异面直线所成角练习.docx

1、1如图，在正方体ABCD - A1 B1C1D1 中，异面直线A1D 与 BC1 所成的角为A30B45C60D90【答案】 D【解析】试题分析：如图所示，连接B1C，则 B1C A1D，B1C BC1， A1D BC1， A1 D与 BC1 所成的角为90故选： D考点：异面直线及其所成的角2已知平行六面体ABCD- A1B1C1D1 中，底面 ABCD是边长为1 的正方形， AA1 2， A1AB A1AD120，则异面直线AC1 与 A1D 所成角的余弦值（）A6B 14C15D 103755【答案】 B【解析】试 题 分 析 ： 设 向 量 AB a, AD b, AA1c ， 则 A

2、C1a b c, AD1 b c ，AC12, A1D7 ，cosAC1 , A1DAC1 A1 D14AC1 A1 D。7考点：空间向量的集合运算及数量积运算。3正方体 ABCDA1BC1 1 D1 中， E, F ,G, H 分别是 AA1 , AB , BB1 , B1C1 的中点，则直线 EF 与 GH 所成的角是（）A30B45 C 60D 90试卷第 1 页，总 14 页【答案】 C【解析】试题分析：由三角形中位线可知EFA1B,GHBC1 ，所以异面直线所成角为A1 BC1 ，大小为 60考点：异面直线所成角4在正方体ABCD A1 BCD1中， E是B1C1的中点，则异面直线D

3、C1 与BE所成角的1 1余弦值为（）A2 5B 10C 10D 2 55555【答案】 B【解析】试题分析： 取 BC 中点 F ，连结 FD , FC1 ，则 DCF1为异面直线所成角，设边长为 2，C1 F5, DC18, DF5cosDC1F105考点：异面直线所成角5 如图，正四棱柱ABCDA B C D 中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），AA 3AB ，则异面直线AB与AD所成角的余弦值为（）DCABDCABA、 9B、 4C、 7D、 3105105【答案】 A【解析】试题分析：连结 BC，异面直线所成角为 ABC，设 AB1, 在 ABC 中 10AC2,ABBCcosABC

4、910考点：异面直线所成角6点 P 在正方形 ABCD 所在平面外， PA平面 ABCD ，PAAB ，则 PB与 AC 所成的角是A 60B 90C 45D 30【答案】 A【解析】试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2 ，试卷第 2 页，总 14 页所以 PB 与 AC 所成的角就是FEA ，由题意可知：EFAEAF2 ，所以FEA60 考点：异面直线的位置关系7如图所示， 在棱长为1 的正方体ABCDA BC D 中，M 是棱 CD 的中点，则 A1M1111与 DC 1 所成角的余弦值为（）A.22C.10106B.6D.1010【答案】 A【解析】试题分析：以D 为原

5、点，分别以DA, DC , DD1 为 x, y, z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D -xyz ， 由 棱 长 为 1 ， 则 D (0,0,0),A1(1,0,1), M (0, 1 ,0), C1(0,1,1) , 所 以2AM =(-1,10+1- 12, - 1),DC1故2= -，故选A.12= ( 0 , 1 , 1 cos =3622考点：空间向量所成角的余弦值.8在正方体ABCDA1 B1C1D1 中， E、 F 分别为 AB、 BC 中点，则异面直线EF 与AB1 所成角的余弦值为试卷第 3 页，总 14 页A3B 323【答案】 D【解析】C2D 122试题分析：联结A

6、C 、 BC1则B1 AC 即为所成的角。B1 AC 为等边三角形，所以 cos B1 ACcos6012考点：异面直线所成的角9在正方体 ABCD A B C D 中，点 P 在线段 AD 上运动，则异面直线CP 与 BA 所的 111111角的取值范围是（）PA.B.C.D.【答案】 D【解析】如图，连结CD，则异面直线CP与 BA所成的角等于 DCP，由图可知，当P 点与 A 点重合时， 3当 P 点无限接近D 点时， 趋近于 0. 由于是异面直线，故 0.选 D考点：空间几何体，异面直线所成角10如图，正方体ABCDA1 B1C1 D1 ，则下列四个命题： P 在直线 BC1 上运动时

7、，三棱锥AD1PC 的体积不变； P 在直线 BC1 上运动时，直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变； P 在直线 BC1 上运动时，二面角 P AD1 C 的大小不变； M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点，则M 点的轨迹是过D1 点的直线其中真命题的个数是试卷第 4 页，总 14 页A1B2C3D4【答案】 C【解析】试题分析： BC1 平面 AD1， BC1上任意一点到平面 AD1C的距离相等，所以体积不变，正确 P在直线 BC1上运动时，直线 AB 与平面 AD1C所成角和直线 AC1与平面 AD1C所成角不相等，所以不正确当 P在直线BC1上运动

8、时， AP 的轨迹是平面 PAD1，即二面角 P AD1 C的大小不受影响，所以正确 M 是平面 A1B1C1D1上到点 D 和 C1距离相等的点， M 点的轨迹是一条与直线 DC1平行的直线，而 DD1 D1C1，所以正确, 故答案为：C .考点：异 面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题 .11如图，正方体 ABCD-AB C D 中， AB的中点为M， DD的中点为 N，则异面直线B M与111111CN所成的角是（）A.0B.45 C.60D.90【答案】 D【解析】试题分析：解：取AA1的中点 E，连接 EN ， BE 交 B1M 于点 O，试卷第

9、5 页，总 14 页则EN /BC ，且 ENBC四边形 BCNE 是平行四边形BE / CNBOM 就是异面直线B1M 与 CN 所成的角，而 Rt BB1 M Rt ABEABEBB1 M ，BMB1AEB，BOM900 故选 D考点：异面直线所成角12如图 , 直四棱柱 ABCD -A BC D 的底面是边长为1 的正方形 , 侧棱长 AA =2 , 则11111异面直线 A1B1 与 BD1 的夹角大小等于【答案】 60【解析】试题分析：由直四棱柱 ABCD-A BCD 的底面是边长为 1 的正方形 , 侧棱长AA1= 2可11 11得 BD1 2,由 ABA1B1 知ABD1 就是异

10、面直线 A1B1 与 BD1的夹角,且cos ABD 1AB1, 所以ABD1 =60 , 即异面直线 A1B1 与 BD1 的夹角大小等于BD12试卷第 6 页，总 14 页60考点： 1 正四棱柱； 2 异面直线所成角13如果直线 AB 与平面 相交于 B，且与 内过点 B 的三条直线 BC，BD，BE所成的角相同，则直线 AB与 CD所成的角 =_.【答案】 90 0【解析】试题分析：因为，直线 AB 与平面相交于B ，且与内过点 B 的三条直线BC, BD , BE 所成的角相同，所以，直线AB 在平面内的射影应是BC, BD 夹角的平分线，同时也应是BD , BE 夹角及 BC, B

11、E 的平分线，因此，直线AB 在平面内的射影是点 B ，即 AB，而 CD，所以 AB CD ，直线 AB 与 CD 所成的角为 900考点：直线与直线、直线与平面的位置关系.14平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60，则 DB1 和 C1 A1 所成角大小为 _.6【答案】 arccos【解析】试题分析：由于DB1AB AA1AD, A1C1 AB AD， 而DB1 C1 A12 AB AA1 AD (ABAD )ABAB ADAA1ABAA1 AD AD AB2AD4，同理求22222DB1AB1AA1ADAB1AA1AD2 AB

12、1AA12AB1AD2 AA1AD=8, DB12 2 ，同理： C1A12 3，设 DB1和 C1A1 所成角大小为， 则coscosDB1 ,C1 A1DB1C1 A146，arccos6.DB1 C1 A12223 66考点： 1. 向量的加法和减法；2. 向量的数量积；3. 向量的模； 4. 异面直线所成的角；15已知四面体 ABCD 中， DADBDC3 2，且 DA , DB , DC 两两互相垂直，点 O 是ABC 的中心，将DAO 绕直线 DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与直线 BC 所成角的余弦值的最大值是_试卷第 7 页，总 14 页【答案】6 .3【解析】试题分

13、析：当 OA / BC 时，直线 DA 与直线 BC 所成角最小，对应的余弦值最大，即 cos OAD ；易知： AB AC BC 6, OA 632 3 , cos OADOA2 363DA3 2.3考点：异面直线所成的角.16如图所示，ABCDA1B1C1 D1 为正方体，给出以下五个结论： BD / 平面 CB1D1 ； AC1 平面 CB1 D1 ； AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是2 ；二面角 CB1 D1 C1 的正切值是2；过点 A1 且与异面直线AD和 CB1 均成 70角的直线有2 条其中，所有正确结论的序号为_【答案】【解析】试题分析：如下图，正方体ABCD A1

14、B1C1D1中，由于 BDB D ，由直线和平面平行的判定定理可得BD平面 CBD ，故正确1111由正方体的性质可得 B DA C，CCB D，故 B D平面 ACC A，故 B DAC11111111111111同理可得 B 1C AC1再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1平面 CB1D1 ，故正确AC1 与底面 ABCD所成角的正切值为CC112，故不正确AC22取 B D 的中点 M，则 CMC 即为二面角C B D C 的平面角， Rt CMC中， tan 1111111CMC=CC112 ，故正确1C1M22试卷第 8 页，总 14 页如下图，由于异面直线 AD与 CB1 成

15、 45的二面角，过 A1 作 MN AD、PQ CB1，设 MN与PQ确定平面 ， PA1M=45，过 A1 在面 上方作射线 A1H，则满足与MN、 PQ 成 70的射线A1H 有 4 条：满足 MA1H= PA1H=70的有一条，满足 PA1H= NA1H=70的有一条，满足 NA1 H= QA1H=70的有一条，满足 QA1H= MA1H=70的有一条故满足与 MN、PQ 成 70的直线有 4 条，故过点 A1 与异面直线 AD与 CB1 成 70角的直线有 4 条，故不正确故答案为考点：二面角的定义及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直线的判定 .17如图， 正方体

16、 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是正方形ADD1A1 和 ABCD的中心， G是 CC1的中点。设GF， C1E与 AB所成的分别为,，则【答案】2【解析】试题分析：取正方形B C CB的中点为点 O，连结 OC1 , OE , 取 BC 的中点为点 A ，连结11GH ,FH ，通过分析可知OC1 / GH , OE / FH得平面 C1EO / 平面 GFH , 设正方形边长为2，在GFH 中， GH2, FH1 ，GF3，sin21,在C1EO则, cos3中，3试卷第 9 页，总 14 页OE2, C!E6, OC1212 ，则 sin,63cos22 ,所以。632考点：

17、直线与平面所成角，面面平行问题。18如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1底面 ABC， AB BC AA1， ABC90，点 E、 F 分别是棱 AB、 BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1 的夹角是【答案】3【解析】试题分析：如图所示，建立空间直角坐标系由于AB=BC=AA1，不妨取 AB=2，则 E（ 0，1， 0）， F（ 0， 0， 1）， C （ 2， 0， 2） EF =（ 0， 1， 1）， BC1 =（ 2， 0， 2）1cos EF , BC1EF BC121 异面直线 EF 和 BC1 的夹角为故|EF | |BC1|2 823答案为:3考点：用空间向

18、量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，ACB900 , AA12, ACBC1 ，则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是_【答案】66试卷第 10 页，总 14 页【解析】试题分析：由于 AC AC11 ，所以BAC11 （或其补角）就是所求异面直线所成的角，在 BAC11 中， A1B6，AC111， BC15 ， cos BAC116156 2616考点：异面直线所成的角20 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱长均相等， BC1与 B1C 的交点为 D ，则 AD与平面 BB1C1C 所成角的大小是 _【答案】 60o【解析】

19、试题分析：如图所示取BC中点 E，连接 AE， DE，易得 AD 与平面 BB1C1C 所成角为ADE ，设正三棱柱棱长为2，则等边三角形ABC，边上的中线 AE3 ， DE1 ，直角三角形中ADE60o考点：直线与平面所成的角.21如图，直三棱柱ABC-A1B1C1 中， AB AC1， AA12， B1A1C190， D 为 BB1 的中点，则异面直线C1D与 A1C 所成角的余弦值为_ 【答案】1515【解析】试题分析：求异面直线所成的角，关键是作出这个角，一般把异面直线的一条平移后与另一条相交，得到要求的角（当然异面直线所成的角不大于90 ）本题中我们就可以把试卷第 11 页，总 14

20、 页C1 D 向下平移到过点C （实际作图时，是延长B1B到E，使 BE B1D，则有CE C D，然后在ACE 中求出ACE ，就可得出题中要求的角111考点：异面直线所成的角22四棱锥 P ABCD的所有侧棱长都为5 ，底面 ABCD是边长为 2 的正方形，则 CD与PA所成角的余弦值为.【答案】55【解析】试题分析：正方形ABCD 中， CD AB， PAB 或其补角就是异面直线CD 与PA 所成的 角， PAB中， PA=PB=5，AB=2，cos PAB= PA2AB 2PB 25455 .2PA AB2525考点： 1. 余弦定理的应用； 2.异面直线及其所成的角23如图所示，正方

21、形ABCD中， E、 F 分别是 AB、 AD的中点，将此正方形沿EF 折成直二面角后，异面直线AF 与 BE所成角的余弦值为.BEAFCD【答案】 12【解析】试题分析：过F做 FH/DC ，过 A 做AGEF ，连接 GH ，在三角形 AGH 中， AH102 3，AFH 即为异面直线 AF 与 BE 所成角 .44设正方形 ABCD 的边长为2，则在 AFH 中， AF1，FH 2，AH3 ， cos AFH11，故答案为.22考点：异面直线所成的角的计算试卷第 12 页，总 14 页ABCDABC D E为C D AE BC111111【答案】23【解析】如图，由AD BCDAE 是异面直线AE 与 BC 所成角，连结DE ，则 DE平面 CD1中DECDE平面 CD1ADDEAD平面 CD1AB设正方体 ABCDA1BC11D1 的边长