高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间几何体的表面积与体积课件 理

1、考点一几何体的表面积考点一几何体的表面积1.柱体、锥体、台体的侧面面积就是各侧面面积之和,表面积是各个面的面积之和,即侧面面积与底面面积之和.2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是展开图的面积.3.圆柱的侧面积公式是S柱侧=2rl,表面积公式是S柱=2r(r+l);圆锥的侧面积公式是S锥侧=rl,表面积公式是S锥=r(r+l);圆台的侧面积公式是S台侧=(r+r)l,表面积公式是S台=(r2+r2+rl+rl).4.半径为R的球的表面积公式为S球=4R2.知识清单考点二几何体的体积考点二几何体的体积1.长方体的体积公式是V=abc,正方体的体积公式是V=a

2、3,圆柱的体积公式是V=r2h.所有棱柱和圆柱的体积公式可以统一为V柱=Sh,其中S为底面面积,h为高.2.圆锥的体积公式是V=r2h,棱锥的体积公式是V=Sh.圆锥和棱锥的体积公式可以统一为V锥=Sh,其中S为底面面积,h为高.3.圆台的体积公式为V=(r2+rr+r2)h,棱台的体积公式为V=(S+S)h,圆台和棱台的体积公式可以统一为V台=(S+S)h,其中S、S分别为上、下底面的面积,h为高.1313131313S S13S S4.半径为R的球的体积公式为V球=R3.431.求柱、锥、台体的表面积就是求它们的侧面积和底面面积之和,对于圆柱、圆锥、圆台,已知上、下底面半径和母线长可以用表

3、面积公式直接求出,对于棱柱、棱锥、棱台可以直接根据条件求各个面的面积,然后求面积之和.2.球的表面积公式是用无限分割的极限思想推导出来的,主要是记忆、掌握公式.3.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割或补形成基本的柱、锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求几何体的表面积.几何体表面积的求解方法几何体表面积的求解方法方法1方法技巧例1(2016课标全国,9,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(B)A.18+36B.54+18C.90D.8155解析由三视图可知,该几何体的底面是边长为3的正方形,高为

4、6,侧棱长为3,则该几何体的表面积S=232+233+236=54+18.故选B.555评析本题考查了几何体的三视图和柱体的表面积,考查了空间想象能力.掌握侧面的形状是求解的关键.1.割补法求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体等(或补形成柱体、锥体等),分别求出柱体、锥体等的体积,从而得出几何体的体积.2.等体积变换法(1)利用三棱锥的“等积性”可以把任意一个面作为三棱锥的底面.(i)求体积时,可选择容易计算的方式来计算;(ii)利用“等积性”可求点到面的距离,关键是在面中选取三个点,与已知点构成三棱锥.(2)此种方法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的

5、等价转化.几何体体积的求解方法几何体体积的求解方法方法2例2(2017山西五校3月联考,10)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,高一丈,问它的体积是多少?”已知1丈为10尺,现将该楔体的三视图给出,其中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为(A)A.5000立方尺B.5500立方尺C.6000立方尺D.6500立方尺解题导引解析该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G,CD的中点H,连接FG,GH,HF,

6、则该几何体的体积为四棱锥F-GBCH与三棱柱ADE-GHF的体积之和.又可以将三棱柱ADE-GHF割补成高为EF,底面积为S=31=平方丈的一个直棱柱,故该楔体的体积V=2+231=5立方丈=5000立方尺.12323213与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径.球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”

7、“接点”)作出截面图.与球有关的表面积、体积的求解方法与球有关的表面积、体积的求解方法方法3例3(2017广东广州一模,10)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为(C)A.8B.12C.20D.24解题导引解析如图,因为四个面都是直角三角形,所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等,即PC的中点为球心O,易得2R=PC=,所以R=,球O的表面积为4R2=20,选C.20202一题多解将三棱锥P-ABC放在长方体中,如图,三棱锥P-ABC的外接球就是长方体的外接球.因为PA=AB=2,AC=4,ABC为直角三角形,所以BC=2.设外接球的半径为R,依题意可得(2R)2=22+22+(2)2=20,故R2=5,则球O的表面积为4R2=20,选C.224233方法点拨几何体的外接球问题是立体