旋转模型专题

1、旋转模型专题飞等线段共点等边三角形共顶点共顶点等腰三角形二、按图形分类1、等腰三角形，2、等边三角形，3、等腰直角三角形，4、正方形三、按模型分类1、手拉手模型 2、角含半角模型 3、对角互补模型4、与勾股定理结合5 、费马点问题例题精讲一、手拉手模型1、已知：如图，点C为线段AB上一点，. =ACM CBN是等边三角形.常见结论：(1) AN 二BM(2) CD =CE(3) CF 平分.AFB(4) CDE是等边三角形.(5) Z AFM=60且保持不变2、如图，在凸四边形 ABCD 中，.BCD =30DAB =60 , AD =AB .BA求证：AC2 二CD2 BC23、已知 ABC

2、，以AC为边在 =ABC外作等腰 ACD，其中AC = AD。如图，若.DAC -2 ABC， AC -BC，四边形ABCD是平行四边形，则/ABC =如图，若.ABC =30， ACD是等边三角形，AB=3， BC =4，求BD的长； 如图，若.ACD为锐角，作AH _ BC于H，当B D4 AH B C寸， DAC=2.AB是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。、角含半角模型4、已知：如图1在Rt ABC中，.BAC =90 , AB二AC，点D、E分别为线段BC 上两动点，若.DAE =45 .探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 AEC绕

3、点A顺时针旋转90，得到:ABE，连结ED，使问题 得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条 件不变，中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明.图15、在正方形 ABCD中，点E、F分别在边BC、CD 上,且/ EAF= / CEF=45,(1) 将厶ADF绕着点A顺时针旋转90，得到 ABG，如图1，求证： AEGA AEF ;(2) 若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M,N，如图2，求证：EF2 二ME2 NF2(3) 将正方形改

4、为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系 6、在等边 ABC的两边AB, AC所在直线上分别有两点 M , N, D为ABC外一 点，且.MDN =60 , . BDC =120 , BD二CD，探究：当点M, N分别爱直线 AB, AC上移动时，BM , NC, MN之间的数量关系及 AMN的周长与等边 ABC 的周长L的关系.BDFE如图，当点 M , N在边AB, AC上，且DM=DN时，BM , NC, MN之间的数量关系式如图,当点M , N在边AB, AC上，且DM =DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;如图,

5、当点M , N分别在边AB,CA的延长线上时，若AN=x，贝UQ=（用x, L表示）图（3）图（2）图（1）三、对角互补类7、已知：.MAN , AC 平分.MAN .在图 1 中，若.MAN 二/DCB =90，证明： AB AD = JAC .在图2中，若.MAN =120 , . DCB =60，探究AB、AD、AC三者之间的数量 关系，并给出证明；在图 3 中：若 ZMAN = a （ 0。 180。），厶DCB =180。a，J则 AB + AD =AC（用含的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）N8、如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M 是正方形 ABCD的对称中心，MN交

6、AB 于 F，QM 交 AD 于 E .猜想：ME与MF的数量关系如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且.M，其它条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明.如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不 变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由.ME :MF的值（直接写出答案）如图4,若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且.M - B，AB:BC=m， 其它条件不变，求出NP.EOF =45，求11、已知 RtAABC 中，AC=BC, / C=90 D 为 AB 边的中点，/ EDF=90 / EDF绕D点旋转，它的两边分别交 A

7、C、CB （或延长线）于E、F .当/ EDF绕D点旋转到当/ EDF绕D点旋转到结论是否成立？若成立,DE丄AC于E时（如图1），易证.S应EF + S也EF = S出BCDE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述 请给予证明；若不成立，Sa defSacEF , 5a ABC又有怎四、直角三角形斜边中点9、在等腰直角ABC中，.ACB =90 , AC = BC , M是AB的中点，点P从B出发向C运动，MQ _MP交AC于点Q，试说明. ：MPQ的形状和面积将如何变化.10、等腰直角三角形 ABC，./ABC =90 ,AB=2 ,0为AC中点, BEF的周长.样的数量关系？请写

8、出你的猜想，不需证明.图1图2F五、等线段共点P是等边 ABC内部一点，PC =3PA = 4 , PB =5，求：ABC 的12、如图所示， 边长.SBPC =, SABP =SAPC =, SABC =,13、P 为等边 ABC 内一点，EAPB=113， APC =123，求证：以 AP、BP、CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数14、如图，P为正方形 ABCD内一点，FA= 1, PD = 2, PC = 3,将 PAD绕着D点按逆时针旋转90至t DCM的位置(1)求.APD的度数。(2)求正方形的边长C六、费马点问题15、阅读下列材料对于任意的AABC，若

9、三角形内或三角形上有一点 P，若PA PB PC有最小值， 则取到最小值时，点P为该三角形的费马点。 若三角形内有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点 若三角形内角均小于120，则满足条件.APB =/BPC =/APC =120时，点P既 为费马点解决问题：如图，AABC中，三个内角均小于120，分别以AB、AC为边向外作等边 ABD、 ACE，连接CD、BE交于点P，证明：点P为 ABC的费马点。（即证明.APB =/BPC =/APC =120 ）且PA PB PC =CD如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QA QC QB PA PB PC若ZABC =30 ，

10、AB =3， BC =4，直接写出 PA PB PC的最小值16、如图，四边形ABCD是正方形，；ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接AM、CM、EN .求证：.：AMBB . ：ENB当M点在何处时，AM CM的值最小；当M点在何处时，AM BM CM的值最小，并说明理由;当AM BM CM的最小值为,3 1时，求正方形的边长.17、阅读下列材料:小华遇到这样一个问题，如图1, ABC 中，/ ACB=30o, BC=6，AC=5，在厶 ABC内部有一点P，连接PA PB图1PC,求PA+PB+PC的最小值.图2AD图3小华是这样思考的：要解

11、决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分 离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线 段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法， 发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是，如图2，将 APC绕点C顺时针旋转60o，得到 EDC连接PD BE贝U BE的长即为所求.(1) 请你写出图2中，PA+P涉PC的最小值为；(2) 参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图3,菱形ABCD中，/ ABG=60o,在菱形ABCD内部有一点P,请 在图3中画出并指明长度等于PA+PBPC最小值的线段(保留画图痕迹， 画出

12、一条即可)；若中菱形 ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PBPC值最小时PB的长.七、最值问题18、已知：PA=2 , PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直 线AB的两侧.如图，当.APB =45时，求AB及PD的长；当.APB变化，且其它条件不变时，求 PD的最大值及相应.APB的大小.DPB19、如图，已知ABC是等腰直角三角形，.BAC=90,点D是BC的中点.作 正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG .试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论.将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 0，小于或 等于360。），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？ 如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.若BC =DE =2，在的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值.EBDCEBDC八、综合应用20、已知：在 Rt.SBC 中，AB 二BC，在 R1ADE 中，AD =DE，连结 EC，取 EC 的 中点M，连结DM和BM .若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM 的关系并给予证明； 如果将图中的 ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么中的 结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.