伯努利方程的应用实际液体的流动1

1、1关于理想流体的几个概念关于理想流体的几个概念 (perfect fluid ) 1. 理想流体理想流体 理想流体理想流体 绝对不可压缩和完全没有黏性的流体。绝对不可压缩和完全没有黏性的流体。 2. 定常流动定常流动 一般情况下一般情况下,同一时刻流体各处的流速不同同一时刻流体各处的流速不同, ,但有但有些场合些场合 , 流体质点流经空间任一给定点的速度是确流体质点流经空间任一给定点的速度是确定的，且不随时间变化，定的，且不随时间变化，称为称为定常流动定常流动。例如例如, 沿沿着管道或渠道缓慢流动的水流着管道或渠道缓慢流动的水流, 在一段不长的时间在一段不长的时间内可以认为是定常流动。内可以认

2、为是定常流动。2 3. 流线流线 为了形象地描述流体的为了形象地描述流体的运动运动 , 在流体中画一系列在流体中画一系列曲线曲线 , 每一点的切线方向每一点的切线方向与流经该点流体质点的速与流经该点流体质点的速度方向相同度方向相同,称为称为流线流线。 定常流动中的流线定常流动中的流线 不随时间变化；不随时间变化； 质点的运动轨迹；质点的运动轨迹； 任何两条流线不相交任何两条流线不相交。 4. 流管流管 流线围成的管状区域。流线围成的管状区域。3理想流体的连续性方程理想流体的连续性方程 (the equation of continuity ) v1v2s1s2对于不可压缩流体对于不可压缩流体

3、s1 v1= s2 v2 或或 s v = 恒量恒量 上式称为上式称为理想流体的连续性方程理想流体的连续性方程。在方程两边同乘以流体密度在方程两边同乘以流体密度 , 即即 s v = 恒量恒量 上式是上式是一般流体的连续性方程。一般流体的连续性方程。4伯努利伯努利(bernoulli)方程方程 v1v2s1s2s1s2h2h1pvgh122恒量恒量 上面两式都称为伯努利方程上面两式都称为伯努利方程, 它们描述了理想流它们描述了理想流体作定常流动时的基本规律。体作定常流动时的基本规律。pvghpvgh1121222212125例1、有流量为0.12m3/s的水流过如图所示的管子。a点的压强为21

4、05n/m2,a点的截面积为100cm2,b点截面积为60cm2。假设水的内摩擦可以忽略不计，求a、b点的流速和b点的压强。解：由连续性方程，得 sa va= sb vb=q得va= ？ vb=？由伯努利(bernoulli)方程 得pb=?pvghaaa122pvghbbb1226habqo 它由两个同轴细管组它由两个同轴细管组成成, 内管的开口在正前方。外内管的开口在正前方。外管的开口在管壁上管的开口在管壁上, 如图中如图中b所示。两管分别与所示。两管分别与u型管的两型管的两臂相连臂相连, 在在u型管中盛有液体型管中盛有液体(如水银如水银), 构成了一个压构成了一个压强计强计, 由由u型管

5、两臂的液面高度差型管两臂的液面高度差h确定气体的流速。确定气体的流速。 例例1 1：皮托管是测定流体流：皮托管是测定流体流速的仪器速的仪器, 常用来测定气体的常用来测定气体的流速。流速。练练 习习 题题7 解解：在：在a 处气流速率为零处气流速率为零, 在流线在流线oa上运用上运用伯努伯努利方程利方程, 得到得到pghpghvaaooo122对于流线对于流线qbpghvpghvbbbqqq121222 点点o和点和点q非常接近非常接近, 可认为各量相等。又因皮托可认为各量相等。又因皮托管一般都很细管一般都很细, 点点a与点与点b的高度相差很小的高度相差很小, ha = hb 。考虑到这些条件考

6、虑到这些条件, 得得ppvabb122vb 是待测气流的流速是待测气流的流速。8如果压强计中液体的密度为如果压强计中液体的密度为 , 则则 ppghab比较上面两式得比较上面两式得 122vghb所以所以 vghb2 这样，就可以由压强计两液面的高度差这样，就可以由压强计两液面的高度差h, 计算计算出待测气流出待测气流速率速率。 9例例2：求水从容器壁小孔中流出时的速率。：求水从容器壁小孔中流出时的速率。 解解：水从小孔中流出时的流速可：水从小孔中流出时的流速可以根据以根据伯努利方程伯努利方程求解。设水面距求解。设水面距离小孔的高度为离小孔的高度为h，abc为一条流为一条流线线(见图见图)。a

7、和和b分别是这条流线在分别是这条流线在水面和小孔处的两点水面和小孔处的两点, 在这条流线在这条流线上运用伯努利方程上运用伯努利方程, 得得pvghaaa122pvghbbb122 其中水面上点其中水面上点a和孔口处点和孔口处点b都与大气接触都与大气接触, 所以所以那里的压强都等于大气压那里的压强都等于大气压p0 。abc10 取小孔处的高度为零，则取小孔处的高度为零，则 ha = h。容器的横截面。容器的横截面比小孔的截面大得多比小孔的截面大得多, 根据连续性方程根据连续性方程, va vb ,故故认为认为va = 0。将以上条件代入上式。将以上条件代入上式, 即可求得小孔处即可求得小孔处的流

8、速为的流速为vghb2 可见可见, 小孔处水的小孔处水的流速，流速，与物体从与物体从h处自由处自由下落到小孔处的下落到小孔处的速率速率是相同的。是相同的。113.粘滞流体在半径为r的水平流管中流动，流量为q，如在半径为r/4的水平流管中流动，其流量为_。4.如图所示，在大水桶侧面开一小孔，要使流出液体的射程l最大，其孔的高度h应开在_处。lhh125.伯努力方程的适用条件是( ) 6. 注射器活塞面积为1.2cm2，注射用针头截面积为1mm2，当注射器水平放置时用4.9n的力推动活塞，使活塞移动了4cm，问水从注射器中流出所需的时间为多少？7.课本第38页,全部掌握.1314一、流体的黏性一、

9、流体的黏性 (viscosity of fluid ) 黏性黏性 作相对运动的两层流体之间的接触面上作相对运动的两层流体之间的接触面上, ,存在一对阻碍两流体层相对运动的大小相等而方存在一对阻碍两流体层相对运动的大小相等而方向相反的摩擦力向相反的摩擦力 , ,这种摩擦力称为流体的这种摩擦力称为流体的黏力黏力, , 或或内摩擦力内摩擦力。 由于黏性的存在由于黏性的存在 , 管道中流动的流体出现了分层管道中流动的流体出现了分层流动流动, 各层只作相对滑动而彼此不相混合各层只作相对滑动而彼此不相混合, 这种现象这种现象称为称为层流层流。 图示为充满两个平行板之图示为充满两个平行板之间的流体的流动。两

10、板之间间的流体的流动。两板之间各流体层的各流体层的速率梯度速率梯度的大小的大小为为 ，在此处是常量。，在此处是常量。 dzdv/yzvo黏性流体的运动黏性流体的运动 15 一般情况下一般情况下, 速率梯度的大小不是常量速率梯度的大小不是常量, z0 处速处速率梯度的大小为率梯度的大小为 ()ddvzz0 实验表明实验表明, 流体内部相邻两流体层间黏力的大小流体内部相邻两流体层间黏力的大小正比于接触面积正比于接触面积, 正比于该处速率梯度的大小，即正比于该处速率梯度的大小，即 fvzsz ()dd0 的方向如图中的箭头。的方向如图中的箭头。比例系数比例系数 称为流体的称为流体的黏黏度度, 是流体

11、黏性的量度，是流体黏性的量度，与温度有密切关系。与温度有密切关系。 fyzoz0ff16表表 1 1 几种流体的黏度几种流体的黏度 流流 体体温温 度度 / 黏黏 度度 / (10-3 pa s) 酒酒 精精 甘甘 油油 水水 银银 氧氧 氮氮 氦氦 20 20 20 15 23 23 16 830 1.55 0.0196 0.0177 0.0196表表 2 水的黏度随温度的变化水的黏度随温度的变化 温温 度度 / 0 20 40 60 80 100 / (10-3 pa s) 1.792 1.0050 0.6560 0.4688 0.3565 0.2838 17气气 体体 空空 气气 二氧化

12、碳二氧化碳 氢氢 气气 温温 度度 / 0 20 671 0 20 302 -1 20 251 / (10-6 pas) 18 18.1 42 14 14.8 27 8.3 8.8 13 表表 3 3 几种气体的黏度随温度的变化几种气体的黏度随温度的变化 影响液体和气体流动性的因素是不同的。影响液体和气体流动性的因素是不同的。 在国际单位制中黏度的单位是在国际单位制中黏度的单位是pa s (帕帕 秒秒)。黏度也。黏度也常用常用p (泊泊)作单位作单位 1 p = 0.1 pa s 18二、二、 黏性流体的运动规律黏性流体的运动规律wghvpghvp222212112121黏性流体作稳定流动时所

13、遵从的规律。黏性流体作稳定流动时所遵从的规律。 如果黏性流体沿着粗细均匀的管道作如果黏性流体沿着粗细均匀的管道作定常流动定常流动 pghpghw1122或或 whhgpp)()(212119 可见，由于可见，由于黏力黏力的存在的存在, 要流体在管道中作要流体在管道中作定常定常流动流动,须保证管道两端的须保证管道两端的压强差压强差 (p1 p2) 或保证管道或保证管道两端的两端的高度差高度差 (h1 h2) 或者或者两者两者兼而有之。兼而有之。20*三、泊肃叶定律三、泊肃叶定律 (poiseuilles law ) 黏性流体在水平放置的圆形截面的管道中作层流时黏性流体在水平放置的圆形截面的管道中

14、作层流时, 算得流量算得流量为为qpplrv8124() l 和和 r 分别是管道的长度和半径。上式称为分别是管道的长度和半径。上式称为泊肃叶定律泊肃叶定律。 流阻流阻 如果令如果令 ,那么上式可写成那么上式可写成:48rlrfffrprppq2121*四、湍流和雷诺数四、湍流和雷诺数 (turbulent flow ) 湍流湍流 流体中沿垂直于管轴方向的速度分量的流体中沿垂直于管轴方向的速度分量的不规则流动。不规则流动。 实验表明，发生湍流的临界流速与实验表明，发生湍流的临界流速与雷诺数雷诺数 re 相对应。相对应。雷诺数雷诺数 re vr22 由层流过渡到湍流的雷诺数，称为临界雷诺数由层流

15、过渡到湍流的雷诺数，称为临界雷诺数rec 。圆形管道的临界雷诺数。圆形管道的临界雷诺数rec在在1000 1500的的范围内。范围内。 当流速的值使雷诺数当流速的值使雷诺数re处于临界值处于临界值rec时，此时时，此时的流速就是的流速就是临界流速临界流速，大小为，大小为vrccre 如果流速从低于如果流速从低于vc增大到高于增大到高于vc，那么流动将，那么流动将会从会从层流层流转变为转变为湍流湍流。 23*五、斯托克斯黏性公式五、斯托克斯黏性公式 (stokes viscosity resistance formula ) 当固体物在黏性流体中作相对运动时，将受到流当固体物在黏性流体中作相对运动时，将受到流体的阻力作用。体的阻力作用。 斯托克斯黏性公式斯托克斯黏性公式 固体小球以不大的速率在流固体小球以不大的速率在流体中运动时，所受黏性阻力大小为体中运动时，所受黏性阻力大小为f = 6rv 流体黏度，流体黏度，r小球