连续型随机变量及其概率密度

1、一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布三、小结三、小结第三节连续型随机变量及其概率密度第三节连续型随机变量及其概率密度一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质1.概率密度函数的定义概率密度函数的定义),(xFX的的分分布布函函数数如如果果对对于于随随机机变变量量存在存在),(xf非非负负函函数数有有使使对对于于任任意意实实数数 x)(xF xttfd)( ,为为连连续续型型随随机机变变量量则则称称X的的称称为为其其中中函函数数Xxf)(概率密度函数概率密度函数, 简称概率密度简称概率密度.连续型随机变量的分布函数是连续函

2、数连续型随机变量的分布函数是连续函数.2.概率密度函数的性质概率密度函数的性质;0)(1 xf;1d)(2 xxf 反之，满足（反之，满足（1 1）（）（2 2）的一个可积函数）的一个可积函数f( (x) )必是必是某连续型随机变量某连续型随机变量X X的概率密度，因此，常用这两条的概率密度，因此，常用这两条性质检验性质检验f( (x) )是否为概率密度。是否为概率密度。 几何意义：曲线几何意义：曲线y= = f( (x) )与与x 轴之间的面积等于轴之间的面积等于1 1 ),(,32121xxxx 对对于于任任意意实实数数21xXxP ;d)(21xxfxx )()(12xFxF )(aFa

3、XP ,d)(xxfa 同时得以下计算公式同时得以下计算公式1aXPaXP )(1aF xxfxxfad)(d)( .d)(xxfa 几何意义：几何意义：X X落在区间落在区间(x(x1 1，x x2 2) )的概率的概率PxPx1 1Xx0.1。 解解: (1) 由于由于 , , 解得解得k=3=3.13)(03 kdxkedxxfx于是于是X X的概率密度为的概率密度为 0003)(3xxexfx(2) 00013)()(303xxedtedttfxFxxtx310( )00 xexF xx 即即 7408. 03)(1 . 033 . 01 . 031 . 0 edxedxxfXPx）（

4、例例2 2 确定常数确定常数A，B使得函数使得函数为连续型随机变量为连续型随机变量X的分布函数的分布函数, ,并求出并求出X的概率密度的概率密度.解解: : 由分布函数的性质知由分布函数的性质知 BxFx )(lim1又由连续型随机变量的分布函数的连续性知又由连续型随机变量的分布函数的连续性知F(x)在在x=0处有处有F(0-0)=F(0),即：即：A=1-A，所以：，所以：A=1/2. 于是于是X X的分布函数为：的分布函数为：X X的概率密度为的概率密度为 1012( )( )2102xxxexf xFxeex 102( )1102xxexF xex 所以所以B=1. .-0,( )-,0

5、.xxAexF xB Aex ，二、常见连续型随机变量及其概率分布二、常见连续型随机变量及其概率分布(一一)均匀分布均匀分布具具有有概概率率密密度度若若连连续续型型随随机机变变量量 X)(xf ,1ab , bxa , 0其他其他,.),(上上服服从从均均匀匀分分布布在在则则称称baX).,(baUX记记为为概率密度函数图形概率密度函数图形xo)(xf a b ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函数分布函数xo)(xF a b 1均匀分布的意义均匀分布的意义,),(Xba变量变量上服从均匀分布的随机上服从均匀分布的随机在区间在区间.),(性性是是相相同同的的内内的的可可能能中中任

6、任意意等等长长度度的的子子区区间间落落在在区区间间baxo)(xf a bab 1 lablp l例例3 3 长途汽车起点站于每时的长途汽车起点站于每时的1010分、分、2525分、分、5555分发分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过机地到达车站，求乘客候车时间超过1010分钟的概率分钟的概率. .)(AP解：解：设设A为乘客候车时间超过为乘客候车时间超过1010分钟，分钟，X X为乘客为乘客于某时于某时X分钟到达，分钟到达，21605205(0,60).XU1510XP4525(XP6055XP例例4 4

7、 设随机变量设随机变量X 服从区间服从区间-3，6上的均匀分布，上的均匀分布，试求关于试求关于t 的方程的方程244X(X2)0tt有实根的概率有实根的概率解：解：随机变量随机变量 的概率密度为的概率密度为 1,3690,xfx 其其它它244 4 (2)0XX (1)(2)0.XX(12)PXX 242.993方程有实根，当且仅当方程有实根，当且仅当即，即，解得，解得，12.或或XX 是常数，则称是常数，则称X服从参数为服从参数为(二二) 指数分布指数分布 的的概概率率密密度度为为若若连连续续型型随随机机变变量量 X0其其中中)(xF ,1xe, 0 x, 0其他其他.().XE记作记作 ,

8、0,0,0.xexfxx 的指数分布的指数分布. 0( )01易易知知且且xf xfx dxe 随机变量随机变量X的分布函数为的分布函数为 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布寿命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景例例6 6 电子元件的寿命电子元件的寿命X(X(年）服从参数为年）服从参数为3 3的指数分布的指数分布(1)(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2 2年的概率。年的概率。(2)(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.5

9、1.5年，求它还能使用两年，求它还能使用两年的概率为多少？年的概率为多少？解解, 0003)(3xxexfx,.32) 1 (623edxeXPx65 . 135 . 33335 . 15 . 1, 5 . 35 . 1|5 . 3)2(edxedxeXPXXPXXPxx, 0, ts对对于于任任意意有有sXtsXP .tXP 指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”.该性质称为无记忆性该性质称为无记忆性.是是某某一一元元件件的的如如果果X的寿命的寿命, 那么上式表明那么上式表明:,小小时时已已知知元元件件已已使使用用 s,小小时时的的条条件件概概率率它它总总共共能能使使用

10、用至至少少ts 与从开与从开.小小时时的的概概率率相相等等使使用用始始使使用用时时算算起起它它至至少少能能t这这就是说就是说,.小小时时没没有有记记忆忆元元件件对对它它已已使使用用过过 ssXtsXP )()(sXPsXtsXP sXPtsXP )(1)(1sFtsF stsee )( te .tXP 练习练习 设打一次电话所用时间设打一次电话所用时间X （单位：分钟）是（单位：分钟）是以以1/10 为参数的指数型随机变量为参数的指数型随机变量. 如果某人刚好在如果某人刚好在你前面走进公用电话间，求你需要等待你前面走进公用电话间，求你需要等待10分钟到分钟到20分钟之间的概率分钟之间的概率解：

11、解：依题意，可知依题意，可知X 的密度函数为的密度函数为 101,0100,0 xexfxx 令令A=某人等待时间为某人等待时间为10到到20分钟分钟 ，则，则 1020P BPX201010110 xedx12ee0.2325201010 xe （三）正态分布（三）正态分布正态分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数).,(2NX记记为为的的概概率率密密度度为为若若连连续续型型随随机机变变量量 X)(xf ,e21222)(x , x,)0(,为常数为常数其中其中 的的服从参数为服从参数为则称则称X,正态分布正态分布., 0)( xf显显然然. 1)(xxfd可可以以证证明明.)(的的图图形

12、形如如图图所所示示xf性质性质:.1对称对称曲线关于曲线关于 x, 0 h这这表表明明对对于于任任意意有有 XhP .hXP 时时取取到到最最大大值值当当 x2)( f .21 ;3处处曲曲线线有有拐拐点点在在 x;4轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x,5 如果固定如果固定,的值的值改变改变 Ox则则图图形形沿沿着着轴平移轴平移, 而不改变其形状而不改变其形状, 可见正态分布的概率密可见正态分布的概率密.)(所所确确定定的的位位置置完完全全由由参参数数度度曲曲线线 xfy 称称 为位置参数为位置参数.,6当固定当固定,的大小时的大小时改变改变 图图形形的的对对)(xf称轴不变称轴不变, 而形

13、状在改变而形状在改变,越小越小图形越高越瘦图形越高越瘦,越越大大图形越矮越胖图形越矮越胖.分分布布函函数数为为)(xF texutd21222)( 正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布, 例如测例如测量误差量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常正常情况下生产的产品尺寸、情况下生产的产品尺寸、直径、直径、 长度、长度、重量高度重量高度等都近似服从正态分布等都近似服从正态分布., 0 当当.1服服从从标标准准正正态态分分布布时时称称 X ,)(),(表表示示分分别别用用其其概概率率密密度

14、度和和分分布布函函数数xx 即有即有)(x ,2122xe )(x .d2122text 标准正态分布的图形标准正态分布的图形性质性质).(1)(xx 证明证明xxxde2122 )( x xxxde2122 xxde2122 xxxde2122 ).(1x , )1 , 0( NX已已知知.225. 1 XP求求解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 . 0828. 0 例例7),(2 NX若若Z证证的的分分布布函函数数为为 XZxZP X ).1 , 0( N xXP xXP textd21222)( ,ut 令令得得则则xZP uexud2122 )(

15、x由此知由此知 XZ).1 , 0( N定理定理1正态分布的计算正态分布的计算)(xFxXP ? 原函数不是原函数不是初等函数初等函数txtde21222)( 转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算,(21xx对于任意区间对于任意区间有有21xXxP 21xXxP .12 xx例例8 8 设设X N(1.5，22)，求，求P-1X2。 解解: : 12PX 18944. 05987. 0 4931. 0 21.511.522 )25. 1()25. 0()25. 1 (1 ()25. 0( 232323XccXPcP查表得：查表得：(3-c)/2=0.43, (3-c)/2=0.

16、43, 即即c=2.14c=2.14例例9 9 设设XN(3,4)，求数，求数c c，使得，使得 PXc=2PXc. .解解: : 从而，从而，PXc=1-PXc=2PXc 因此，因此，PXc=1/3=1/3 23-1c3223 c例例10 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内容器内.,Cd调节器设定在调节器设定在)(计计以以液液体体的的温温度度CX是一个随机变量是一个随机变量,).5 . 0 ,(2dNX且且,90)1( d若若.89的的概概率率小小于于求求X(2) 若要求保持液体的温度至少若要求保持液体的温度至少,99. 080 的概率不低于的概率

17、不低于为为?至少为多少至少为多少问问d解解 (1) 所求概率为所求概率为89 XP 5 . 090895 . 090XP89 XP 5 . 090895 . 090XP 5 . 09089 )2( )2(1 9772. 01 .0228. 099. 0 80 XP 5 . 0805 . 0ddXP 5 . 0805 . 01ddXP )5 . 080(1d 即即 5 . 080d 99. 0 ),327. 2(亦即亦即5 . 080 d .327. 2故需故需d .1635.81满满足足按按题题意意需需求求 d)2(例例11 11 1 PX ）说明：说明：X N(, 2)落在落在(-3, +3

18、)内的概率为内的概率为0.9974, 这一事实称为这一事实称为“3规则规则” 。1XP (1)( 1) 2）P|X-|23）P|X-|3=2(2)-1=0.9544=2(3)-1=0.9974求求：已已知知),(2N(1)(1(1) 2 (1)1 0.6826 =20.8413-1对于标准正态随机变量对于标准正态随机变量,分分位位点点我我们们引引入入上上 的定义的定义., )1 , 0( NX设设满足条件满足条件若若 z zXP , , 10 .分位点分位点上上为标准正态分布的为标准正态分布的则称点则称点z.的的值值下下面面列列出出了了几几个个常常用用的的 z.)(1zzx图图形形的的对对称称性性知知道道由由 z001. 0005. 001. 0025. 005. 010. 0090. 3576. 2326. 2960. 1645. 1282. 1分布函数分布函数概概率率密密度度三、小结三、小结2.常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布 xttfxFd)()(. 1 连连续续型型随随机机变变量量均匀分布均匀分布正态分布正态分布指数分布指数分布 正态分布有