15定积分的概念PPT学习教案

1、会计学115定积分的概念定积分的概念abxyoix1x1 ix1 nx,1210bxxxxxxanii (1) 分割分割).,2,1(1nixxxiii 在区间在区间 ,ba等间距插等间距插 n-1 个分点，个分点，把把,ba分成分成 n 个小区间：个小区间： ).,2,1( ,1nixxii 每每 个小区间的长度个小区间的长度如图：曲边梯形如图：曲边梯形第1页/共33页abxyoi ix1x1 ix1 nx（3 3）求和：面积的近似值为）求和：面积的近似值为11()nniiiiiSsfx（2 2）近似代替：）近似代替：（以直代曲）（以直代曲）1,()iiiiixxSfxi在 每 个 小 区

2、间上 任 取 一 点（4 4）取极限，精确化：）取极限，精确化：01lim()niixiSfx 第2页/共33页 从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变速运动的路程，它们都归结为对问题的某些量进行算变速运动的路程，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似代替、求和、取极限分割、近似代替、求和、取极限”，或者说都归结为形如，或者说都归结为形如 的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由

3、此我们可以给定积分的定义。此我们可以给定积分的定义。 niixif1)(第3页/共33页设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点i （iix ），作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i 并作和并作和iinixfS )(1 ， 定义定义二、定积分的定义二、定积分的定义第4页/共33页怎

4、怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式 积分变量积分变量积分区间积分区间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎样的取法，怎样的取法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确确 定定 的的 极极 限限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)( xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和第5页/共33页1. dxxf)(与 badxxf)(的差别 dxxf)(是 )(xf的全体原函数 是函数 badxxf)(是一个和式的极限 是一个确定的常数

5、2 .当 xfini)(1的极限存在时，其极限值仅与被积函数 及积分区间 有关，而与区间 ba,的分法及 i点的取法无关。 f(x)a,b注注意意第6页/共33页3定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有 bababaduufdttfdxxf)()()(4规定： abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf注注意意第7页/共33页A.A.与区间及被积函数有关；与区间及被积函数有关；B.B.与区间无关与被积函数有关与区间无关与被积函数有关 C.C.与积分变量用何字母表示有关；与积分变量用何字母表示有关；D.D.与被积函数的形式无关与被积函数的形式无关 )(xfy 在在 ba,上连续，则

6、定积分上连续，则定积分 badxxf)(的值的值4.4. 及及x x轴所围成轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为的曲边梯形的面积，用定积分表示为 12 xy与直线与直线 3, 1xx1.1. 由曲线由曲线dxx) 1(2312 2-2-2-2,2-2,20 0A A222) 1(dxx3.3.定积分定积分练习练习223sin tdt中，积分上限是中，积分上限是 积分下限是积分下限是_ 2.2.积分区间是积分区间是 第8页/共33页, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值三、定积分的几何意义三

7、、定积分的几何意义y)(xfy axbxxoAy)(xfyaxbxAxo第9页/共33页abyx1A2A3A4A5A( )dbaf xx各部分面积的代数和各部分面积的代数和12345AAAAA第10页/共33页ab yf (x)Ox y( )yg x探究探究:根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分如何用定积分表示图中阴影部分的面积的面积?ab yf (x)Ox y1()baSfx dx( )yg x12( )( )bbaaS S Sf xdxg xdx 2( )baSg x dx第11页/共33页bababadxxgdxxfxgxf)()()()(（差）分等于它

8、们定积分的和函数的和（差）的定积性质性质2 2：被积函数的常数因子可以提到积分号外被积函数的常数因子可以提到积分号外为常数）， kdxxfkkf(x)dxbaba()(四、定积分的基本性质四、定积分的基本性质第12页/共33页badxxf)(abdxxf)(0 0f f( (x x) )d dx xa aa a当当a=ba=b时时性质性质4 4：（积分的可加性）：（积分的可加性）bacabcdxxfdxxfdxxfc)()()(，则一定有对任意的第13页/共33页 性质性质 4 不论不论a，b，c的相对位置如何都有的相对位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)

9、dx。 f (x)dx caf (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 cOx ybaf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 第14页/共33页分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限 小小 结结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：定积分的几何意义：定积分的几何意义：第15页/共33页练练 习习 题题 niiixf10)(lim 被积函数被积函数 围成的各个部分面积的代数和围成的各

10、个部分面积的代数和 积分变量积分变量 积分区间积分区间 badx第16页/共33页练练 习习 题题 1 -15A 2 0cos dx x20(1)cos dx x 如何表述定积分的几何意义？根据几何意义推出定积分的值如何表述定积分的几何意义？根据几何意义推出定积分的值： 11(2)dx x 4A 3A23453535()()0AAAAAAA 111d221 112xxA 第17页/共33页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第18页/共33页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意

11、当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第19页/共33页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第20页/共33页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第21页/共33页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第22页/共33页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意

12、当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第23页/共33页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第24页/共33页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第25页/共33页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第26页/共33页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第27页/共33页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第28页/共33页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第29页/共33页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示