一元二次不等式解法

1、1例1若0 v av 1,则不等式(X a)(x - -) 0的解是a 1A a xa1B 一 x 或x a a1分析 比较a与-的大小后写出答案.a11解t 0 a 1,二a ，解应当在两根之间，得 a x0,即(x 3)(x + 2)0，解在“两根之外”，所以 x3 或 x 2.例 3 若 ax2 + bx 1 0 的解集为x| 1 x 3(x + 1)例5不等式1 + x 的解集为 1 x(3) (2x + 1)(x 3) 3(x2+ 2)23 2(4) 3x -3x 1 - 尹2 1(5) x - x 1 x(x -1)3分析将不等式适当化简变为ax2 + bx+ c 0( v 0)形

2、式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成).答 (1)x|x V 2 或 x 4(2)x|1A.C.x|x 0x|x 1B. x|x 1D. x|x 1-RR说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式.通分得亠 0,即 0,1 -xx -1或 x = 0分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分.11 X解不等式化为1 + x 0, x2 0,. x 10,即 x 1.选 C.说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解.x 3例6与不等式 0同解的不等式是2 xC.2 -xx -3D. (x 3)(2 x) w 0l(x - 3)(2 - x) A 0 解法一原

3、不等式的同解不等式组为lx -2 丰 0.故排除A、C、D，选B .x _3解法二 0化为 x = 3或(x 3)(2 x) 0 即 2 v x 2，则a的值为x -1 11A . avB. a 一2211C . a=D . a=22分析 可以先将不等式整理为(a7x 1 v 0,转化为x 1(a 1)x + 1(x 1) v 0,根据其解集为x|x v 1 或 x211可知 a 1 v 0,即 av 1,且一 =2, a= a-12答选C .说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧.3x 7例8解不等式-T - A 2 .x +2x -3解先将原不等式转化为3x -72A 0x 2x 3_2x

4、2 _x _1 x2 2x -320.2x x 1x2 2x -317由于2x2+x+1 =2(x + -)2 + 8 0,不等式进一步转化为同解不等式x2+ 2x 3v 0,即(x + 3)(x 1) v 0,解之得-3v xv 1.解集为x| 3vxv 1. 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题.例 9 已知集合 A = x|x 2 5x + 4 0与 B = x|x 2 2ax+ a+ 2 0，若B5 A，求a的范围.V12分析 先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关 系，结合BA，利用数形结合，建立关于a的不等式.解易得 A =x|1 x 4设 y= x2

5、 2ax+ a+ 2(*)(1) 若B= 一，则显然B A，由 V 0得 4a2 4(a+ 2)v 0,解得一1v av 2.(2) 若B工一，则抛物线(*)的图像必须具有图1 16特征:应有x|x 1 x x2 - x|1 x 042 2a - 4 + a+ 2 0解得12 a 0.不等式的解及其结构与 a相关，所以必须分类讨论.当a= 0时，原不等式化为综上所述得a的范围为-1 a 2，原不等式化为(x 2)(x -) v 0，其解aa集为2x| v XV 2;a当0v av 1时，因2v -，原不等式化为(x 2)(x -) 0,其解aa集为亠 2x|x V 2或 x -;a当a= 1时

6、，原不等式化为(x 2)2 0,其解集是x|x丰2;当a 1时，由于2 -，原不等式化为(x 2)(x -) 0,其解aa集是x|x v 或x 2. a从而可以写出不等式的解集为：a= 0 时，x|x v 2; 2av 0 时，x| v xv 2;a0 v av 1 时,亠 2 x|x v 2或x 一;a= 1 时，x|x 丰 2；且 ax2 + bx+ c 0 解为 a v x 1 时，x|x v或x 2.a说明：讨论时分类要合理，不添不漏.例11 若不等式ax2 + bx + c 0的解集为x| a v x v 3 (0 v a v 3 )，求 cx2 + bx+ av 0 的解集分析由一

7、元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集 实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的 联系考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知 av 0，根据韦达定理知：=a + 3 ,acc_ = a 3 .Q=(a + 3 ) v 0,即 aCc_ = a 3 0.La/ av 0,. b 0, cv 0.1(a亠ca1由 _ = a 3，-.=aca对 cx2 + bx + av 0化为 x2 + - x + - 0,c c11b a11由得 一, 是x2 + x + = 0两个根且 一0,a 3c ca 3ba11x2 + x + 0即 cx2 + bx

8、+ av 0的解集为x|x 或x v .cca31i cx2 + bx + a 一 或x 一. a3说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维.x例12解关于x的不等式： 1 a(a R).x -1分析 将一边化为零后，对参数进行讨论.解 原不等式变为 (1 a) 0,即 坐a 0,x -1x -1进一步化为(ax+ 1 a)(x 1) 0时，不等式化为(x 口)& 1) 0,易见 电11 1,所以不等式解集为 x|- 1 x aaa 1；(2) a= 0时，不等式化为x 1 0,即x 1,所以不等式解集为x|x 1;a 1a 1(3) a 0，易见 1,所以aa不等式解集为x|x 厂1.a综上所述，原不等式解集为：a 一 1当 a 0时，x|x 1；当 a= 0时，x|x 1；当 aaa -1或x4的解集是 .分析 可转化为(1)x2 3x 4或(2)x2 3x 4两个一元二次不等式.由可解得x 4 , (2) 一.答填x|x 4.例 14(1998 年上海高考题)设全集 U = R ,A = x|x 2 5x 6 0 ,B = x|x5| 0得xv 1或x 6，即A = x|x v 1 或 x6由 |x 5|v