有含有a 的的k-k-组合有组合有 Ck? ?1n? ?1kn? ?1 不含有不含有a 的的k-k-组合有组合有 C二、二、PascalPascal公式的意

2、义公式的意义 迭代生成组合数迭代生成组合数 ? ?C? ?C? ?C? ?0nC? ?1 ,C? ?nn? ?1n? ?1 ,2 ,3 ,.knkn? ?1k? ?1n? ?10 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 3 3 6 6 1 1 4 4 1 1 5 5 1 1 6 6 1 1 7 7 1 1 8 8 1 1 1 1 2 2 3 3 迭代过程会生成迭代过程会生成PascalPascal三角形，三角形， 即杨辉三角形。即杨辉三角形。 4

3、4 5 5 6 6 7 7 8 8 5 5 10 10 10 10 6 6 15 15 20 20 15 15 7 7 21 21 35 35 35 35 21 21 8 8 28 28 56 56 70 70 56 56 28 28 三、杨辉三角形中的组合公式三、杨辉三角形中的组合公式 1 1、行和、行和 0 0 C? ?C? ?.? ?C? ?20n1nnnn0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 1 1 3 3 6 6 1 1 4

4、 4 1 1 5 5 1 1 6 6 1 1 7 7 1 1 8 8 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 21222242522722863010 10 10 10 15 15 20 20 15 15 21 21 35 35 35 35 21 21 28 28 56 56 70 70 56 56 28 28 三、杨辉三角形中的组合公式三、杨辉三角形中的组合公式 2 2、第一列、第一列 C? ?C? ?.? ?C? ?1? ?2? ?.? ?nn(n? ?1)? ?22? ?Cn? ?111121n0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8

5、 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 1 1 3 3 6 6 1 1 4 4 1 1 5 5 1 1 6 6 1 1 7 7 1 1 8 8 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 10 10 10 10 15 15 20 20 15 15 21 21 35 35 35 35 21 21 28 28 56 56 70 70 56 56 28 28 三、杨辉三角形中的组合公式三、杨辉三角形中的组合公式 3 3、第二列、第二列 C? ?C? ?.? ?C? ?

6、C313n? ?121222n0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 1 1 3 3 6 6 1 1 4 4 1 1 5 5 1 1 6 6 1 1 7 7 1 1 1 1 2 2 3n324 4、第三列、第三列 C? ?C? ?.? ?C? ?Ck14n? ?13 3 4 4 5 5 10 10 10 10 5 5、第、第k k列列 C? ?C? ?.? ?C? ?Ck? ?1n? ?1k2kn6 6 7 7 15 15 20 20

7、15 15 21 21 35 35 35 35 21 21 8 8 1 1 8 8 28 28 56 56 70 70 56 56 28 28 8 8 1 1 例例1 1 从从P(i,j)P(i,j)出发，只能下行或右下行出发，只能下行或右下行 , ,到达到达 P(i+1,j) P(i+1,j)或或P(i+1,j+1)P(i+1,j+1)。 从点从点P(0P(0，0)0)出发出发 到达点到达点P(n,k)P(n,k)共共 有多少条的路径？有多少条的路径？ 解：解： 有递推关系有递推关系 P(n,k)= P(n-1,k-1) P(n,k)= P(n-1,k-1) + P(n-1,k) + P(n

8、-1,k) P(1,0)=1,P(1,1)= 1 P(1,0)=1,P(1,1)= 1 CP(n,k)= P(n,k)= kn0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 5.2 5.2 二项式定理二项式定理 定理定理5.2.1 5.2.1 （二项式定理）（二项式定理） (x? ?y)? ? ?C x ynknkk? ?0nnn? ?k定理定理5.2.2 5.2.2 (1? ?x)? ? ?C xnknk? ?0k 生成函数：生成函数： Cx0n0Cx1nCx2nCx3n.C.xnnn123? ?

9、1 ? ? x? ?n二项式定理的应用二项式定理的应用 更多的组合公式更多的组合公式 1.kC? ?nC0n1n0n1n2nknk? ?1n? ?1nnn2.C? ?C? ?.? ?C? ?2C? ?C? ?C? ?.? ?2C? ?C? ?C? ?.? ?21n1n3n5n4nn- 1生成函数求导生成函数求导 n- 13.1 C? ?2C? ?.? ?nC? ?n221n21n2nnnnn-1生成函数再生成函数再 求导求导 n? ?24.1 C? ?2 C? ?.? ?n C? ?n(n? ?1)25 .(C )? ?(C )? ?.? ?(C )? ?C1 2n2 2nn 2nn2n分成两

10、个分成两个 n-集合集合 利用生成函数利用生成函数发现更多的组合公式发现更多的组合公式 1.(1? ?x) (1? ?x)? ?(1? ?x)mnm? ?nm? ?n? ? ?mii? ? ?njjkk? ? ? ? ? ?Cmx? ? ?.? ? ?Cnx? ? ? ?Cm? ?nx? ?i? ?0? ? ?j? ?0? ?k? ?0? ?Ci? ?0ni? ?0k范德蒙范德蒙 卷积公式卷积公式 imCink-in? ?Ckm? ?n? ?CnlCn-in? ? ?Ci? ?0n? ? ? ?in2? ?Cn2n2.(1? ?x) (1? ?x)? ?xm? ?1m? ?mn(1? ?x)m

11、? ?nl? ?m? ?n3.(1? ?x) (1? ?x) (1? ?x)? ?(1? ?x)5.3 5.3 二项式系数的单峰性二项式系数的单峰性 0 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 3 3 6 6 1 1 4 4 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 5 5 6 6 7 7 8 8 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 6 6 7 7 8 8 10 10 15 15 21 21 28 28 10 10 20 20 35 35 56 56 5 5 15 15 35

12、35 70 70 1 1 6 6 21 21 56 56 1 1 7 7 28 28 1 1 8 8 1 1 定理定理5.4.1 5.4.1 （二项式系数的单峰性）（二项式系数的单峰性） C ,C ,C ,. ,C 是单峰序列是单峰序列.n为偶数时为偶数时,C ,C ,C ,. ,C的最大值是的最大值是Cn为奇数时为奇数时,C ,C ,C ,. ,C的最大值是的最大值是C0n1n2nnn0n1n2nnnn/2n0n1n2nnn.,C(n? ?1)/2n(n? ?1)/2n.推论推论5.4.2 5.4.2 （二项式系数的最大值）（二项式系数的最大值） C ,C ,C ,. ,C的最大值是的最大值

13、是Cn0n1n2nnn? ?n/2? ? ?Cn? ?n/2? ?.5.4 5.4 多项式定理多项式定理 定理定理5.5.1 5.5.1 （多项式定理）（多项式定理） (x1? ?x2? ?.? ?xk)? ?其中其中 Cn1,n2.nknnn1? ?.? ?nk? ?n? ?Cn1,n2.nknx x ? xn11n22nkkn!? ?称为多项式系数称为多项式系数 .n1!n2!? nk!222例例1 1 (x1? ?x2? ?x3)2? ?x1? ?x2? ?x3? ?2x1x2? ?2x1x3? ?2x2x32 !x的系数为的系数为:C? ? ?10 !0 !2 !2 !1,0,1x1x

14、3的系数为的系数为:C2? ? ?21 !0 !1 !230,0,22例例2 2 (x1? ?x2? ?x3)33323223212221? ?x1? ?x2? ?x3? ?3x x2? ?3x1x? ?3x x3? ?3x1x? ?3x x3? ?3x2x? ?6x1x2x33 !x2x的系数为的系数为:C? ? ?30 !1 !2 !3 !1,1,1x1x2x3的系数为的系数为:C3? ? ?61 !1 !1 !230,1,2323证明：证明： 例例3 3 (x1? ?x2? ?.? ?x5) 的展开式中的展开式中 ,x x3x x5的系数的系数?解：解： C2,0,1,3,1772134

15、7 !? ? ?4202 !0 !1 !3 !1 !63123例例4 4 (2x1? ?3x2? ?5x3)的展开式中的展开式中,x x2x的系数的系数?解：解： ? ?2? ?(? ?3 )? ?56 !? ? ? ? ?8? ?3? ?253 !1 !2 !? ? ? ?36000C3,1,26312例例5 5 (x1? ?x2? ?.? ?xk) 的展开式共有多少项的展开式共有多少项 ?nnn解：解： 展开式中展开式中 ,一般项为一般项为x1x2. xk12kn其中其中 n1? ?n2? ?.? ?nk? ?n方程方程n1? ?n2? ?.? ?nk? ?n的非负整数解的个数为的非负整数

16、解的个数为Cnn? ?k? ? 1(n? ?k? ?1)!? ?n!(k? ?1)!nn? ?k? ?16所以，展开式共有所以，展开式共有C项项.例如例如(x1? ?x2? ?x3? ?x4) 的展开式共有的展开式共有C66? ?4? ?19 !? ?C? ? ?846 !3 !69 多项式系数的多项式系数的PascalPascal公式公式 1 .C2 .n1,n2,.,nkn? ?Cn1? ?1,n2,.,nkn? ?1? ?Cn1,n2? ?1,.,nkn? ?1? ?.? ?Cn1,n2? ?1 ,.,nk? ?1n? ?1n1? ?.? ?nk? ?n? ?Cn1,n2,.,nkn?

17、?k12n3 .CCn1,n2,.,nknn1,n2,.,nknnn? ?1 ,n ,.,n? ?Cn? ?1n1nn ,n? ?1,.,n? ?Cn? ?1n212kk.Cn1,n2,.,nknnn ,n ,.,n? ?Cn? ?1nk12k? ?15.5 5.5 牛顿二项式定理牛顿二项式定理 一、牛顿二项式定理一、牛顿二项式定理 定理定理5.6.1 5.6.1 （牛顿二项式定理）（牛顿二项式定理） 设设? ?为任意实数，为任意实数，k为任意整数，为任意整数，0? ?x? ?y,? ?(x? ?y)? ? ?C? ?x y? ?kkk? ? 0? ? ?k定理定理5.6.2 5.6.2 设设

18、? ?为任意实数，为任意实数，k为任意整数，为任意整数，0? ?x? ?1 ,(1? ?x)? ? ? ?C? ?xkk? ? 0? ?k二、广义二项式系数二、广义二项式系数 设设? ?为任意实数，为任意实数，k为任意整数为任意整数? ? ?(? ? ?1).(? ? ?k? ?1)? ?k!? ?kC? ? ? ? ? ? 1 k? ?0? ? ? 0 k? ?0 k? ?1例例1 1 5? ?5? ? ?5531? ?1? ? ? ?5? ? ? ?1? ? ? ?2? ? ? ?3? ? ? ? ?52? ?2? ? ?22222? ?2? ?4? ? ? ?C5/2? ? ? ? ?

19、?4 !4 !128(? ?8 )(? ?9)2C? ?8? ? ?362 !? ?23 .2C? ?0C03 .2? ?1C13 .2? ?3 .2C23 .2? ?3 .2? ?2 .2/2三、常用展开式三、常用展开式 ? ?1kk例例2 2 1 .? ? ?(? ?1 ) x ,1? ?xk? ?0 x? ?1? ?1k2 .? ? ?x ,x? ?11? ?xk? ?0? ?1kk3 .? ? ?C? ?nx ,x? ?1n(1? ?x)k? ?0(? ?n)(? ?n? ?1 ).(? ?n? ?k? ?1 )k其中其中C? ?n? ?k!kkkn(n? ?1 ).(n? ?k? ?

20、1 )? ?(? ?1 ) Cn? ?k? ?1? ?(? ?1 )k!? ?1kk4 .? ? ?Cn? ?k? ?1x ,x? ?1n(1? ?x)k? ?0例例3 3 1? ?x? ?(1? ?x)1/2? ? ?Cx ,k1/2kk? ?0? ?x? ?11? ?1? ? ? ?1? ? ? ?1? ?.? ? ?k? ?1? ?2? ?2? ? ? ?2k? ?其中其中C1/2? ?k!1 (? ?1 )(? ?3 ).(? ?2 k? ?3 )? ?k2 k!k? ?1(2 k? ?3 )!k? ?1(2 k? ?3 )!? ?(? ?1 )? ?(? ?1 )k(2 k)!2 k

21、!? ?(? ?1 )k? ?1(2 k? ?3)!(2 k? ?2 )!(2 k)!(2 k? ?2)!(2 k? ?2 )!1k? ?1k? ?1? ?(? ?1 )C2(k? ?1)2k? ?122k? ?12k(k? ?1 )!2k? ?(? ?1 )k? ?1四、帕斯卡公式四、帕斯卡公式 1 .C? ? ?C? ? ?1? ?C2 .kC? ? ? ?C? ? ?13 .C? ? ?k? ?1? ?C? ? ?C? ? ?1? ?C? ? ?2? ?.? ?C? ? ?k4 .C5 .Ck? ?1? ? ?1k? ?1n? ?1k012kkkkkk? ?1? ? ?1? ?C? ? ?C? ? ?1? ?C? ? ?2? ?.? ?C? ? ?m? ?C? ?C? ?C? ?C? ?.? ?Ck0k1k2knkkkkk? ?1? ? ?m3 .C? ? ?k? ?1? ?C? ? ?C? ? ?1? ?C? ? ?2? ?.? ?C? ? ?k0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 0 0 1 1 k012k2 2 3 3