高等数学教学课件5.2

1、第二节定积分基本性质 第五五章 iinixf)(1211niin2(1)2n nn1001dlim()niixix xfx12nlim2(1)2n nnnix1,nii取(1,2, ),in例例1. 10d .x x解解:故将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ni( )iiiifxx1,in n被积函数连续，于是则利用定义计算定积分121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1ni10dpxxiix例例2. ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iix101dx xox1ni

2、1ni用定积分表示下列极限:定积分的性质定积分的性质(设所列定积分都存在)2.( )d( )dbbaak f xxkf xx( k 为常数)1. ( )( )d( )d( )dbbbaaaf xg xxf xxg xx证证:01lim ()()niiixifgx左端0011lim()lim()nniiiixxiifxgx= 右端性质1和性质2说明，定积分具有线性.3231123.( )d( )d( )daaaaaaf xxf xxf xx证证: 当123aaa时,因)(xf在13,a a上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 13,()iiaafx12,()iiaafx23,()iiaafx

3、0 x令31( )daaf xx 21( )daaf xx32( )daaf xx1a3a2a得2a为一个分点, 于是当三点的相对位置任意时, 等式也成立.这个性质称为区间可加性. 和面积的可加性是一致的.特别地，当1( )( )0niiiigfx时，有.0d)(xxfba证证:( )0f x ( )( ) dbaf xg xx01lim( )( )0niiiigfx4. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(根据性质1和性质2，即得结论.6.xxfbad)(xxfbad)(证证:)( xf)(xf)(xf)(ba ( ) d( )d( ) dbbbaaaf

4、 xxf xxf xx即xxfxxfbabad)(d)(由性质4，得5. 设, )(min, )(max,xfmxfmbaba则)(d)()(abmxxfabmba)(ba 证证: ( )f x m ,m根据性质4，即得.试比较积分10e dxx与10(1)dxx的大小.解：解：( )e10 (01),xfxx ( )e(1),xf xx令于是首先要确定两个被积函数在区间 上的大小.0,10,1即( )f x在上单调增加. (0)0,f所以( )0 (01),f xx即e1xx 1100e d(1)dxxxx由性质4知例例3.而例例4. 试证:.2dsin120 xxx证证: 设)(xf,si

5、nxx则在),0(2上, 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2( )1,f x(0,)2x故xxxfxd1d)(d2220002即20sin1d2xxx7. 积分中值定理积分中值定理, ,bacgf若则至少存在一点( , ),a b使证证:在区间在区间a,b上上应用柯西中值定理于以下两函数即得应用柯西中值定理于以下两函数即得xxgfxxgxfbabad)()(d)()(注：当g = 1时就是普通的积分中值定理.0d)(xxgbattgtfxfxad)()()(ttgxgxad)()(oxbay)(xfy .都成立或baba1( )d( )baf xxfba( ) , .f xa b可理解成在上的平均值故它是有限个数的平均值概念的推广.注