不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)

1、不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein判别法、Kronecker判别法、Perron判别法、Browm判别法等。研究了各判定方法的等价和包含关系。此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。关键词不可约多项式；判定方法；应用 2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P是一个数域，对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式，存在，使得成立，其中或者，并且这样的，是唯一决定的。

2、定义2.1 数域P上的多项式称为能整除，如果有数域P上的多项式使等式=成立，我们用“|”表示整除，用“”表示不能整除。定理2.1 对于数域P上的任意两个多项式,其中,|的充分必要条件是除的余式为零。证明: 如果= 0那么=,即|。反过来，如果|，那么=+0，即= 0。注1: 带余除法中必须不为零。下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果|,|,那么，其中为非零常数。（2）如果|,|，那么|（整除的传递性）。（3） |,|，那么|，其中是数域P上任意多项式。2.2 本原多项式若是一个整系数多项式的系数互素， 那么叫做一个本原多项式。2.3 有理数域上多项式的等价设有理数域上的一个多项式， 若的

3、系数不全是整数，那么以系数分母的一个公倍数乘就得到一个整系数多项式。显然，多项式与在有理数域上同时可约或同时不可约。2.4 多项式的不可约相关概念在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言，有例如下把进行分解，可分解为但这是相对于有理数域而言的，对于实数域来说还可分进一步为而在复数域上，还可以再进一步分解为由此可见，必须明确系数域后，所谓的不可再分，才有确切的涵义。在下面的讨论中，仍然须选定一个数域P作为系数域，数域P上多项环P中多项式的因

4、式分解相关的不可约定义如下定义2.4.1 数域P上的次数1的多项式称为域P上的不可约多项式，如果它不能表示成数域P上两个次数比的次数低的多项式的乘积。我们要谈的多项式的不可约性问题的相关事实如下（1）一次多项式总是不可约多项式;（2）一个多项式是否不可约是依赖于系数域的;（3）不可约多项式与任一多项式之间只能是有两种关系，或者或者，事实上，如果，那么或者是1，或者是，当= 时，就有。2.5 有理数域上不可约多项式的定义 如果是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两个次数比它低的多项式的乘积， 则称为有理数域上的不可约多项式。3. 有理数域上不可约多项式的判定方法3.1 Eisen

5、stein判别法在高等代数中，Eisenstein判别法是最为经典和著名的，也是现行有理数域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。而人们长久以来的研究衍生出了许多不同的方法。3.1.1直接判别法定理3.1.1 设是一个整系数多项式，其中，设存在一个素数，使得 不整除，整除（）但不整除，那么多项式在有理数域上不可约。3.1.2 间接判别法对于分圆多项式不能直接应用 Eisenstein判别法，可以做适当的变形之后便可以应用了。在学习的过程中，面对此类问题，因为其系数较高，不能用定义法去判定。我们所学的也只有Eisenstein判别法，但不能直接运用。考虑到多项式的等价，对多项式我们可以做适当代

6、换，这样产生了 Eisenstein判别法的间接判别法。定理3.1.2 有理系数多项式在有理数域上不可约的充分必要条件是: 对于任意的有理数和，多项式在有理数域上不可约。例1 证明在Q上不可约。证明: 取，则不整除1，整除4,6,2，不整除2由 Eisenstein判别法知在Q上不可约，因此在Q上不可约。3.1.3 其他派生出的判别法这种由Eisenstein判别法派生出的方法与Eisenstein判别法相类似，能够用来判定Eisenstein判别法所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式。定理3.1.3 设是一个整系数多项式，如果存在一个素数，使整除常数项但整除其他各项系数且不整除最高次数项

7、系数，那么多项式在有理数上不可约。例2下列多项式在有理数域上是否可约？； (2) ； ，为奇素数；，为整数.解: (1) 令，则有取素数=2，由于21,2 | 2,但是2故由Eisenstein判别法可知，在有理数上不可约，从而=在有理数域上也不可约。(2) 取素数=2,则21,2 | -8,2 | 12，但是2故由Eisenstein判别法可知，该多项式在有理数域上也不可约。(3) 令，代入=,得取素数=3。由于31,3 | 6,3 | 15,3 | 21,3 | 18,3 | 9,3 | 3，但是3，故由Eisenstein判别法可知，在有理数上不可约，从而在有理数域上也不可约。(4) 令

8、,代入=,得由于是素数，且,，故由Eisenstein判别法可知，在有理数上不可约，从而在有理数域上也不可约。（5）令，代入 =得取素数=2，由于21，又2 | 4,2 | 6,2|(4k+4)，2 | (4k+2)，但(4k+2)，故由Eisenstein判别法可知，在有理数上不可约，从而在有理数域上也不可约。3.2 Kronerker判别法定理3.2.1 设，这里为有理数域。则在有限步下能分解成不可约多项式的乘积。 （只考虑整系数多项式的情形）例3 证明在上不可约。证明：取，则从而的因子是0，的因子是1，的因子是1，故令应用插值多项式：由带余除法可知，不整除，不整除，所以在Q上不可约。3.

9、3 Perron判别法定理3.3.1 设是多项式，如果，则在Q上不可约。例4 证明在Q上不可约证明：该题不满足艾森斯坦判别法，但其为整系数多项式，满足Perron判别法的条件，由题意可知，所以据Perron判别法可知该多项式在Q上不可约。3.4 Brown判别法定理3.4.1 设是次整系数多项式，令表示中1的个数，表示中的素数的个数，如果，则在Q上不可约。例5 证明在Q上不可约证明：故所以多项式在Q上不可约。3.5 多项式无有理因式判别法定理3.5.1 设是一个整系数多项式，若没有次数小于和等于的有理因式，并且存在素数，使：（1）至少不整除中的一个（2）（3）那么，在有理数域上不可约。定理3.

10、5.2 设是一个整系数多项式，若没有次数小于和等于的有理因式，并且存在素数，使：（1）至少不整除中的一个（2）（3）那么，在有理数域上不可约。这种方法在应对没有不小于二次的有理因式的判定时，因为其需要计算机计算来得到，所以在此种情况下，没有克罗奈克的方法更加的简便。3.6 模约化处理判定法定理3.6.1 ，是素数，其中，则在中不可约。定理3.6.2 ，是素数，其中，则在中不可约。定理3.6.3 ，是素数，其中，则在中不可约。定理3.6.4 ，是素数，其中，无理想根，则在中不可约。例6判断以下多项式在中是否可约:解：（1）其中,由定理2.5.1, 在中不可约.（2）其中，由定理2.5.3，在中不

11、可约.（3），5整除其余各项系数，其中，因为的系数全为正数，所以的有理根只可能为负数，设是的有理根，则，所以均不是整式，所以无有理根，由定理2.5.4，在中不可约。4. 两类特殊不可约多项式的判定4.1 奇次不可约多项式的判定 定理4.1.1 对于整系数奇次多项式 若存在素数使得 （1） （2） （3） （4）那么，在有理数域上不可约。4.2 系数为1的不可约多项式的判定 定理4.2.1 已知是系数为1的多项式。当为奇数时，在上可约；当为偶数时，如果为合数，在上可约，如果为素数，在上不可约。推论4.2.2 已知是系数在的多项式 。当为奇数时，在上可约； 当为偶数时，如果为合数，在上可约，如果为

12、素数，在上不可约。推论4.2.3已知是系数在的多项式 。当为奇数时，在上可约；当为偶数时，如果为合数，在上可约。5. 不可约多项式的应用5.1 不可约多项式在重因式中的应用定义5.1.1 不可约多项式称为多项式的重因式，如果，而。如果，那么根本不是的因式；如果，那么称为的单因素；如果，那么称为的重因式。如果的标准分解式为那么分别是的重，重，重因式。定理5.1.2 如果不可约多项式是的重因式，那么它是微商的重因式。推论5.1.3 如果不可约多项式是的重因式，那么是的因式，但不是的因式。推论5.1.4 不可约多项式是的重因式的充分必要条件为是与的公因式。作为重因式的概念定义的基础，不可约多项式的应

13、用从此可见一斑。5.2 不可约多项式在多项式互素中的应用定理5.2.1 中两个多项式互素的充要条件是有中的多项式使。定理5.2.2 如果,且,那么。例7 证明：如果，那么解：假设，则一定存在不可约多项式使得|和|又因为不可约，则有|或|这样或，与条件矛盾。所以例8 设都是多项式，而且。求证：。解:假设，则存在不可约多项式，使得和,又因为不可约，故存在，使得,则有这与条件矛盾，故例9 证明：如果，那么。解: 假设，则存在不可约多项式使得和又因为不可约，则有|或|。不妨设|，由|和可得：|所以，|，|同时成立，即：这与条件矛盾，故有。6. 结 论 本文通过相关资料的收集与整理，对有理数域上不可约多项式的判定方法做了整理和归纳。对一般的多项式给出了克罗内克（Kronecker）判别法、艾森斯坦(Eisenstein)判别法、Perron判别法、Brown判别法、没有有理因式的判别法、模约化判别法(为素数)。其中艾森斯坦(Eisenstein)判别法是最为经典实用的方法，也是现行课本中的判别法。但有其一定的局限性。 对于克罗内克（Kronecker）判别法，其大多依赖于计算机，实用不大。Perron判别法和Brown判别法为国外引进方法，我国数学学者在其有一定的研究基础。模约化判别法(为素数)是我国提出来的应用抽象代数