史上最详细的平面曲线的弧长公式计算微积分

1、 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长小结小结 思考题思考题 作业作业弧长的概念弧长的概念直角坐标情形直角坐标情形参数方程情形参数方程情形7.47.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长极坐标情形极坐标情形 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长2,0ma 设设a a、b b是曲线是曲线在在弧上插入分点弧上插入分点依次用弦将依次用弦将记每条弦记每条弦的长度为的长度为折线长度的极限折线长度的极限如果当分点无限增加如果当分点无限增加, , ,|lim110存在存在iniimm 弧长(长度).,1 nm弧上的两个端点弧上的两个端点, ,光滑曲线弧是可求长光滑曲线弧是可求长. .oxy a b0m nm 1m

2、 2m im 1 nm 则称则称此极限此极限为曲线弧为曲线弧 abab的的,1imm ,bmn 相邻两点联结起来相邻两点联结起来, , 得到一条内接折线得到一条内接折线. ., 2 , 1|,|1nimmii . |max11iinimm 令令,0时时且且 一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长3xoyabxxxd yd22)d()d(yx xy d12 弧长元素弧长元素,d1d2xys 弧长弧长.d12xysba 小切线段的长为小切线段的长为: :弧段的长弧段的长, ,)(xfy 设曲线弧为设曲线弧为y y = f f ( (x x) ),(bxa

3、 其中其中f f ( (x x) )在在 a a, , b b 上有上有一阶连续导数一阶连续导数. .取积分变量为取积分变量为x x, ,任取小区间任取小区间,d,xxx xd在在 a a, , b b 上上二、直角坐标情形二、直角坐标情形现在计算这现在计算这曲线弧的长度曲线弧的长度. .( (弧微分弧微分) )以对应小以对应小切线段的长代替小切线段的长代替小 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长4解解2)(1y 所求弧长为所求弧长为xaxsdch axaayaxaxch)ee (2 bxbx 与与,chaxay axysh xaxbdch20 .sh2sh20abaaxab 2sh1 axa

4、xch 例例xysbad12 b b悬链线方程悬链线方程计算介于计算介于 之间一段弧长度之间一段弧长度. .xyobb axxsh)ch( cxxx shdch 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长5解解nxnysin ,sinnx sxnxndsin10 tntdsin1 tttttnd2cos2sin22cos2sin022 tttnd2cos2sin0 .4n ntx 例例xysbad12 计算曲线计算曲线的弧长的弧长 dsin0 nynxtnxdd 000nn1 ).0(nx 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长6曲线弧为曲线弧为 )(),(tytx )( t22)d()d(dyxs

5、tttd)()(22 弧长弧长.d)()(22ttts 其中其中)(),(tt 在在 a a, , b b 上上具有连续导数具有连续导数. .三、参数方程情形三、参数方程情形现在计算这现在计算这曲线弧的长度曲线弧的长度. .取参数取参数t t为积分变量为积分变量, , 其变化区间为其变化区间为., 对应于对应于, 上任一小区间上任一小区间d,ttt 的小弧段的的小弧段的长度的近似值长度的近似值, , 即即弧长元素弧长元素为为 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长7解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t对称性对称性14ss tyxd)()(422 t

6、ttadcossin3420 .6a tttsd)()(22 02例例 求星形线求星形线的全长的全长. .323232ayx )0( aaaoxyaa 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长8证证xysd12021 xxadcos12022 设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于s s1 1设椭圆的周长为设椭圆的周长为s s2 2tyxsd)()(20222 证明正弦线证明正弦线例例的弧长的弧长)20(sin xxay等于椭圆等于椭圆的周长的周长. .)20(sin1cos2 ttaytx对称性对称性ttatd)(cos1 ()(sin20222 ttadcos12022 xxadcos12022

7、 .1s 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长9曲线弧为曲线弧为)( )( rr sincosryrx)( 22)d()d(dyxs d)()(22rr 弧长弧长.d)()(22 rrs具有连续导数具有连续导数. .上上在在其中其中,)( r sin)(cos)(ryrx四、极坐标情形四、极坐标情形现在计算这现在计算这曲线弧的长度曲线弧的长度. .由直角坐标与极坐标的关系：由直角坐标与极坐标的关系：弧长元素弧长元素为为 为参数的为参数的参数方程参数方程 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长10)0( a)30( 解解 d)()(22 rrs d3cos3sin3sin3024262 aa d3

8、sin302 a.23a d)()(22 rrs求极坐标系下曲线求极坐标系下曲线例例33sin ar的长的长. .3cos3sin2 a23sin3 ar3cos 31 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长11解解 d)()(22 rrs d20222 aa d1202 a求阿基米德螺线求阿基米德螺线 上上相相应应于于)0( aar.20的的弧弧长长到到从从例例xaxd22 caxxaaxx |ln2222222).412ln(412222 axa2o 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长12平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下求弧长的公式求弧长的公式 四、小结四、小结 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长13思考题思考题解答