高考轻弹簧模型研究

1、高考轻弹簧模型研究一、轻弹簧模型的特点轻弹簧的“轻”就是质量可以忽略，重力不计，为理想模型，其特点是弹簧各处受力相等（包括两端），其大小与弹簧的运动状态无关，在弹性限度内满足胡克定律，对物体既可以有拉力，也可以有压力。例1：如图所示，四个完全相同的弹簧处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同；中弹簧的左端固定在墙上；中弹簧左端受大小也为F的拉力作用；中弹簧的右端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动；中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动。若认为弹簧的质量都为零，以l1、l2、l3、l4依次表示四个弹簧的伸长量，则有（ ）A、l2l1 B、l4 l3 C、

2、l1l3 D、l2l4(1)F(2)F(4)F(3)F解析：因弹簧的质量不计，用微元思想选取一小段元弹簧，其受到的合力为零，可以得出不论弹簧是静止还是加速运动，弹簧各处受力相等，即弹簧的弹力为F，由胡克定律可知D选项正确。二、轻弹簧的静力学问题在处理平衡问题时应合理选择研究对象，依据平衡条件求出弹簧的弹力，再由胡克定律求出弹簧的伸长量或压缩量。例2：如图所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态。现用外力缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧。在这过程中下面木块移动的距离为多大？m1m2k1k2F解析

3、（一）：缓慢向上提意味着m1、m2始终处于平衡状态，初始状态上、下两弹簧的压缩量分别为x1和x2，对于m1有k1x1=m1g 对于m2有k1x1+m2g=k2x2 在力F的作用下，当m1向上移时，m2向上移对于m2有m2g+k1(x1)=k2（x2） 由得当时，m1离开上面的弹簧，此时m2上移的距离解析（二）：初状态下面弹簧的压缩量为x2，对于m1和m2由物体的平衡有k2x2(m1m2)g 当m1刚离开上面的弹簧时，上面的弹簧对m2无作用力，设下面弹簧的压缩量为，对于m2由物体的平衡有 此过程中m2上移的距离 由得 hm1g/k2ABkC三、轻弹簧的动力学问题（一）瞬时问题：弹簧在力的作用下，

4、发生明显形变，形变恢复需要一定时间，在瞬时问题中，形变未改变，可以认为弹簧其弹力不变。例3：如图所示，木块A与B用一轻弹簧相连，竖直放在木块C上，三者静置于地面，它们的质量之比是1：2：3，设所有接触面都光滑，当沿水平方向快速抽出木块C的瞬间，木块A和B的加速度分别是多大？解析：抽C前弹簧弹力，抽C后瞬间弹簧的弹力不变，A所受合力仍为零，故；B所受合力。（二）圆周运动问题：轻弹簧对物体既可以有拉力，也可以有支持力，其长度随受力的变化而变化。例4：如图所示，有原长为l0的轻弹簧，劲度系数为k，一端系一质量为m的物体，另一端固定在转盘上的O点，物块随转盘一起以角速度转动，物块与转盘间的最大静摩擦力

5、为Fm，且，求物块在转盘上的位置范围。O解析：物块与转盘间有最大静摩擦力，当物块转动半径最小为时，弹簧被压缩，由牛顿第二定律有得当物块转动半径最大为r2时，弹簧伸长，由牛顿第二定律有得所以物体在转盘上的位置为。（三）临界问题：相互接触的物体分离的瞬间弹力为零，此时两物体具有相同的运动状态FPQ例5：如图所示，一个弹簧秤放在水平地面上，Q为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P为一重物，已知P的质量M10.5kg，Q的质量m1.5kg，弹簧的质量不计，劲度系数K800N/m，系统保持静止，现给P施加一个方向竖直向上的力F，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知前0.2S时间内，F为变力，0.2S以后，F为

6、恒力，求变力F大小的变化范围。解析：（1）P做匀加速运动，它受到合外力一定是恒力，P受到三个力：重力、向上的力F、Q对P的支持力FN，其中重力Mg为恒力，FN为变力，因0.2S以后F为恒力，说明t0.2s时刻P与Q开始脱离，此时FN0。（2）t0.2s的时刻FN恰好减为零，此时P与Q具有相同的速度及加速度，因此，此时刻弹簧并未恢复原长。（3）当t0时刻，应是力F最小的时刻，F小（Mm）a，随后由于弹簧的弹力逐渐变小，而P与Q的合力保持不变，因此力F逐渐变大，至t0.2s时间内，F增至最大，F大M（ga）（四）简谐振动问题：物体在平衡位置速度最大，加速度为零；物体偏离平衡位置的位移大小相等时，加

7、速度大小相等，速度大小相等（即振动的对称性）；物体偏离平衡位置的位移变大，加速度变大，速度变小。例6：如图所示，升降机在箱底装有若干个弹簧，在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中A、升降机的速度不断减小B、升降机的加速度不断变大C、到最低点时，升降机的加速度值等于重力加速度的值D、到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值解析：因触地后弹簧下端与地不再分离，且弹簧原长时升降机有一向下的速度，故本题可转化为一个下端与地连接，上端连一物体的竖直弹簧振动问题，将物体由最高点静止释放（此时弹簧伸长x1），物体将在最高点和最低点间做简

8、谐振动；在最高点mg+kx1=ma1，得a1g；在平衡位置时，弹簧的压缩量为x2，mg=kx2，物体做简谐运动的振幅为A=x1+x2；由简谐振动的对称性，物体在最低点和物体在最高点的加速度大小相等，故在最低点升降机的加速度值大于重力加速度的值，选项D正确。例7、如图所示，一根自由长度为cm的轻弹簧，下端固定，上端连一个质量为m的物块P，在P上方再放一个质量也是m的物块Q，系统静止后，弹簧长度为cm。如果迅速向上移去Q，物块P将在竖直方向上做简谐运动，试求此后弹簧的最大长度。解析：方法（一）未移走Q时，对于P、Q由物体的平衡条件 mg 移走Q后，P做简谐运动，设其在平衡位置时弹簧的长度为，对于P

9、由物体的平衡条件 P做简谐运动的振幅 P运动到最高点时弹簧最大长度 由得：cm方法（二）设P做简谐运动的振幅为A，在刚移去Q时，对于P由牛顿第二定律 P在最高点，设弹簧的长度为l，由牛顿第二定律 由得 cm四、轻弹簧的弹性势能问题在弹簧的形变量发生改变时，弹簧的弹力是一个变力，对于变力做功可从功能的关系角度出发分析，弹簧的弹力做了多少功，弹簧的弹性势能就减少多少；弹簧的弹性势能跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关，被拉伸或压缩的长度越长，恢复原状时对外做的功就越多，弹簧的弹性势能就越大。（一）弹力做功为零：弹簧的压缩量和伸长量相同时，弹簧的弹性势能相同，在此过程中弹簧的弹性势能的改变量为零，弹力做功为

10、零。CA例8：如图所示，在倾角为30的光滑斜面上，一劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在固定档板C上，另一端连接一质量为m的物体A，一轻细绳通过滑轮，一端系在物体A上，另一端有一细绳套，细绳与斜面平行，物体A保持静止。现在细绳套上挂一质量也为m的物体B，试求物体A的最大速度解析：初状态弹簧的压缩量为x1，有得；物体的速度最大时物体受到合力为零，设此时弹簧的伸长量为x2，有得；因故弹性势能的改变量，在此过程中，对于A、B弹簧组成的系统由机械守恒定律有得（二）弹力做功不为零：弹力做功不为零，弹性势能的改变量不为零，可由功能关系计算弹力做功，也可由能的转化和守恒计算弹性势能的改变量。1、由机械能守恒定律

11、计算弹性势能的改变量例9、（2005年，全国理综卷第24题）如图质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都牌伸直状态，A上方的一段沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C上升。若将C换成另一个质量为(m1+m3)物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B则离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。解析：方法（一）解析开始时，B静止平衡，设弹簧的压缩量为x1,挂C后，当B刚要离地时，设弹簧伸长量为x2，有此时，A和C速度均为零。从挂C到此

12、时，根据机械能守恒定律弹簧弹性势能的改变量为将C换成D后，有联立以上各式可以解得注：弄清物理过程是解本的关键。开始A、B静止，属于平衡现象。挂C后是一个运动过程，但不是匀变速，先加速后减速，可考虑用功能关系列方程，A的重力势能增加，C的重力势能减少，还有弹簧的弹性势能变化(可设为增加)。该过程的末状态，B刚要离地但并没有离地，仍静止，还是一个平衡现象。一般情况下，匀变速运动列方程可从牛顿运动定律和运动学公式出发，而非匀变速运动则从动量和能量两个守恒时考虑。 换D后的过程，仍是非变速，且最后AD还有速度。两个物体减少的势能，除让弹簧弹性势能变化外，两个物体的动能也增加。方法（二）从两个物理过程的

13、效果出发，挂D与挂C比较，弹簧弹性势能的改变量相同，只是系统的重力势能多减少了从而使A和D的动能增加，则有得 2、由动能定理计算弹性势能例10、如图所示，EF为一水平面，O点左侧是粗糙的，O点右侧是光滑的。一轻质弹簧右端与墙壁固定，左端与质量为m的小物块A相连，A静止在O点，弹簧处于原长状态。质量为m的物块B，在大小为F的水平恒力作用下由C处从静止开始向右运动，已知物块B与EO面间的滑动摩擦力大小为F/4，物块B运动到O点与物块A相碰并一起向右运动（设碰撞时间极短），运动到D点时撤去外力F，已知S，S，试求撤去外力F后弹簧的最大弹性势能解析：设B与A碰前B的速度为，对于B由动能定理 设B与A碰

14、后A、B的共同速度为，对于B、A由动量守恒定律设弹簧的最大弹性势能为，从碰后到A、B的速度减小到0，由动能定理由得 3、由机械能守恒定律和简谐运动计算弹性势能例11、如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上，自然长度为m，上面连接一个质量为kg的物体，平衡时弹簧的长度为m。距物体m1正上方高为0.3m处有一个质量为kg的物体自由下落后与弹簧上物体m1碰撞立即合为一体，一起在竖直面内做简谐运动。当弹簧压缩量最大时，弹簧长为m。（m/s2）求：弹簧长为0.6m时弹簧的弹性势能解析：静止时，对于由物体的平衡条件 与作简谐振动到达平衡位置时，弹簧的长度为，对于和由物体的平衡条件 由得 m与做简谐振动的振幅

15、m与运动到最高点时弹簧的长度m，即弹簧原长，设弹簧长度为时弹簧的弹性势能为，物体由最低点到最高点的过程中，由机械能守恒定律J。ABFkm2m4、由功能关系和简谐运动计算弹性势能的改变量例12：如图所示，用轻弹簧相连接的两木块A、B竖直叠放在水平面上，弹簧的劲度系数为k，木块A的质量为m，木块B的质量为2m，系统处于静止状态，现用竖直上的恒力F拉A，最终能使B刚好离开地面，且不能继续上升（空气阻力不计）。试求：（1）恒力F的大小？（2）在A处于静止状态时，若给A一个竖直向下冲量I，A先向下压缩弹簧，然后向上弹起，要使B恰好离开地面，且不能继续上升，则I为多大？解析：（1）A静止时，弹簧的压缩量为

16、x1，对于A由物体的平衡有得当对A施加一个竖直向上的恒力F后，由于B始终保持静止，故此题可转化为竖直弹簧振子的简谐振动问题B刚好离开地面时，由于B不能继续上升，此时A运动到最高点，设弹簧的伸长量为x2，对于B由物体的平衡有得木块A在初始位置和最高点之间做简谐振动，最高点和最低点间距离为，由振动的对称性知其振幅木块A在最低点时振动的回复力为F，由得（2）木块A由最低点到最高点的过程中弹簧弹性势能的增加量为，由功能关系有得木块A获得冲量I后其初速度为，则木块A由初始位置到最低点，再到最高点的过程中，由机械能守恒定律有由得五、轻弹簧的动量和能量相结合问题一根弹簧两端各连接一个小球（物体），这样的装置

17、我们称为“弹簧双振子”，本模型可以涉及到力和运动、动量和能量等力学综合问题，在物理过程分析中应抓住当两球的相对速度为零时弹簧伸长最长或者压缩最短和弹簧为原长时两球的相对速度最大这两种临界状态。1、两体作用类例13、如图所示，在水平光滑轨道上，小车A、B用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在A、B上，然后使A、B以速度沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，A的速度刚好为0，已知A、B的质量分别为、，且，试求（1）被压缩的弹簧具有的弹性势能（2）试定量分析，物体在以后的运动过程中，小车B有无速度为0的时刻解析：（1）设弹簧第一次恢复自然长度时B的速度为由动量守恒定律有 由

18、机械能守恒定律有师事务所 由得 （2）设以后运动过程中B的速度为0时，A的速度为，此时弹簧的弹性势能为由动量守恒定律 由机械能守恒定律 由得 ，弹簧的弹性势能小于0是不可能的，所以B的速度没有等于0的时刻。2、三体作用类ACB例14：如图所示，在光滑的长直水平轨道上有一轻质弹簧两端分别固定质量为2m的小球A和质量为m的小球B，质量为m的小球C靠在B的右侧。现用外力作用在A和C上，弹簧被压缩（弹簧仍在弹性限度内），这时弹簧的弹性势能为EP，若撤去外力，试求：（1）B、C两球分离时，三球的速度；（2）B、C分离后，弹簧的最大弹性势能。解析：（1）撤去外力后，B、C向右做加速度减小的加速运动，B对C

19、的弹力逐渐减小，当弹簧原长时B、C两球分离，设B、C分离时，B、C向右的速度为，A球向左的速度为，对于A、B、C三球及弹簧由动量守恒定律有弹簧原长时弹性势能为零，由机械能守恒定律有由得：（2）B、C分离后，C向右做匀速运动，当A球和B球达共同速度时，弹簧伸长最长或者压缩最短，弹簧弹性势能最大，设其为EP，对于A、B和弹簧，由动量守恒守律有由机械能守恒定律由得在物理教学中若能让学生掌握好上述轻弹簧的几种基本问题，不仅可以有利于解决轻弹模型中的较为复杂的问题，还有利于提高学生分析物理问题的能力。例15，如图所示，光滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以m/s的速度向右运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物块C静止在前方。B与C碰撞后二者粘在一起运动，试求在以后的过程中弹簧的最大弹性势能。解析：B、C二物块发生短时作用，设碰后共同速度为，由动量守恒定律 B、C二物块与A发生持续作用，设共同速度为，由动量守恒定律 B、C二物块与A达共同速度时，弹簧伸长最长或者压缩最短，此时弹簧具有最大弹性势能，由机械能守恒定律 由得J六、轻弹簧与电磁感应现象相结合例16、（05江苏物理16）