2021届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第八节解三角形的实际应用课时规范练文含解析北师大版

1、第第三三章章三角函数、解三角形三角函数、解三角形第八节解三角形的实际应用课时规范练a 组基础对点练1已知 a，b 两地间的距离为 10 km，b，c 两地间的距离为 20 km，现测得abc120，则 a，c 两地间的距离为()a10 kmb10 3 kmc10 5 kmd10 7 km解析：如图所示，由余弦定理可得：ac210040021020cos 120700，ac10 7(km)答案：d2(2020江西南昌模拟)已知台风中心位于城市 a 东偏北(为锐角)的 150 km 处，以 v km/h沿正西方向快速移动， 2.5 h 后到达距城市 a 西偏北(为锐角)的 200 km 处， 若

2、cos 34cos ，则 v()a60b80c100d125解析：如图所示，台风中心为 b，2.5 h 后到达点 c，则在abc 中，absin acsin ，即 sin43sin ，又 cos 34cos ，sin2cos2169sin2916cos21sin2cos2，解得 sin 35，cos 45，sin 45，cos 35，cos()cos cos sin sin 354545350，2，bc2ab2ac2，(2.5v)215022002，解得 v100，故选 c.答案：c3如图，从气球 a 上测得正前方的河流的两岸 b，c 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流

3、的宽度 bc 等于()a240( 31)mb180( 21)mc120( 31)md30( 31)m解析：tan 15tan(6045)tan 60tan 451tan 60tan 452 3，bc60tan 6060tan 15120( 31)(m)，故选 c.答案：c4某位居民站在离地 20 m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为 60，小高层底部的俯角为 45，那么这栋小高层的高度为()a20(133)mb20(1 3)mc10( 2 6)md20( 2 6)m解析：如图，设 ab 为阳台的高度，cd 为小高层的高度，ae 为水平线由题意知 ab20 m，dae45，cae60，故

4、de20 m，ce20 3 m所以 cd20(1 3)m.故选 b.答案：b5 (2020临川模拟)如图所示， 为了测量某湖泊两侧 a， b 间的距离， 李宁同学首先选定了与 a，b 不共线的一点 c(abc 的角 a，b，c 所对的边分别记为 a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量 a，c，b；测量 a，b，c；测量 a，b，a，则一定能确定 a，b 间的距离的所有方案的序号为()abcd解析：对于可以利用正弦定理确定唯一的 a，b 两点间的距离，对于直接利用余弦定理即可确定 a，b 两点间的距离答案：d6某船开始看见灯塔在南偏东 30方向，后来船沿南偏东 60的方向航行 15 km 后

5、，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()a5 kmb10 kmc5 3 kmd5 2 km解析：作出示意图(如图)，点 a 为该船开始的位置，点 b 为灯塔的位置，点 c 为该船后来的位置，所以在abc 中，有bac603030，b120，ac15，由正弦定理，得15sin 120bcsin 30，即 bc1512325 3，即这时船与灯塔的距离是 5 3 km.答案：c7(2020广西五校联考)一艘海轮从 a 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行， 30 分钟后到达 b 处， 在 c 处有一座灯塔， 海轮在 a 处观察灯塔， 其方向是南偏东 70，在 b 处

6、观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 b，c 两点间的距离是()a10 2 海里b10 3 海里c20 3 海里d20 2 海里解析：画出示意图如图所示，易知，在abc 中，ab20 海里，cab30，abc4065105，acb45，根据正弦定理得bcsin 30absin 45，解得 bc10 2(海里)答案：a8台风中心从 a 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 b 在 a 的正东 40 千米处，b 城市处于危险区内的持续时间为()a0.5 小时b1 小时c1.5 小时d2 小时解析：根据题意画出相应的图形，如图所示bebf30 km

7、，abd 为等腰直角三角形且ab40 km，由勾股定理得 adbd20 2 km，由 bdad，可得 eddf，在 rtbed 中，由勾股定理得 ed be2bd210 km， 所以 ef2ed20 km， 因此 b 市处于危险区内的时间为 20201(h)答案：b9如图，一艘船上午 9：30 在 a 处测得灯塔 s 在它的北偏东 30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 b 处，此时又测得灯塔 s 在它的北偏东 75处，且与它相距 8 2 nmile.此船的航速是_ n mile/h.解析：设航速为 v n mile/h，在abs 中，ab12v，bs8 2 n mile

8、，bsa45，由正弦定理，得8 2sin 3012vsin 45，所以 v32.答案：3210 如图， 在四边形 abcd 中， 已知 adcd， ad10， ab14， bda60， bcd135，则 bc 的长为_解析：在abd 中，设 bdx，则 ba2bd2ad22bdadcosbda，即 142x2102210 xcos 60，整理得 x210 x960，解得 x116，x26(舍去)在bcd 中，由正弦定理：bcsincdbbdsinbcd，所以 bc16sin 135sin 308 2.答案：8 2b 组素养提升练11. (2020西安模拟)游客从某旅游景区的景点 a 处至景点

9、c 处有两条线路 线路 1 是从 a 沿直线步行到 c，线路 2 是先从 a 沿直线步行到景点 b 处，然后从 b 沿直线步行到 c.现有甲、乙两位游客从 a 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路 2，乙走线路 1，最后他们同时到达 c 处经测量，ab1 040 m，bc500 m，则 sinbac 等于_解析：依题意，设乙的速度为 x m/s，则甲的速度为119x m/s，因为 ab1 040，bc500，所以acx1 040500119x，解得：ac1 260，在abc 中由余弦定理可知cosbacab2ac2bc22abac1 04021 2602500221 04

10、01 26084911213，所以 sinbac 1cos2bac112132513.答案：51312.(2020衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔 cd 的高度，小王在点 a处测得塔顶 d 的仰角为 30，塔底 c 与 a 的连线同河岸成 15角，小王向前走了 1 200 m 到达 m 处，测得塔底 c 与 m 的连线同河岸成 60角，则电视塔 cd 的高度为_解析：在acm 中，mca601545，amc18060120，由正弦定理得amsinmcaacsinamc，即1 20022ac32，解得 ac600 6.在 rtacd 中，因为 tandacdcac33，所以 dcactand

11、ac600 633600 2(m)答案：600 2 m13.如图，在abc 中，abc90，ab 3，bc1，p 为abc 内一点，bpc90.(1)若 pb12，求 pa；(2)若apb150，求 tanpba.解析：(1)由已知得pbc60，所以pba30.在pba 中，由余弦定理得 pa23142 312cos 3074.故 pa72.(2)设pba，由已知得 pbsin .在pba 中，由正弦定理得，3sin 150sin sin（30），化简得3cos 4sin .所以 tan 34，即 tanpba34.14 如图， 现要在一块半径为1 m， 圆心角为3的扇形白铁片aob上剪出一个平行四边形mnpq，使点 p 在弧 ab 上，点 q 在 oa 上，点 m，n 在 ob 上，设bop，平行四边形 mnpq 的面积为 s.(1)求 s 关于的函数关系式；(2)求 s 的最大值及相应的角解析： (1)分别过 p，q 作 pdob 于点 d，qeob 于点 e，则四边形 qedp 为矩形由扇形半径为 1 m，得 pdsi