chapter极限存在准则与两个重要极限实用PPT课件

1、 .夹逼准则夹逼准则一一 .单调有界准则单调有界准则二二 .第一重要极限第一重要极限三三 .第二重要极限第二重要极限四四第1页/共28页 .夹逼准则夹逼准则一一准则I：在给定的变化过程中，如果f(x),g(x),h(x)满足)()()()1(xhxfxg Axhxg )(lim)(lim)2(.)(lim Axf 则则Proof: .,0 xx 考虑极限过程考虑极限过程不失一般性不失一般性 ,)(lim)(lim00Axhxgxxxx , 0 ,0 0,101时时当当 xx,)( Axg有有.)( AxgA即即,0 0,202时时当当 xx,)( Axh有有第2页/共28页.)( AxhA即即

2、.,min 021 取取, 0 0时时当当 xx,)()()( AxhxfxgA有有.)( Axf即即.)(lim 0Axfxx 注意： ”“ 0 xx 极极限限过过程程为为, (0 xx或或,0 xx, x, x).等等 x准则I：满足满足如果数列如果数列nnnzyx, ), 2 , 1( )1( nzxynnnazynnnn limlim)2(.limaxnn 则则第3页/共28页).1.211(lim 1.222 nnnnnexn 求求Solution.)1211(222 nnnnn nnn22 22nn, 1lim 22 nnnn又又. 1lim22 nnn由夹逼准则得 . 1)1.2

3、11(lim222 nnnnnn第4页/共28页).1.2111(lim .1222nnnnexn 求求Solution.)12111(222nnnn nnn212 nn, 0lim 2 nnnn又又. 01lim2 nnn由夹逼准则得 . 0)1.2111(lim222 nnnnn第5页/共28页. 1lim 2. nnnex证证明明Proof. 1,1 nnn时时当当),0(1 nnnnhhna记记nnhn)1( 则则有有nnnnhhnnnh 2! 2)1(122)1(nhnn ,1202 nhn,120 nhn,12111 nhann于于是是有有, 1121lim nn而而. 1lim

4、nnn类似可证,).0( 1lim aann第6页/共28页证明证明为正整数为正整数设设, 0,. 321kaaaexk ,maxlim2121knnknnnaaaaaa Proof. ,max21kaaaa 令令nnnnknnnnakaaaa 21 anka , 1lim nnk又又,maxlim2121knnknnnaaaaaaa 第7页/共28页 .单调有界准则单调有界准则二二准则II：单调有界数列必有极限. 注意：单增数列只需上有界；单减数列只需下有界. x1x2x3x1 nxnx几何解释:AMm1x2x3xA第8页/共28页, , 0. 421aaxaxaex 证明数列证明数列设设,

5、3aaaxaaaxn 的极限存在，并求其极限.Solution. ), 2 , 1( 1 nxaxnn, 01 ax,112xaxax , 1 nnxx假设假设nnnnxxaxax 11 则则. 单增单增即即nx, 1 1 nnxx从而从而第9页/共28页, 1 nnxax又又. 12 nnxax则则nnnxxx2 nnxxa1 nnnxxxa1 1 aa1 a. 上有界上有界即即nx所以数列极限存在.,limAxnn 设设.lim)(limlim 112 nnnnnnxaxax则则, 2AaA 即即2411 aA 解得解得.2411lim axnn )(负号舍去负号舍去第10页/共28页 .

6、第一重要极限第一重要极限三三1sinlim0 xxxAC)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 x, 1coslim0 xx又又. 1sinlim0 xxx第11页/共28页注意：, 1)()(sinlim )1(0)( xxx 常用的形式是常用的形式是并以此为工具可求出相应的其它一些函数的极限.,1)()(

7、sinlim )2(0不一定成立不一定成立 xxx . 0)(不一定趋于不一定趋于因为因为x 第12页/共28页.1sinlim)3( ;cos1lim)2( ;sinlim)1(:. 5200 xxxxxexxxx 求极限求极限Solution. xxxxxxsinlimsinlim)1(00 0sinlimlim00 xxxxx220202sin2limcos1lim)2(xxxxxx 220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 21 xxxxxx11sinlim1sinlim)3( 1 第13页/共28页.1arcsinlim . 6xxexx 求极限求极限

8、Solution. ,1arcsin tx 令令. 0, tx时时则当则当ttxxtxsinlim1arcsinlim 0 . 1sinlim1sin1lim00 tttttt第14页/共28页.cos1lim. 70 xxexx 计算计算Solution. xxxx2sin2cos1 xxxxxx2sin2limcos1lim00 xxx2sin2lim0 22 xxxxxx2sin2limcos1lim00 xxx2sin2lim0 22 .cos1lim0不存在不存在xxx 第15页/共28页.sin)4(lim. 822xxxexx 计算计算Solution. xxxxxxxxx si

9、n)2)(2(limsin)4(lim222 )2(sin)4()2(lim02ttttttx 令令ttttt sin)4()2(lim0 ttttt sin)4)(2(lim0.8 第16页/共28页.sincossin1lim. 90 xxxxxexx 计算计算Solution. )cossin1(sincossin1limsincossin1lim200 xxxxxxxxxxxxxxx)cossin11sinsinsin(lim20 xxxxxxxxx . 1)sin1(lim210 xxx第17页/共28页.2tan)1(lim.101xxexx 计算计算Solution.)1(2ta

10、nlim2tan)1(lim011ttxxtxtx ttt2cotlim0 tttt2sin2coslim0 22cos2sin2lim0 tttt .2 第18页/共28页.sin114lim.1122xxxxxexx 计算计算Solution. )114(sin23lim222 xxxxxxxx原式原式)11114(sin1213lim222xxxxxxxx 1 第19页/共28页 .第二重要极限第二重要极限四四exxx )11(lim下面分三步进行讨论. (1)设x依次按自然数n变化，则函数为nnnnfx)11()( 21! 2) 1(1! 11nnnnnxn).11 ()21)(11

11、(!1)11 (! 2111nnnnnn nnnnnnn1!) 1() 1( 第20页/共28页).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显显然然 ;是是单单调调递递增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地,第21页/共28页, )2(时时x1 nxn设设,1111 nxn 于是于是,1111111nxn ,)11()11()111(1 nxnnxn11)1

12、11()111(lim)111(lim nnnnnnn而而e )11()11(lim)11(lim1nnnnnnn e .)11(limexxx 第22页/共28页, )3(时时x yyx , 则则设设yyxxyx )11(lim)11(limyyyy)1(lim yyy)111(lim )111()111(lim1 yyyye 注意：,)(11(lim )1()()(exxx 常用的形式是常用的形式是并以此为工具可求出相应的其它一些函数的极限.)1(lim,1 )2(10ezxzzz 有有令令第23页/共28页.)11(lim.12xxxex 计算计算Solution. xxx )11(1l

13、im1)11(lim xxx原式原式.1e .)12(lim.1312 xxxxex计算计算Solution. 1212)111(lim)12(lim xxxxxxx1)1(2)111(lim xxx12)1()111()111(lim xxxx12)1()111(lim)111(lim xxxxx.e2 第24页/共28页ex14. 计算.1lim22xxxx Solution.xxxxxxx 222111lim1limxxx 2111limxxxxx 11111limxxxxx 1111lim1 ee第25页/共28页ex15. 计算.coslim0 xxx Solution. xxxxxx100coslimcoslim xxx10)1(cos1lim