直线与双曲线位置关系

1、直线与双曲线位置关系直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点1:直线与双曲线的位置关系1直线与双曲线的位置关系的判断设直线y=kx+b，双曲线-=1 (a0，b0)联立消去y得ax2+c=0(a0），=b2 -4c。若a0即,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;若0,直线与双曲线相交,有两个交点;若=0,直线与双曲线相切，有一个交点;若0,直线与双曲线相离，无交点;直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2弦长问题设直线:y=kx+n,圆锥曲线：f（x,y)=0,它们的交点为p1（x,y1),p （x2，y2),且由,消去ax2+x+c0（a0）,=2

2、c。弦长公式:（k为直线斜率)例题选讲：例1:直线l：kx1与双曲线c：2x2y1的右支交于不同的两点a、b.求实数k的取值范围;解 ()将直线l的方程y=kx+1代入双曲线c的方程x2-=1后,整理得(22)x+2x+=0.依题意，直线l与双曲线的右支交于不同两点，故解得k的取值范围是22 (其中为原点)，求k的取值范围解(1)设双曲线c2的方程为-1,则a213,c2=4,由ab2=，得1,故c2的方程为-y21.（2）将y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x29=0.由直线l与双曲线交于不同的两点,得k且22，得xx2y1y2,2，即0，解得k20)的离心率为若抛物线2:2=2py

3、 （0）的焦点到双曲线1的渐近线的距离为2,则抛物线c的方程为()a.2=y b.x.2=8y d.x2=1y(2)(12四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点（，0).若点m到该抛物线焦点的距离为3，则m|()a.2 b.2c4 d2自主解答 （)双曲线c：-=(0，)的离心率为2,2,b=a，双曲线的渐近线方程为y，抛物线c2:x22(p0）的焦点到双曲线的渐近线的距离为=,8.所求的抛物线方程为x6y.(2)依题意，设抛物线方程是y2px(0),则有2=3，得p2，故抛物线方程是y24x，点m的坐标是(2,2)，om|2.答案 (1)d ()b练习2:若抛物线

4、的顶点在原点,开口向上，f为焦点,为准线与y轴的交点，a为抛物线上一点，且，求此抛物线的方程解析 设点是点在准线上的射影,则，由勾股定理知,点a的横坐标为,代入方程得或4,抛物线的方程或题型3:直线与抛物线的位置关系1.设抛物线方程为y=2px（p0)，直线ax+by+c，将直线方程与抛物线方程联立,消去得到关于y的方程my+y+q(1)若m0,当0时，直线与抛物线有两个公共点；当=0时,直线与抛物线只有一个公共点;当0)上.(1）求抛物线e的方程；()设动直线l与抛物线e相切于点p,与直线-1相交于点q.证明以pq为直径的圆恒过轴上某定点.自主解答(1)依题意,ob|=8，boy30.设b(

5、x，),则x|obin 30=4，y=|obco30=2.因为点b(4，12）在x2py上,所以（4)2=2p1，解得=2.故抛物线e的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)知y=x2，yx.设(x0，0)，则x00,y=x,且的方程为yy=x（xx0)，即yx0x-.由得所以q为.设(0,y1),令对满足y0x(x0)的0,0恒成立.由于（0，y0y1)，=,由0，得-0y0y1+0,即(+1-2)+(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的0恒成立,所以解得y1故以q为直径的圆恒过y轴上的定点(,1)练习3：（2泉州模拟)如图，点o为坐标原点,直线l经过抛物线:y24x的

6、焦点f.(1)若点o到直线的距离为，求直线l的方程;(2)设点a是直线与抛物线在第一象限的交点.点是以点f为圆心,a|为半径的圆与x轴的交点,试判断ab与抛物线c的位置关系,并给出证明解：(1)抛物线的焦点(1,0），当直线l的斜率不存在时,即x不符合题意.当直线的斜率存在时,设直线l的方程为:k(x)，即kx-k0.所以,=,解得=.故直线l的方程为：y=(x1),即xy10(2)直线ab与抛物线相切，证明如下：设(0，y0)，则y=4.因为|=a|x01,所以b(x0,0).所以直线ab的方程为:（xx0）,整理得:x-x0把方程代入y2x得:yy28xy+4xy0=，4x-16x0y64

7、x64x，所以直线b与抛物线相切.基础练习： 1（20济南模拟）抛物线的焦点为椭圆+=1的下焦点,顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )ax2y.y2=4xc.x=4y dy2=-4x解析:选a 由椭圆方程知，29,b,焦点在y轴上,下焦点坐标为(，c)，其中=.抛物线焦点坐标为(0,）,抛物线方程为=-4y2（202东北三校联考)若抛物线y22p(0)上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p的值为( )a2 .1c.2或8 d.4或1解析：选设p(x0，y0),则36=2p,即p2-20p+36=，解得p或.3(2013大同模拟)已知抛物线y=2px(p0）的准线与曲线x22-x

8、-7=0相切,则的值为( )a.2 b.c d.解析：选 注意到抛物线y2=2x的准线方程是x,曲线x2+y2-67，即（x3)+y2=16是圆心为（3，0)，半径为4的圆于是依题意有4又p,因此有+34，解得2.(2012郑州模拟)已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为2,则此弦所在直线的倾斜角是（ )a.或 b或 c.或 d解析:选b 由焦点弦长公式ab|得=1，所以sin ,所以或.5.(202唐山模拟)抛物线y2px的焦点为f，点、b、c在此抛物线上，点a坐标为(1，2）.若点f恰为ab的重心,则直线b的方程为( )ax+y bxy0c+-1=0 d2x-=0解析:选 点在抛物线上，4=p

9、，p,抛物线方程为y24x，焦点f(1,0)设点（x1，)，点c(,2）,则有y=1，y4x2，由得(y1y2)(y1+y2）(x-2)得c=.又=0，y1y2-,bc=2又1,x1x22，bc中点为(1,1),则b所在直线方程为y1=2（x-1)，即2y-1=0.6（201湖北模拟)已知直线yk(x-m)与抛物线y2=2px(0)交于、两点，且oaob，odab于d若动点d的坐标满足方程y2-40,则m( )a. b3 d4解析:选d 设点d(a，b），则由odab于d，得则b-，a=-;又动点的坐标满足方程x2+2-4x=，即a2-4a=,将abk代入上式,得b2k2+24bk=,即bk2+b0，+k，又k0,则（1+k2)(4m)=0,因此m4.7(2012安徽模拟)已知椭圆:1(）的离心率为,抛物线c:2py(p0)的焦点是椭圆的顶点.()求抛物线c2的方程；（2）过点m(-1,0)的直线l与抛物线c2交于e，f两点,过e，f作抛物线c的切线1,l2,当l1l时，求直线l的方程解：(1)椭圆1的长半轴长a2，半焦距c=.由e=得b2=,椭圆的上顶点为（,1),即抛物线2的焦点为(0,1),故抛物线c2的方程为x