2021年人教版高中数学选择性必修第一册课时学案第2章《微专题3 与圆有关的最值问题》(含解析)_第1页
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1、微专题3与圆有关的最值问题在某些题目中，已知所求代数式的结构特征具有明显的几何意义，可以和直线方程、圆的方程相联系，我们可以利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题一、定点到圆上动点距离例1(1)已知x，yR，且圆C：(x1)2(y2)24，求(x2)2(y2)2的最大值与最小值解因为(x1)2(y2)24表示以C(1，2)为圆心，半径r2的圆，所以表示圆上的动点M(x，y)与定点A(2,2)的距离(如图)连接AC，直线AC与圆C交于A1，A2.则当M位于A2位置时，取得最大值，为|AC|r27.当M位于A1位置时，取得最小值，为|AC|r23.即(x2)2(y2

2、)2的最大值为49，最小值为9.(2) 已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(0，1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d|PA|2|PB|2，求d的最大值及最小值解设P(x，y)，则d|PA|2|PB|22(x2y2)2.|CO|2324225，(51)2x2y2(51)2.即16x2y236.d的最小值为216234.最大值为236274.反思感悟(1)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值二、可转化为点到直线的距离问题例2(1)已知x

3、，y满足x2y50，则(x1)2(y1)2的最小值为_答案解析(x1)2(y1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方由已知可得点P在直线l：x2y50上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d，所以(x1)2(y1)2的最小值为d2.(2)已知点P(x，y)是圆(x2)2y21上任意一点，求点P到直线3x4y120的距离的最大值和最小值解圆心C(2,0)到直线3x4y120的距离d，大于半径r1，故P点到直线3x4y120的距离的最大值为dr，最小值为dr.反思感悟圆上动点到定直线距离的最值可以先计算圆心到直线的距离，然后利用数形结合确定距离的最值三、与斜率、截距有关的最值问题例3已知圆C：(x2)2y21，P(x，y)为圆C上任一点(1)求的最大值与最小值；(2)求x2y的最大值与最小值解(1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，令k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率对上式整理得kxyk20，1，k.故的最大值是，最小值是.(2)令ux2y，则ux2y可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得依题意，得1，解得u2，故x2y的最大值是2，最小值是2.反思感悟 (1)形如u形式的最值问题，可转

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