反证法例题与练习

1、解析：解析：由由c=90c=90可知是直角可知是直角三角形，根据勾股定理可知三角形，根据勾股定理可知a a2 2 +b+b2 2 c c2 .2 . 如图，在如图，在abcabc中，中，ab=cab=c，bc=abc=a，ac=b,ac=b,如果如果c=90c=90，a a、b b、c c三边有三边有何关系？为什么？何关系？为什么？a ac ca ab bc c一、复习引入一、复习引入bb探究：探究：假设假设a a2 2 +b+b2 2 c c2 2，由勾股定理，由勾股定理可知三角形可知三角形abcabc是直角三角形，且是直角三角形，且c=90c=90，这与已知条件，这与已知条件c90c90矛

2、盾。假设不成立，从而说明原结论矛盾。假设不成立，从而说明原结论a a2 2 +b+b2 2 c c2 2成立。成立。a ac cb b 若将上面的条件改为若将上面的条件改为“在在abcabc中，中，ab=cab=c，bc=abc=a，ac=b,c90ac=b,c90”，请问结论，请问结论a a2 2 +b+b2 2 c c2 2成立吗？成立吗？请说明理由。请说明理由。a ab bc c 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛

3、盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法明方法叫做反证法。问题问题：发现知识：发现知识：二、探究二、探究三、应用新知三、应用新知在在abcabc中，中，abac,abac,求证：求证：b b c ca ab bc c证明：假设证明：假设，则则（）这与这与矛盾矛盾假设不成立假设不成立b b c cababacac等角对等边等角对等边已知已知abacabacb b c c小结：小结： 反证法的步骤：假设结论的反面不成立反证法的步骤：假设结论的反面不成立逻辑推理逻辑推理得出矛盾得出矛盾肯定原结论正确肯定原结论正确例例a a证明：假

4、设证明：假设a a与与b b不平行，则不平行，则可设它们相交于点可设它们相交于点a a。 那么过点那么过点a a 就有两条直就有两条直线线a a、b b与直线与直线c c平行，这与平行，这与“过直线外一点有且只有一过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾条直线与已知直线平行矛盾, ,假设不成立。假设不成立。 a/b.a/b.小结小结：根据假设推出结论除了可以与已知根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾公理矛盾 已知：如图有已知：如图有a a、b b、c c三条直线，三条直线，且且a/c,b/c.a/c,b/c.

5、求证：求证：a/ba/babc例例2 2 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于或等于6060。已知：已知：abcabc求证：求证：abcabc中至少有一个内角小于或等于中至少有一个内角小于或等于6060. .证明：假设证明：假设，则则。，即即。这与这与矛盾假设不成立矛盾假设不成立abcabc中没有一个内角小于或等于中没有一个内角小于或等于6060a60a60,b60,b60,c60,c60a+b+c60a+b+c60+60+60+60+60=180=180a+b+c180a+b+c180三角形的内角和为三角形的内角和为180180度度abcab

6、c中至少有一个内角小于或等于中至少有一个内角小于或等于6060. .点拨：至少的反面是没有！点拨：至少的反面是没有！例例3 3四、巩固新知四、巩固新知1 1、试说出下列命题的反面：、试说出下列命题的反面：（1 1）a a是实数。是实数。（2)a2)a大于大于2 2。（3 3）a a小于小于2 2。 （4 4）至少有）至少有2 2个个（5 5）最多有一个）最多有一个 （6 6）两条直线平行。）两条直线平行。2 2、用反证法证明、用反证法证明“若若a a2 2 b b2 2, ,则则a a b”b”的第一步是的第一步是。3 3、用反证法证明、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么如果一

7、个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形这个三角形不是等腰三角形”的第一步的第一步。a a不是实数不是实数a a小于或等于小于或等于a a大于或等于大于或等于没有两个没有两个一个也没有一个也没有两直线相交两直线相交假设假设a=ba=b假设这个三角形是等腰三角形假设这个三角形是等腰三角形已知：在梯形已知：在梯形abcdabcd中，中，ab/cdab/cd，cdcd求证：梯形求证：梯形abcdabcd不是等腰梯形不是等腰梯形. .证明：假设梯形证明：假设梯形abcdabcd是等腰梯形。是等腰梯形。 c=d c=d（等腰梯形同一底（等腰梯形同一底上的两内角相等）上的两内角相等） 这与已

8、知条件这与已知条件cdcd矛盾矛盾, ,假设不成立。假设不成立。梯形梯形abcdabcd不是等腰梯形不是等腰梯形. .、求证：如果一个梯形同一底上的两个内角不、求证：如果一个梯形同一底上的两个内角不相等，那么这个梯形不是等腰梯形相等，那么这个梯形不是等腰梯形。a ab bc cd d五、拓展应用五、拓展应用1 1、已知：如图，在、已知：如图，在abcabc中，中，ab=acab=ac，apbapcapbapc。求证：求证：pbpcpbpca ab bc cp p证明：假设证明：假设pb=pcpb=pc。 在在abpabp与与acpacp中中 ab=ac(ab=ac(已知）已知） ap=apap

9、=ap（公共边）（公共边） pb=pcpb=pc（已知）（已知） abpabpacpacp（s.s.s)s.s.s) apb=apc( apb=apc(全等三角形对应边全等三角形对应边相等）相等） 这与已知条件这与已知条件apbapcapbapc矛盾，矛盾，假设不成立假设不成立. . pbpc pbpc 1否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是() a有一个解 b有两个解 c至少有三个解 d至少有两个解解析在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选c. 2否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为() aa、b、c都是奇数 ba、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 ca、b、c都是偶数 da、b、c中至少有两个偶数解析a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：全是奇数；有两个奇数，一个偶数；有一个奇数，两个偶数；三个偶数因为要否定，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”故应选b.解析“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数 3用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是() a假设a，b，c都是偶数 b假设a、b，c都