不定积分换元法例题

1、【第一换元法例题】(5x 7)9dx(5x 7)9 dx (5x1(5x 7)9d (5x 7)51 1 (5x5 10【注】(5x 7)5, d(5x7)5dx,7)9 d(5x 7)1 (5x 7)9557)10 C (5x 7)10 C501d(5x5d(5x 7)In x , dxxIn x d In x1Inx dxx1 W x)2In xdx7)【注】(Inx)-xd(ln x)1(l nx)2dx,x丄dxxd(l n x)tan xdx沁dxcosxsin xdxd cosxd cosxcosxcosxcosx【注】【注】【注】【注】d cosxcosx(cosx)cot xd

2、xd sin xsin x(sin x)In |cosx |C In|cosx| Csinx, d (cosx)sin xdx, sin xdx d(cos x)cosx, cosxdx dsinx dxsinxsi nxsinxIn |sin x | C In | sin x| Ccosx, d (sin x) cosxdx,cosxdx d (sin x)-dxa xd(a a x(a x)1,dxx ad(xx a(x a)1,dx a xx) In |ad (ax)x| Cdx,dxd(a x)In |a x| Cdx d (ad(x a)x)a) In |xd (x a)a|dx,I

3、n | x a |dx d (xa)4556677889(1) secxdxsecx(secx tan x), dx secx tan xsec2 x secxtanx ,dx secx tan x111111 11(3) x22dxdxdxdxx axa2ax axa2a x ax a1 , ,1 ,xaIn | x a |In |x a |CInC2a2axad(tanx secx)d(tanx secx) ln|secx tanx| Csecx tanxsecx tanx(2) secxdxdxcosxcosx ,2 dx cos xcosx dx2cos xd sin x1 sin2x

4、d sin x11 sin2x21 1sin x 1 sin x 11dsinx In2 sin x 1sin x 11sin x1sin x1 ln2C(1) cscxdxcscx(cscx cot x), dx cscx cot xcsc2 x cscx cot x , dx csc x cot x(2)(2)d( cotx cscx)cscx cotxd(cscx cotx)cscx cot xIn | cscx cotx| Ccscxdxcscx(cscx cot x),dxcscxcot xcsc2 x cscxcot x ,dxcscx cot xd( cotx cscx)(1)d

5、xrx2=dx2x(1)-dx1 xdx1 x2d(cscx cotx)In | cscx cotx| cscx cot xarcs in x Cdx_a2=x2arctanx Carcsin - C a(2)1 亠dxdx122 dx222a xax2彳 x a 1 一aad x a1d x a1xarctan C , ( a 0)221 xa1 xaaaa(1) sin3 xcos5 xdx sin2xcos5 x sinxdx sin2 xcos5 x d cosx(1 cos2 x) cos x d cosx(cos7 x cos x) d cosx8cos x86cos x6359

6、(2) sin xcos xdx3434sin xcos x cosxdx sin xcos x dsinxsin3 x(1 sin2 x)2 d sin x.4z . 35.7sin X(sin x 2sin x sin x) d sin x4.6sin x310 (1)10 (2)dxxln xdxxln2 x1ln x1 dx1ln x1ln xd InxIn Inxln1 dxxd In x ln2x丁 d l n x ln2x1ln x11 (1)dx2x4 2x222arcta n(x 1)12、xdx12xdx1dx21d(x21)x4 2x252x4 2x2 52x4 2x25

7、24 (x21)22xdxx4 2x222xdxx4 2x22d(x21)1 (x21)211 (2)1d(x2 1)2d 2x_x21 2x2 1-arctang42sin、xdxdxsin 依dx2依2 sin x d x 2cos x C2cos . x C5)13、2x12x1e dxe d2x -e2xd2x1e2xC2 2214、sin3 x cos xdx sin3x cos xdxsin3 x d sin x3sin x d si n x4sin x C415、(2x 5)100 dx(2x1005) dx(2x 5)100 1d(2x15)(2x5)100 d(2x221 1

8、(2x 5)100d(2x 5) 2 101(2x5)101 C疵(2x 5)10116、xsinx2dxsinx2 xdx1 .sin2x2sinx2dx21 cosx2 C217、ln xx、1 ln=dxxln x,1 ln x1 dxxln x.1 ln x(1lnx) 1 dln ln x18、19、20、21、1 ln x1(1d(1 Inx)3ln x)2arctanx冷dx/?dx_1_2 1 x21d l n x、1 lnx1.1 ln x12(1 ln x)2 Cd(1 In x)arcta nx ed(1sin x ,.3 dxcos3 x2 dx xarctanx ed

9、 arctan xarcta nx ed arctan xarcta n xe1 x2xdx2.1dx2、1d(1x2)x2)1 x2cos3 xsin xdxcosdexcosx32cos 2xd cosx12cos 2 x Cex) ln(2 ex) Cln2x1dxxln2 xln2 x112222、23、dx1 2x x2dx2 (1 x)2d(1 x)2 (1 x)2d(1 x).(2)2(1 x)21 x24、dxx2 x 2dx(xd(x 2)(x 1)2 (；)22.7arcta nd(x ；) (x y1x2电2sin xcosxa2(xd(x1)2 (27)22x 1 c

10、arctanC【分析】因为：2 2 2 2 2 2 2 2(a sin x b cos x) a 2sin xcosx b 2cos x( sin x) 2(a b )sin xcosx所以：2 2 2 2 2 2d(a sin x b cos x) 2(a b )sin xcosxdx25、计算2 222a sin x b cos xdx,bsin xcosxdxx)12(a2d (a2 sin2 x b2 cos2【解答】sin xcosx2222 dxa sin x b cos xb2)sin xcosxdx2.2a sin xb2 cos2 x1a2 b22 2 2 2 、d(a si

11、n x b cos x)2 a2sin2x b2cos2x1d(a2sin2x b2cos x)a b 2 a2sin2x b2 cos x2 2 2 2a sin x b cos x【不定积分的第二类换元法】已知 f (t)dtF(t) C求 g(x)dxg( (t)d (t)g( (t) (t)dt【做变换，令x(t)，再求微分】f (t)dt F(t) C【求积分】F( 1(x) C【变量还原，t1(x)】【第二换元法例题】sin、x令x tx t2迥dt2sint2tdt2si ntdtx变量还原2cost C2cos x Ct Jxdx1 x ln|1 ，x|t x2 (2)令 1+

12、 x t2x (t 1)1 d(t 1)11 2(t 1)dt2 dt 211 - dtt变量还原2 t ln|t| C2 1.x ln|1 、x| Ct 1 sx3、3 令 1 4x t34x (t 1)1 (t3 1)4t d(t31)41(t3 1)2t 4(t31)3 3t2dtdx令6x t1dt61t21厂 6t5dt62dt 6 12 dt(1 t2)t31 t21 t26、(1:x) ； xX t6(1 t2)t36(tarcta nt)变量还原6C 66(t xarcta n6x)C【注】被积函数中出现了两个根式m , n k f x, x时，可令i xt，其中k为m, n的

13、最小公倍数。12 (t6 t3)dt12t7t44、dx x)令x tx t212-t(1 t)dt22tdt 2dtt(1 t )1 t变量还原2arcta nt Ct ；x2arctan、x Cdx令ex tx In t11 111 1d lntdtdtdt1 t1 t tt(1 t)t 1 t变量还原In |t| In |1 11 CInCt exIn1exdx令3x 2 tx t3 2Lt1 t32t ln|1t|变量还原2ln|17（ 2）t21dt2t 2ln|t1| ln|t2 1| Ct1 x 令x t1 x o1|ln|U 1|x【注】被积函数中含有简单根式/axn ax b

14、cx时，可令这个简单根式为t，即可消去根式。8(1)dxx (1令1 txx2)1t8d1t1 1t2上dt1 t2t6 t4t2arcta n t变量还原C17x715x513x31 arcta n Cxin x(x in x)2In变量还原dxtin - td1tin1 tin1 tt!dt比dttinttint 2(1lnt)dt1 tint 2d(1tint)1 tint11 11 -in- x x【注】当被积函数中分母的次数较高时,1 sinx , dx cosx)sinx(1变量还原tan2 xx in x可以试一试倒变换。令tan t2x 2arctantt21 z1 t2Z(1

15、1 t2d2arctant22t1 t22dt1 t22in|tan2|【注】对三角函数有理式的被积函数，可以用万能公式变换，化为有理分式函数的积分问题。2令 x asint,|10(1) a2 x2 dxt arcsin x a:222丄 a a sin t22dasint a cos tdt10(2)10dxasi nt,|t| 2das int-2x.x arcsinadta sin t变量还原Ct.x arcsinaarcs in仝 C adodt2变量还原xt arcs in adxa2变量还原t arctarL a因为:所以:即:(3)2(1cos2t)dtsin2ta xarcs

16、in2x2 C令x atart,|t| 2datantarctaa.a2 a2tan tseCdtln| seC tant|ln|-a2 2-| C ln|x.a2x21(xa2 x2)2 a2x2(x a2x2)dx_dxx2=变量还原x a sectx22 a2x2dx、a2x2dxa2 x2dx令x asec , txIn | - a(x 、a2 x22daseCta2seCtC In | x因为：(x x2 a2)2 x2 a2)dxdx2xInseCtdt- x2a212 a|x2x2 | CIn | sect tant | C 2所以： (x x2 a2)dx 2 x2 a2dx dx2 2 x a即:a2dx(x x2【注】当被积函数中出现 .a2 x2a2 x2,. x2 a2因子时，可以用三角变换，化为三角函数的积分问题。C(x) (C%100，产量为1个单位时，成本为xx【附加】【应用题】已知生产x单位的某种产品，边际单位成本是102，又知边际收益为 R(x)120.1x，且R(0)0， 求：(1 )利润函数L(x)；(2 )利润最大时的产量；