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文档简介
1、浙江省“山水联盟”2019-2020学年高二数学下学期期中试题(含解析)考生须知:1.本卷满分150分,考试时间120分钟;2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效;4.考试结束后,只需上交答题卷.选择题部分(40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,则=( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】计算,再计算并集得到答案.【详解】,则,故.故选:【点睛】本题考查了集合的补集和并集,属于简单题.2.若复数为纯虚数
2、,i是虚数单位,则实数( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,因为复数为纯虚数,则实部为且虚部不为联立方程,即可求得答案.【详解】 复数为纯虚数实部为且虚部不为可得 解得: 故选:d.【点睛】本题考查根据复数为纯虚数求参数,解题关键是掌握复数代数形式的乘除运算和复数的纯虚数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.3.若,则( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【详解】试题分析:用特殊值法,令,得,选项a错误,选项b错误, ,选项d错误, 因为选项c正确,故选c【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的
3、底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.4.用列表法将函数表示为(见表格)则下列判断正确的是( )-2-10-101a. 为奇函数b. 为偶函数c. 为奇函数d. 为偶函数【答案】c【解析】【分析】由题意得,再根据奇偶性的定义判断即可得出结论【详解】解:由表格得,则,则,则为奇函数,则为偶函数不成立;若为奇函数,即,则有函数的图象关于点对称,由题设推不出,不成立;若为偶函数,即,则有函数的图象关于直线对称,由题设推不出,不成立;故选:c【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断,运用定义法是解题的关键,属于基础题5.设,满足约束条件,
4、则的最小值为( )a. b. c. d. 5【答案】a【解析】【分析】由线性约束条件,画出可行域,结合直线的平移即可求得的最小值.【详解】根据线性约束条件,画出不等式组表示的可行域如图所示:由平移得到,由图可知当目标函数经过点处取得最小值,代入可得为故选:a.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数最值的求法,属于基础题.6.设,则“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的( )a 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】a【解析】【分析】分别证明当数列为等比数列时数列是否等比数列,反之证明当数列为等比数列时,数列是否为等比数列.【详解】充
5、分性:若数列为等比数列,所以,因为,所以数列为等比数列,充分性成立,必要性:若数列为等比数列,则所以,所以数列不是等比数列,必要性不成立.故选:a【点睛】本题主要考查了等比数列的判断及充分、必要条件的判断,属于基础题.7.函数的图象大致为( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】分析函数的奇偶性,并利用导数分析该函数在区间上的单调性,结合排除法可得出合适的选项.【详解】因为,且定义域关于原点对称,所以函数为偶函数,故排除b项;,设,则恒成立,所以函数单调递增,所以当时,任取,则,所以,所以,函数在上为增函数,故排除c、d选项.故选:a.【点睛】本题考查利用函数解析式选择图象,一般
6、分析函数的定义域、奇偶性、单调性、函数零点以及函数值符号,结合排除法得出合适的选项,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.8.若,则( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先由,可得,结合,可得,继而得到,转化,利用两角差的正弦公式即得解【详解】由题意,故故又,故,则故选:c【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算能力,属于中档题9.已知平面向量满足,、为不共线的单位向量.且恒成立,则、夹角的最小值为( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】求得,由恒成立得出,化简得知对任意的恒成立,由可求得、夹角的
7、取值范围,由此可得出结果.【详解】,由得,由题意可得,对任意的恒成立,解得,.因此,、夹角的最小值为.故选:b.【点睛】本题考查向量夹角最值的求解,考查二次不等式恒成立问题的求解,考查计算能力,属于中等题.10.已知,函数,若函数恰有3个零点,则( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】令,则函数恰有3个零点等价于方程有3个实数根对选项逐个分析,数形结合可得答案.【详解】令,则条件等价为方程有3个实数根当时,对a选项分析:当,时,在,图象如图所示:此时方程最多只有1个实数根,所以a选项错误对b选项分析:当,时,在,图象如图所示:故方程可能会出现3个实数根,所以b选项正确对c选项分
8、析:当,时,在,图象如图所示: 此时方程最多只有2个实数根,所以c选项错误对d选项分析:当,时,在,图象如图所示: 此时方程最多只有2个实数根,所以d选项错误故选:.【点睛】本题考查函数与方程,考查导数在研究函数中的应用,属于较难的题目.非选择题部分(110分)二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.九章算术第七章“盈不足”中第一题:“今有共买物,人出八,盈三钱;人出七,不足四,问人数物价各几何?”借用我们现在的说法可以表述为:有几个人合买一件物品,每人出8元,则付完钱后还多3元;若每人出7元,则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格?答:一共有_人;所合
9、买的物品价格为_元【答案】 (1). 7 (2). 53【解析】【分析】根据物品价格不变,可设共有x人,列出方程求解即可【详解】设共有人,由题意知 ,解得,可知商品价格为53元.即共有7人,商品价格为53元.【点睛】本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用,属于中档题.12.已知函数,则_,方程的解为_.【答案】 (1). -1 (2). -3或8【解析】分析】根据分段函数的解析式以及区间代入求解即可.【详解】(1).(2)当时, 有,满足;当时, 有,因为故.故方程的解为或.故答案为:(1). -1 (2). -3或8【点睛】本题主要考查了分段函数的求值以及方程的求解,需要根据题意分段进行
10、求解,注意求解后判断是否满足定义域.属于基础题.13.已知为锐角三角形,角,的对边分别为,.则(1)角的值为_;(2)若,则_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】(1)由正弦定理,可转化,为,即得解(2)由面积公式,可得,再由余弦定理,联立可得解【详解】(1)由题意,且由正弦定理 故又为锐角三角形, (2)由余弦定理: 故 故答案为:【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算能力,属于基础题14.已知向量满足:,则向量与向量的夹角为_;向量在向量方向上的投影为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可构
11、造方程求得,进而得到两向量的夹角;利用平方运算可求得,代入向量投影公式即可求得结果.【详解】,解得:,即向量与向量的夹角为.,则向量在向量方向上的投影为.故答案为:;.【点睛】本题考查利用平面向量数量积求解向量夹角、向量投影的求解问题;解题关键是能够数量应用平面向量的定义和运算律,属于常考题型.15.若将函数的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数为偶函数,则实数的最小值是_.【答案】3【解析】【分析】函数的图象向左平移个单位,得到为偶函数,利用,可得解【详解】由题意,函数的图象向左平移个单位,得到为偶函数又,故当时,实数的最小值是3, 故答案为:3【点睛】本题考查了三角函数的图像变换,考查
12、了学生综合分析,转化划归,数学运算能力,属于中档题16.已知正实数,满足,则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由条件可得且,则,利用重要不等式可得答案.【详解】由得又,为正实数,所以,得则当且仅当,即时取等号.故答案为:【点睛】本题考查根据条件求最值问题,考查利用重要不等式求最值,利用重要不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”,以及变形技巧,属于中档题.17.实数,当时,恒有成立,则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设,,根据题意即和同正或同负,当时,则时,所以得到,又当时,则需要当时,有,根据二次函数的性质可得到答案.【详解】设,当时,恒有成立,即和同正或同负.当时,则时,所以
13、,此时,在时,所以当时,有,又的对称轴方程为则,解得所以故答案为:【点睛】本题考查函数性质,考查恒成立问题,考查等价转化的思想和能力,属于中档题.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.已知函数(1)求的最小正周期和单调递增区间;(2)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1), (2)【解析】【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式,化简得到,利用正弦型函数的周期公式可得,令,可得的单调递增区间(2)当,利用正弦函数的图像及性质,可得分别当,时,函数取得最小值,最大值【详解】(1) 故的最小正周期 令可得 故的单调递增区间为(2)当故当时,即时,
14、 当时,即时,【点睛】本题考查了正弦型函数的图像及性质,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算能力,属于中档题19.已知数列为等差数列,是公比为2的正项等比数列,且满足,成等比数列.(1)求数列,的通项公式.(2)设数列满足:当时,当时,试求数列的前项和.【答案】(1),;(2)数列的前项和为,【解析】【分析】(1)用基本量法求得数列,的通项公式;(2)比较与的大小,得出,再分类讨论,分组求和【详解】(1)由已知,又,成等比数列.,所以,即,解得(舍去),所以,又,所以,所以,综上,;(2)经计算,时,时,用数学归纳法证明:时,时,满足,假设()时,有,则,所以时也有,综上对的所有正整数都有设
15、数列的前项和为,当时,当时,所以,【点睛】本题考查求等差数列和等比数列的通项公式,考查分类讨论分组求和,掌握等差数列和等比数列的通项公式、前项和公式是解题基础20.已知函数,当时,值域为,(1)求实数,的值.(2)记集合,若,求实数的值.【答案】(1) ,;(2) .【解析】【分析】(1)由不是最值可分析在对称轴处取得最小值,在x=2取得最大值,列方程即可求解;(2)先求出集合a,根据,可分析方程的根,即可求解.【详解】(1)由题意知,故的对称轴,所以 即 解得或 (舍去),故实数,.(2)由(1)得,因为 ,所以是不等式的解集,故是方程的根,又所以【点睛】本题主要考查二次函数在闭区间上的最值
16、及二次不等式的求解,属于基础题.21.已知数列满足:,(1)求数列的通项公式;(2)若数列的前项和为,令,求证:【答案】(1) ; (2) 证明见解析.【解析】分析】(1) 设,则,用累加法可先求出,从而得到答案.(2) 由,则,则,再用裂项相消法求和可证明.【详解】(1)因为 设,则由,则(2)由,则所以【点睛】本题考查用累加法求数列的通项公式,考查数列与不等式的证明问题,利用裂项相消法求和,考查放缩法的应用,属于中档题.22.设函数,(1)当时,求的单调区间;(2)证明:当时,函数在上恰有一个极值点;求实数的取值范围,使得对任意的,恒有成立. 注:为自然对数的底数.【答案】(1)的单调递增区间为,单调递减区间为,(2)证明见解析;.【解析】【分析】(1)求导后,由得递增区间,由得递减区间;(2)求导两次后,利用零点存在性定理和极值点的概念可证结论;当时,根据单调性可知不合题意,当时,利用的结论,可知在上的最大值为,再将恒成立转化为最大值即可解决.【详解】(1)当时,由,得,由,得,所以的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)证明:当时,令,则,因为,所以,当时,当时,所以在上单
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