椭圆与标准方程

1、 自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢? 实验 如何定义椭圆?圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长 的点的集合叫圆.椭圆的定义: 平面上到两个定点f1, f2的距离的和等于常数(大于| f1f2 |)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距。 1. 改变改变f1, f2之间的距离，使其与之间的距离，使其与 相等，画出的图形还是椭相等，画出的图形还是椭圆吗？圆吗？ 2. 能小于能小于f1, f2之间的距离之间的距离吗？吗？ 12|pfpf12|pfpf 1.改变改变f1, f2之间的距离，使其与之间的距离，使其与 相等，画出

2、的图形还相等，画出的图形还是椭圆吗？是椭圆吗？2 能小于能小于f1, f2之间的距之间的距离吗？离吗？ 12|pfpf12|pfpf求动点轨迹的一般步骤。 提出了问题就要试着解决问题.怎么推导椭圆的标准方程呢？ 求动点轨迹方程的一般步骤：求动点轨迹方程的一般步骤：建系建系 设点设点 列式列式 化简化简证明证明 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案oxymf1f2原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； ( (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴直线作为坐标轴.).)(对称、

3、简洁对称、简洁)xf1f2( (x , y) )0y设p (x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距|f1f2|=2c(c0)，则f1、f2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . p与f1和f2的距离的和为固定值2a(2a2c) （问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）12|2pppfpfa222221)(| ,)(|ycxpfycxpfaycxycx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程22222222caayaxca222aac两边同除以，得：222221yxaac思考思考? ?观察右图观察右图,你能从中找出你能从中找出表示表示a,c

4、, 的线段么的线段么?22acf1f2p0 xy刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？apfpf2|21222221)(| ,)(|cyxpfcyxpf由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：由于由于oxf1f2p(0,-c)(0 , c)oxyf1f2m(-c,0)(c,0)yoxf1f2m(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 椭圆的标准方程的特点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三

5、个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个 轴上。2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点平面内到两个定点f1，f2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于f1f2）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，fcfc120,-0,，fcfc标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断 再认识！再认识！xyf1 1f2 2poxyf1 1f

6、2 2po例例1： 根据椭圆的方程填空根据椭圆的方程填空22(1)1169xy abc 则则焦焦点点坐坐标标2222(3)1(0)1xymmm abc 则则焦焦点点坐坐标标abc 则则焦焦点点坐坐标标22(2)9436xy 43(7,0),( 7,0) 732(0,5),(0, 5) 521m m(0, 1),(0,1) 122149xy例例2：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 （-2，0）和（）和（2，0），并且经过），并且经过 ， 求出椭圆的标准方程。求出椭圆的标准方程。53(,)22 221106xy答答案案: :,10|21 pfpf如图:求满足下列条件的

7、椭圆方程解：椭圆具有标准方程12222byax其中102 , 82ac因此91625222cab, 5, 4ac所求方程为192522yx例:3. 求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程8|21ff写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)4,1,abx焦点在 轴上；焦点在 轴上；(2)4,15,yab焦点在 轴上；焦点在 轴上；(3)10,2 5.abc22116xy2211516xy2213616xy2211636xy或或练习练习1已知三角形已知三角形abc的一边的一边 bc 长为长为6，周长为周长为16，求顶点，求顶点a的轨迹方程的轨迹方程练习练习2：2212516xyabc6xoy(x,y)(0)y 求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法一种方法：一种方法：二类方程二类方程:三个意识：三个意识：求美意识，求美意识， 求简意识，前瞻意识求简意识，前瞻意识22221 ,xyab0 12222babxay2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点平面内到两个定点f1，f2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于f1f2）的点的轨迹）的点