初高中数学衔接教材3

1、2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为 因为a0，所以，4a20于是（1）当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1x2；（3）当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方

2、程ax2bxc0（a0），有（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当0时，方程有两个相等的实数根 x1x2；（3）当0时，方程没有实数根例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0解：（1）3241330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根， （3）由于该方程的根的判别式为a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当a2时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x21；当a2时，0，

3、 所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a1（3）由于该方程的根的判别式为2241a44a4(1a)，所以当0，即4(1a) 0，即a1时，方程有两个不相等的实数根 ， ； 当0，即a1时，方程有两个相等的实数根 x1x21； 当0，即a1时，方程没有实数根说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根 ，则有 ；

4、所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2(x1x2)xx1x20例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值

5、分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值解法一：2是方程的一个根，522k260，k7所以，方程就为5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一个根为，k的值为7解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一个根为，k的值为7例3 已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值分析：本题

6、可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170， 解得 m1，或m17当m1时，方程为x26x50，0，满足题意；当m17时，方程为x230x2930，302412930，不合题意，舍去综上，m17说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围

7、，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例4 已知两个数的和为4，积为12，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一：设这两个数分别是x，y，则 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，这两个数是2和6解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120的两个根 解这个

8、方程，得 x12，x26所以，这两个数是2和6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23解：x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一

9、个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则，| x1x2| 于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例6 若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范围是a4练 习1选择题：（1）方程的根的情况是 （ ） （a）有一个实数根 （b）有两个不相等的实数根（c）有

10、两个相等的实数根 （d）没有实数根（2）若关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ） （a）m （b）m （c）m，且m0 （d）m，且m0 2填空:（1）若方程x23x10的两根分别是x1和x2，则 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情况是 （3）以3和1为根的一元二次方程是 3已知，当k取何值时，方程kx2axb0有两个不相等的实数根？4已知方程x23x10的两根为x1和x2，求(x13)( x23)的值习题2.1a 组1选择题:（1）已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （a）3 （b）3 （c）2 （d）2（2

11、）下列四个说法： 方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程3 x270的两根之和为0，两根之积为；方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法的个数是 （ ） （a）1个 （b）2个 （c）3个 （d）4个（3）关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根是0，则a的值是（ ）（a）0 （b）1 （c）1 （d）0，或12填空:（1）方程kx24x10的两根之和为2，则k （2）方程2x2x40的两根为，则22 （3）已知关于x的方程x2ax3a0的一个根是2，则它的另一个根是 （4）方程2x22x10的两根为x1和x2，

12、则| x1x2| 3试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数b 组1选择题:若关于x的方程x2(k21) xk10的两根互为相反数，则k的值为 （ ） （a）1，或1 （b）1 （c）1 （d）02填空:（1）若m，n是方程x22005x10的两个实数根，则m2nmn2mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x10的两个实数根，那么代数式a3a2bab2b3的值是 3已知关于x的方程x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根

13、为x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围4一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根为x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x235关于x的方程x24xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，求实数m的值c 组1选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x28x70的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ） （a） （b）3 （c）6 （d）9（2）若x1，x2是方程2x24x10的两个根，则的值为 （ ） （a）6 （b）4 （c）3 （d）（3）如果关于x的方程x22(1m)xm20有两实数根，则的取值范围为 （ ） （a） （b） （c

14、）1 （d）1 （4）已知a，b，c是abc的三边长，那么方程cx2(ab)x0的根的情况是 （ ） （a）没有实数根 （b）有两个不相等的实数根（c）有两个相等的实数根 （d）有两个异号实数根2填空：若方程x28xm0的两根为x1，x2，且3x12x218，则m 3 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根（1）是否存在实数k，使(2x1x2)( x12 x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k2，试求的值4已知关于x的方程（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两

15、个实数根x1，x2满足|x2|x1|2，求m的值及相应的x1，x25若关于x的方程x2xa0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围2.1 一元二次方程练习1 （1）c （2）d 2 （1）3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x22x303k4，且k041 提示：(x13)( x23)x1 x23(x1x2)9习题21a 组1 （1）c （2）b 提示：和是错的，对于，由于方程的根的判别式0，所以方程没有实数根；对于，其两根之和应为 （3）c 提示：当a0时，方程不是一元二次方程，不合题意2 （1）2 （2） （3）6 （3）3当m，且m0时，方程有两个不相等的实数根；当m时，方程有两

16、个相等的实数根；当m时，方程没有实数根4设已知方程的两根分别是x1和x2，则所求的方程的两根分别是x1和x2，x1x27，x1x21，(x1)(x2)7，(x1)(x2)x1x21，所求的方程为y27y10b组1c 提示：由于k=1时，方程为x220，没有实数根，所以k12（1）2006 提示：mn2005，mn1，m2nmn2mnmn(mn1)1(20051)2006 （2）3 提示；ab1，ab1，a3a2bab2b3a2(ab)b2(ab)(ab)( a2b2)(ab)( ab) 22ab(1)(1)22(1)33（1）(k)241(2)k280，方程一定有两个不相等的实数根 （2）x1

17、x2k，x1x22，2k2，即k14（1）| x1x2|，；（2）x13x235| x1x2|，m3把m3代入方程，0，满足题意，m3c组1（1）b （2）a （3）c 提示：由0，得m，2(1m)1 （4）b 提示：a，b，c是abc的三边长，abc，(ab)2c202（1）12 提示：x1x28，3x12x22(x1x2)x128x118，x12，x26，mx1x2123（1）假设存在实数k，使(2x1x2)( x12 x2)成立一元二次方程4kx24kxk10有两个实数根，k0，且16k216k(k+1)=16k0，k0x1x21，x1x2， (2x1x2)( x12 x2)2 x1251x22 x22 2(x1x2)29 x1x22， 即，解得k，与k0相矛盾，所以，不存在实数k，使(2x1x2)( x12 x2)成立（2）2 ，要使2的值为整数，只须k1能整除4而k为整数，k1只能取1，2，4又k0，k11， k1只能取1，2，4，k2，3，5能使2的值为