数值计算方法试题和答案解析

1、WORD格式整理专业知识分享数值计算方法试题一一、 填空题(每空1分，共17分)31、如果用二分法求方程x x4=0在区间1,2内的根精确到三位小 数，需对分()次。2迭代格式Xk1二Xk *(Xk -2)局部收敛的充分条件是取值在 )。X3 S(x)二 132(X -1) a(x -1) b(x -1) c 1 _ X _ 3已知23、则a=( )，b=( )，c=(4、 loglx)，1的是以整数点X为节点的 函数，则n l k ( X):2 (n_42n Xkl j (Xk)： k=0(是三次样条函数,)。Lagrange插值基, 当n_2时(Xk Xk 3)lk(x)二 k (5、 设

2、 f (x) =6x7 - 2x4 3x2 1 和 丫 f0 =) 。和节点 Xk = k/2, k = 0,1,2/ ,则 fXo,Xi/ ,Xn=6、 5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为。7、U(x)仁是区间叩上权函数(x)=x的最高项系数为1的正交多项1式族，其中 0(X)，则 0X 4(x)dx=。 _ ax2 = d8给定方程组厂aX1+X2二6，a为实数，当a满足，且0 ： 2时，SORt代法收敛。y丄 f (x, y)9 、 解初值问题y(X0y0的改进欧拉法yn* =yn +hf (Xn, yn)Jhjyn+ =y- f(Xn,yn)

3、 + f(Xn + ,yn)2是阶方法。j 0 aA= 0 1 a10、设 V a ，当（）时，必有分解式a=LLt ,其中L为下三角阵，当其对角线元素lii （i二1,2,3）满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分）（k 卅） f （k）1、解方程组Ax二b的简单迭代格式x二Bx g收敛的充要条件是(B)1n一（n）( )。b f (x)dx 賂(ba)E C(n) f (xi)i =0(n)(1) (A,(2)(B)：1,(3)2、在牛顿-柯特斯求积公式：7中，当系数Ci是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ 时的牛顿-柯特斯求积公式不使用4、若用二阶中点

4、公式h川 Tn hf(xn ?,*（Xn,yn）亠、，亠、心 求解初值问题（1） n-8，（2）n-7，（3）n-10，（4）n-6，3、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次； （4）五次2y, y（0），试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（ ）。（1）0ch 兰 2,（2）0 兰h 兰2,（3）0vhc2,（4）0 兰 hc22三、1、（8分）用最小二乘法求形如y=a bx的经验公式拟合以下数 据：Xi19253038yi19.032.349.073.312、（ 15分）用

5、n =8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算Le dx 时，（1）（1）试用余项估计其误差。（2）用n二8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、( 15 分)3方程x x1在x“.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式1 + -(1)X =3 X 1对应迭代格式Xn 3- Xn 1 ；X 戸3Xn ；( 3)X =X3 -1对应迭代格式Xn1 =Xn 一1。判 X。=1-5的收敛性，选一种收敛格式计算Xxn卅=对应迭代格式断迭代格式在X0 =1-5的收敛性，选一种收敛格式计算X=1.5附近的根， 精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffe

6、nsen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、( 8 分)431f24 134-1f =30.一1 4 一1 :-24JA 二已知方程组AX = f，其中(1)(1)量形式。(2) ( 2)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR代法。y(01用改进的欧取步长h=0.1，求解初值问题五、1、( 15 分)拉法求y(0-1)的值；用经典的四阶龙格一库塔法求y(0-1)的值2、(8分)求一次数不高于4次的多项式P(x)使它满足P(X0)=f(X0) p(X1)=f(X1) pF(X0)=(X0) P(X1)= f

7、&1) p(X2)=f(X2)5555六、(下列2题任选一题，4分)1、1、数值积分公式形如1.xf(x)dx ： S(x)二 Af(0)Bf(1) Cf (0) Df (1)(1)( 1)试确定参数A，B，C，D使公式代数精度尽量高；1(2)设 f(X)C40,1，推导余项公式 R(x)二.0Xf(x)dx-S(x)， 并估计误差。2、2、用二步法yn 1=.yn ：皿4 h千(Xn, yn) (1 -耳 f (Xnv, yn4)y= f (x,y)Mxo) =y时，如何选择参数G0，S日使方求解常微分方程的初值问题法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。0 1,数值计算方

8、法试题二一、判断题：(共16分，每小题2分)1、若A是n n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵 L和上三角阵 U，使A = LU唯一成立。()2、当n-8时，Newton cotes型求积公式会产生数值不稳定性。( )bnf (x)dx ： y Ai f (Xi)3、形如心的咼斯(Gauss)型求积公式具有最咼代数精确度的次数为2n 1()1 01 11 2a2I。4、矩阵名:00(用:)5、设6、8、设Rn n(区间(对矩阵(24-2的2 范数A 2 =9,则对任意实数a = 0 ,方程组Ax二b都是病态的。( )Q只门门，且有QTQ“(单位阵)，则有A2二QA2)a，b】上关于权函数W(x)

9、的直交多项式是存在的，且唯 )A作如下的Doolittle3、7512-10 2I0 I 01o分解:3、16丿，则a，b的值分别为a=2, b = 2。)(共 20分，每小题2 分)(二、填空题：1、设 f(x)=9x8+3x4+21x2+10，则均差018019 ,f2 ,2 ,2 =f3 ,3 ,3 =Op a,bi为 f(x)的f(xk)? 2、设函数f(x)于区间ZbI上有足够阶连续导数,Xk+1=Xkm 一个m重零点，Newton迭代公式f (xk)的收敛阶至少是阶。3、区间a,b 上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到的连续导数。-24、向量x =(1,-2),矩阵31丿

10、，则|AXL =con d(A) =? ?15、为使两点的数值求积公式：_if(x)dx f(Xo厂f(xi)具有最高的代数精确度，则其求积基点应为 为二，X2二。6、设AerE，A=A，则P(A)(谱半径)A2。(此处填小于、大于、等于)I。17、设_4三、简答题：(9分)1、1、 方程x=4-2X在区间1,2 内有唯一根x，若用迭代公式：Xk1 in(4-xk)/ln2 (k2,)，则其产生的序列 是否收敛于 x* ?说明理由。2、 2、使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？3、3、设x =0.001，试选择较好的算法计算函数值f(x)=1 -cosx2x四、(10分

11、)已知数值积分公式为:h_ 2f(x)dx ： f(0)f(h)f (0) - f (h)试确定积分公式中的参2数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、(8分)已知求 a(a 0)的迭代公式为：1 aXk1 二(Xk 旦)X。0 k = 0,1,22 Xk证明：对一切k g , Xk - a，且序列心是单调递减的， 从而迭代过程收敛。33! f(x)dx 吒一f(1) + f (2)六、(9分)数值求积公式02是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、(9分)设线性代数方程组 从“中系数矩阵A非奇异，X为精确解，b = 0，若向量X是AX = b的一个近似解，残向量r

12、 = b - AX，X -X兰 cond(A)U证明估计式：11 x II恻（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。八、（10分）设函数f（x）在区间0，31上具有四阶连续导数，试求满足F列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式H（x），并导出其余项i012xi012f (Xi )-113f(Xi)3九、（9分）设.n（x）是区间a，b上关于权函数w（x）的直交多项式序 列，Xi（i “2，n,n 1）为n i（x）:的零点，li（x）（i =1,2,，n,n 1）是以仪昇为基点的拉格朗日（Lagrange）插值基函数,n -1f(x)w(x)dx二 Akf(xJkV为高斯型求积公式,证明:(1)

13、(2)(3)(1)当 0 空 k, j 空 n,k = j 时，f lk(x)lj(x)w(x)dx=O (kH j)an 1b 2bi i lk(x)w(x)dx w(x)dxaak 二n 1Aik(Xi) (Xi)二 0i=1十、（选做题8分）若 f(x) 1(X)=(X X)(X X1) (X Xn)Xi (i =0,1, n)互异，求fX,X1,Xp的值，其中P T数值计算方法试题三一、（24分）填空题（1） （1）（2分）改变函数 f（x）x1-、x （ x 1）的形式，使计算结果较精确(2) (2分）若用二分法求方程fx=在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。(2

14、f(x )=分)设(3Sx )= * 分)设，则 f X 二2x3, 兰 x 兰 132x + ax +bx + c,沁空2是3次样条(5)(6)(8)函数，则(5)(3,_c=分）若用复化梯形公式计算超过10 ，利用余项公式估计，至少用(6)严，要求误差不个求积节点。（6分）写出求解方程组Gauss-Seidel迭代公式此迭代法是否收敛(8)A =（4分）设5 （2） （2）（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度:1xf xdx(10A =(3)(6分)用幕法求矩阵r1的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值 的距离小于0.05，取特征向

15、量的初始近似值为1，丁。(4) (4)(6分)推导求解常微分方程初值问题y X a f x, y x , a 乞 X 乞 b, y a i；二 y的形式为yii=yiJ=i,2,n的公式，使其精度尽量高，其中frfxi，xra ih,i=0,1,N,h- jb - a N(5) (5)(6 分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题V+p(x”+q(x y + r(x )=0, a Ex 兰by (a )= 0, y(b )= 0所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题三一、(24分)填空题(9) (1)(2分)改变函数f(x)八xT-.、x ( x 1)的形式，使计算结果较精确 O(10)

16、 (2)(2分)若用二分法求方程fx=在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。(11) (3)(2(12) (4)(3函数，则X1X2 丿2x3,0 兰 x E 1SX )=3 2分)设/ +ax +bx + c, 1兰X兰2是3次样条a=_ =, c= 。1 f ex dx(13) (5)(3分)若用复化梯形公式计算0，要求误差不超过10占，利用余项公式估计，至少用 个求积节点乂 +1.6x2 = 1(14)(6)(6分)写出求解方程组厂0.4X1 7 =2的Gauss-Seidel迭代公式迭 代 矩 阵此迭代法是否收敛。a 54 (15)(7)(4 分)设 4 3 ,则

17、A 厂Cond： A =(16)(8)(2 分)若用Euler 法求解初值问题_10y, y0 =1，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为二. (64 分)(8) (1)(6分)写出求方程4x = cosx 1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(9) (2)(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。分)求f x 在区间0,1上的1次最佳平方逼(10) (3)(10近多项式。js in (x)I = 分)用复化Simpson公式计算积分0 x的近似值，要求误差限为5 10。(11) (4)(10(12) (5)(10 分)

18、用Gauss列主元消去法解方程组:X +4x2 +2x3 =24 3x + x2 +5x3 = 342x +6x2 + x3 = 27-(13) (6)(8(14) (7)(81 3匸11 2=2 (2)(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式， 并求出其代数精度:0xfxd A0f i (8)(3)(6 分)用幕法求矩阵广10 r11的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值 的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为人0】（9） （4）（6分）推导求解常微分方程初值问题yx 二 f x, yx ,a_xb, ya = y的形式为yi1 U h ：0fi仁，

19、j=i,2,N的公式，使其精度尽量高，其中f-fx , xnihi=0,1,N,h 二 b -a N（10）（ 5）（6 分）求出用差分方法求解常微分方程的边值问题V+p(x ”+q(x y + r(x )= 0, a 兰 x 兰 by(a )=0, y(b )= 0所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题一答案、填空题（每空1分，共17分）2 - 21、(10 )1 )a=( 3,b= ( 3), c =4、6、Xj )x4 x23) =9454 =236.257、(、1、0 8lii 0二、选择题(2) ) 2三、1、( 8分)1252AT ACA= j92解方程组a v110）、（每题

20、2 分）、(1)3 、(1)解：门=span1,x 1 1312 382二 AT y4 、 （3）=19.032.3 49.0 73.3其中433913391 3529603at- 173.6 一79980.7 一解得:CP.92555770.0501025所以 a =0.9255577b =0.05010252、（15 分）解:RTf=b -ah2f 0)12詁8几舟01302h7T(8):f(a) 2、f(Xk)f(b)2k 41胡1 2 (.8824969 .7788008 .606530660.53526140.472366550.41686207)0.36787947= 0.6329

21、434四、1、（ 15 分）解：（1）1(2)（3）选择(x) =3x22x2J1 +丄X(1.5)(1)：XgA= 1.5X5Steffe nsen计算结果:1 -:(x) (x 1) 33(1.5)=3 1.52=1.32476x6= 0.17 : 1x1 =1.3572= 1.32472XH迭代：二 XkXg= 1.5x12、（8分）解:JacobiJ.5）W，故收敛;故收敛;1，故发散。x2 1.3309X3 = 1.3259x4 =1.3249 (xQ - xQ2(Xk)-2“Xk) Xk(3 Xk 1 - Xk)23 3 Xk 11- 23 Xk 11= 1.324899，X2 =

22、1.324718有加速效果。X1(k 1)(k制 2J(24-3x2k)41(k)(k)(30 - 3x1 X3 )4迭代法:(k 1)1(k)、X3(-24 X2 )4k =0,1,2,3Gauss-Seidel 迭代法:-0- 3401Bj - -D (L U )二XT J(243x2k)4x2k 丄(30一3才1)x3k)4x3k1)J(_24 x2k 1)4k= 0,1,2,3,-34034：(Bj)58(或严)=0.790569(kH1)“、 (k)丄 /c *c (k)、Xi=(1 (0)X4 十一(24 _3x2 )4x2k1)二(1 八)x2k)(30-3x1k1)x3k)4x

23、3k1)二(1 八)x3k)(-24 x2k 1)4k =0,123，SOF迭代法：五、1、(15分)解：改进的欧拉法：:yn* =yn +hf (Xn, yn) =0.9yn +0.1h(0)丫怙=yn + ；f(Xn, Jn) + f &行，y) = 0905丫. + 0.095 L2所以 y(0-1) - y1 -1 ；经典的四阶龙格一库塔法：yn = yn + k1 +2k2 +2k3 +k46 k f (Xn , yn )“k2 = f (Xn十2小巧匕)k3 = f(Xn + 皿 + k2)2 2、一k4 = f (Xn +h, yn +hk3)2、（8分）解：设H3（x）为满足条

24、件 插值多项式，2 2则 p（x）二 H 3（x） k（x -x） （x -X1）ki = k2 = k3 = k4 = 0 所以 y(0.1) - yi -1 H3(xJ = f(xjMJ 十J 7 的 Hermite代入条件P（X2）（X2）得:f(X2)3(X2)k22（X2 -x）（X2 _xj六、（下列2题任选一题，4分）1、解：将fgnjx3分布代入公式得:WORD格式整理3711202030206、1、专业知识分享构造Hermite插值多项式H3(x)x0 = 0, x1 =1H3(x= f(xj满足叽)=3 i其中则有:R(x)二1xH3(x)dx = S(x)11 f (4)

25、( )0xf(x) -S(x)dx = 0 丿f()4!f(x)_H3(x)=dx2(x_1)24!4!fS)()x3(x -1)2dx1320X(X-1) d“4! 60f(4)()一 14402、解:Rn,hh2=y(Xn) hy (Xn) 一 2!3!h2h3-：y(Xn) -：1(y(Xn) -hy(Xn) 万 y (Xn) -石 y (Xn)2!3!23与y (2 9%)二 y(Xn 1) -yn 1h3y (Xn) -y (Xn)-h刃(Xn) 0 -巧(y (Xn) -hy (Xn)1 Ct 0 Ct 1 = 0* % =01-玉+1-日=0所以、225h3y (Xn)主项：12

26、）3、（V ） 7、（ X ） 8、（ （共10分，每小题2分）=(1一：0 - ： 1)y(Xn)h(1 -1： 1)y (Xn)h2(2 埒1 ME % 该方法是二阶的 数值计算方法试题二答案一、判断题：（共10分，每小题2分）（X ）2、（V）3、（X）4X ）6、二、填空题：9 8!、q 2、3、4、16、905、z三、0三、简答题：（15分）1、 解：迭代函数为（X）=ln（4-x）/ln2WORD格式整理1In 21Q(x)=二辺丄|.33.h “ n 1 2 h =- - 2 12 f(x) = x 时，h 2 h h220 x dx0 h h 0 -2h二32h 3 h h31

27、22x dx0 h h 0 -3h 04212h 4h5 h 41 23 h5x dx0 h h 0 -4h ：052126 f(x) =X2 时,f(x) =X3 时,f(x) =x4 时，所以，其代数精确度为3。五、1a 1J aXk+=1(X +x五、证明：2Xk 2Xk故对一切 k=12 ,Xk- .a。k= 0,1,2生1 W(1 号)乞 * 1)=1；又Xk 2 Xk 2所以Xk八Xk ,即序列Xk 是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。六、六、解：是。因为 f(x)在基点1、2处的插值多项式为 (、x2P(x):1-23x _1f(1)f(2)2-1p(x)dx = 3f (1)

28、f (2)02。其代数精度为1。七、七、证明：由题意知：AX=b,AX二b rX -XA(X -X) = r-TAX引Al凶二1 .I AXbX -XA AJ 所以x -八、解：设 H(x) *2(x)+ax(x-1)(x-2)=8nd(碍N2(x) = f (0) f 0,1(x -0)f0,1,2(x 0)(x -1) =1 2x Z(x 0)(x -1)2所以H (x) =1 2xx(x-1) ax(x1)(x2)2()=3 得:H (x) = 1 x34一 * 3x所以令 R(x) = f(x) - H (x)，作辅助函数 g(t)= f (t)-H (t)-k(x)t2(t-1)(t

29、-2) 则g(t)在0,3上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：t = x,0,1,2反复利用罗尔定理可得：k(x) =g()= 0)2f(匕)R(x) = f(x) H(x) =k(x)x2(x 1)(x2)=)所以2X2(X _1)(x _2) 4!九、证明：形如 求积公式具有 最高代数精度 的多项式均精确成立九、bn 1 f(x)w(x)dx 送 Ak f (xQk=d的高斯(Gauss)型2n+1次，它对f(x)取所有次数不超过2n+1次1)n 1b Ai ：k(Xi)j(Xi)二 a k(x)：j(x)w(x)dx=0i 42)3)li(Xj)因为li(x)是n次多项式，且有bn +

30、1 lk(x)l j(x)w(x)dx =送 Alk(xjlj (Xi) 所以v2f (x) i (x)，代入求积公式：因为bn 12li(x)w(x)dx=：Z Ajh(Xj)2所以十、n 1 b 2n 1bZ J lk(x)w(x)dx =迟 Ak =J w(x)dx a- ak 4故结论成立。十、解：pfx,X1,Xp八f (Xi)fXo,X1,Xn 1=0pi卫一.(Xi - xj )j j出(n 1)!数值计算方法试题三答案(24(1) (2(2(6) (6(4二.(64(1) (601=0(li2f X =UxX+Jx (2) (2分)10i/2x1 2x2x2X1(3；%十)=1

31、1.6x2k)x2D=2+0.4xf 十)-9 91 (8) (2k = j)(x)是2n次多项式,分)3 -3 1 (5) (30分)h0.2分)477-1.60.64收敛1分)如=Xn 叩 COSXnn=0,1,2,1代(x =才同n(xj)对任意的初值0,1,迭代公式都收敛。1 11, 21= ：0xdx = 21f, = exp(x)dx 二 e-1f, 2 xexp(x)dx = 1广 11/2、Ie-Td/2 1/3& J 1. 1 2 12, 2 x dx =-03 _0.8731g 丿(1.690 丿 x)= 0.8731+ 1.690X（12 分）用Newton插值方法：差分表:1001211441011120.04761900.0434783-0.0000941136115 ： 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)= 10.7227555f x =3X8f (亡)R =115-100 015-121015-144|)3!1 3弓100 2 15 6 29 ： 0.001636 8(3) (10 分)设 x =C1 1 x C2 2 x =c C2x1（*2冲1 （*2屯佩2厂打冲2）丿