2006年高考第一轮复习数学24函数的奇偶性

1、2.4 函数的奇偶性知识梳理1. 奇函数：对于函数 f ( X)的定义域内任意一个X,都有f (- X)= f ( X)或f (X) + f ( X) =0，则称f (x)为奇函数.2. 偶函数：对于函数 f ( x)的定义域内任意一个x,都有f ( x) =f ( x)或f ( x) f ( x) =0，则称f (x)为偶函数.3. 奇、偶函数的性质(1) 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数 的必要条件是其定义域关于原点对称)(2) 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.(3) 若奇函数的定义域包含数0，则f (0) =0.(4) 奇函数的反

2、函数也为奇函数 .(5) 定义在(R， + R)上的任意函数f (x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶 函数之和.点击双基1. 下面四个结论中，正确命题的个数是偶函数的图象一定与y轴相交奇函数的图象一定通过原点偶函数的图象关于y轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x) =0 (x R)A.1B.2C.3D.4解析：不对；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是 奇函数又是偶函数的函数可以为f (x) =0x ( a，a).答案：A2. 已知函数 f (x) =ax2 + bx+ c (0)是偶函数，那么 g (x) =ax3 + bx2 + cx 是A.奇函数B.

3、偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数解析：由f (x)为偶函数，知 b=0，有g (x) =ax3 + cx (0)为奇函数.答案：A3. 若偶函数f ( X)在区间1，0上是减函数，a、B是锐角三角形的两个内角，且 a 3，则下列不等式中正确的是A. f ( COSa) f ( cos 3 )B.f ( sin a ) f ( COS 3)C.f (sin a ) f (sin 3 )D.f (cos a ) f ( sin 3 )解析：偶函数f (x)在区间1，0上是减函数， f (x)在区间0，1 上为增 函数.由a、3是锐角三角形的两个内角， a + 3 90 ， a 90 3 .1

4、 sin a cos 3 0. f (sin a ) f (cos 3 ).答案：B4. 已知f(x)= ax2 + bx+ 3a+ b是偶函数，且其定义域为a 1,2a,则a=b=.解析：定义域应关于原点对称，1故有 a 1 = 2a，得 a= -3又对于所给解析式，要使f ( x)= f (X)恒成立，应b = 0.1答案：035给定函数： y= (x丰 0); y=x2+i : y=2X: y=log2x: y=log 2 (x+x2 +1).X在这五个函数中，奇函数是，偶函数是，非奇非偶函数是答案：典例剖析【例1已知函数y=f( x)是偶函数，y=f( x 2)在0, 2上是单调减函数

5、，则A.f (0)v f ( 1)v f (2)B.f ( 1)v f ( 0)v f (2)C.f ( 1 )v f ( 2)v f (0)D.f (2)v f ( 1)v f (0)剖析：由f (x 2)在0, 2上单调递减，(3)f (x)|x 2|-2(4) f (x)x(1 x)、x(1 +x)(x 0).- f (x)在 12, 0上单调递减.T y=f (x)是偶函数， f (x)在0, 2上单调递增 又 f ( 1) =f (1),故应选 A. 答案：A【例2判断下列函数的奇偶性:(1) f (x)=|x+1| |x 1|；(2) f (x)=(x-1- 1一：；剖析：根据函数

6、奇偶性的定义进行判断解：(1)函数的定义域x(g,+8),对称于原点./ f ( x) =| x+1| | x 1| = |x 1| |x+1|= ( |x+1| |x 1|) = f (x), f (x) =|x+1| |x 1|是奇函数.1 +x(2) 先确定函数的定义域.由 0，得1 0.从而有f (x)=1-x21-x21-(-x)2T-x2=，这时有f ( x) = = f (x),故f( x)为奇函x 2 -2(4) T函数f (x)的定义域是(8,0)U( 0, + 8),并且当x0时，XV 0,/ f ( x) = ( x) 1 ( X)= x (1+x) = f (x) (x

7、0).当 xV 0 时，一x0,二 f ( x) = x (1 x) = f (x) (xv0).故函数f (x)为奇函数评述：(1)分段函数的奇偶性应分段证明(2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式【例3】(2005年北京东城区模拟题)函数 f (x)的定义域为 D=x|xm0，且满足对 于任意x2 D，有 f (X! x2) =f (xj +f (x2).(1) 求f (1)的值；(2) 判断f ( x)的奇偶性并证明；(3) 如果 f (4) =1, f (3x+1) +f ( 2x 6)w 3,且 f (x)在(0, + 8)上是增函数， 求x的取值范围.(1) 解：令 X1

8、 = x2=1，有 f ( 1 X 1) =f ( 1 ) +f ( 1 ),解得 f ( 1 ) =0.(2) 证明：令 X1=X2= 1,有 f ( 1)X( 1) =f ( 1) +f ( 1).解得 f ( 1) =0.令 x1= 1 , X2=X,有 f ( x) =f ( 1) +f ( X) , f ( x) =f ( X) f (X)为偶函数(3) 解：f (4X 4) =f (4) +f ( 4) =2 , f (16X 4) =f (16) +f (4) =3. f (3x+1 ) +f (2x 6) 3 即 f (3x+1 ) (2x 6) 0,(3x +1)(2x 6)

9、兰 64或时1)( 6)0,厂(3x+1)(2x _6)兰64,x3或 x ： -1,3一上兰x兰531cI、 _x3, 或3x R.711-3v xW 5 或w xv 或v xv 3.333711 x的取值范围为x| w xv -或一一 v xv 3或3v x 0的解集是(a2,b),g( x) 0的解集是(2),- a2,那么 f (x) g (x) 0 的解集是2 22(x)B. ( b, a2)C. (a2,)U(-2，- a2)a2D. (, b)U (2b2, a2)提示:(x) 0二心,或:g(x)0(f (x) :：: 0, g(x)：0./ xb 2、U( 2 ,a).答案:

10、【例4】(2004年天津模拟题)已知函数f (x) =x+ p+m (pz 0)x是奇函数.(1)(2)(文)若p 1,当x 1, 2时，求f (x)的最大值和最小值. 解：(1)v f (x)是奇函数，f (一 X)= f (X).求m的值.(理)当 x 1, 2时，求 f (x)的最大值和最小值.pp-x + m= x m.xx2m=0.m=0.(2)(理)(i)当pV 0时，据定义可证明f( x)在1 , 2 上为增函数. f (x) max=f (2) =2+i，f (%) min=f (1) =1 + p.(ii)当p0时，据定义可证明 f (x)在(0, p 上是减函数，在.p ,

11、+ 8)上是增函数当.p v 1，即Ov p v 1时，f (x)在1, 2上为增函数,f ( x) max：=f ( 2) =2+ , f (x) min=f ( 1 )=1 + p.2当,p 1, 2时，f (x)在1 , p上是减函数.在： p, 2 上是增函数.f ( x) min = f ()=2 p .pf (x) max=maxf (1), f (2) =max1+ p, 2+.当 1=f (2)；当 2v pw 4 时，1+p2+ , f (x)max=f ( 1).当,p 2，即p 4时，f (x)在1 , 2 上为减函数,f ( x)max=f ( 1 )=1 + p ,f

12、 ( x) min=f ( 2) =2+ -.2(文)解答略评述：f ( x) =X+P ( p 0)的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法X深化拓展f (x) =x+E的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？x闯关训练夯实基础1. 定义在区间(一8,+ 8)上的奇函数 f ( x)为增函数，偶函数g ( X)在区间:0, + 8)上的图象与f (X)的图象重合，设 av bv0，给出下列不等式，其中成立的是f(b) 1:(a)g(a) g(b)f(b) 1:(a)vg(a) g(b)f(a) 1:(b)g(b) g(a)f(a) 1:(b)vg(b) g(a)A.B

13、.C.D.解析：不妨取符合题意的函数f ( x) =x及g ( x) =|x|进行比较，或一般地g (x)f(x) xKO, =f ( 0) =0, f (a) v f (b) v 0.J(x) x 兰0,答案：D2. ( 2003年北京海淀区二模题)函数 f (x)是定义域为 R的偶函数，又是以 2为周期 的周期函数若f (x)在1 , 0上是减函数，那么 f (x)在2, 3上是A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数解析：偶函数f (x)在1, 0上是减函数， f (x)在0, 1上是增函数由周 期为2知该函数在2, 3上为增函数.答案：A13已知f (x)是奇函数，当x

14、(0, 1)时，f (x) =lg，那么当x ( 1, 0)时,1 +xf ( X)的表达式是.1解析：当 x ( 1, 0)时，一x(0, 1 ), f (x) = f ( x) = lg =lg (1 x)1 - x答案：lg (1 x)|x 2 x ： -1,4. ( 2003 年北京)函数 f (x) =lg (1+x2), g (x)=0|x|E1, h (x) =tan2x 中， x+2 x=1.是偶函数.解析：T f ( x) =lg 1+ ( x) 2 =lg ( 1+x2) =f (x), f (x)为偶函数.又/ 1 当一1 x 1 时，一1W x 1, g ( x) =

15、( x) +2=x+2.又 g (x) =x+2 , g ( x) =g (x).3 当 x 1 时，一xv 1, g (- x) = (- x) +2= x+2.又 g ( x) = x+2,. g ( x) =g (x). 综上，对任意 x R都有g ( x) =g (x) g (x)为偶函数.h ( x) =tan ( 2x) = tan2x= h (x), h (x)为奇函数.答案：f (x)、g (x)5若 f (x) = a 2 a _22x1为奇函数，求实数a的值.解： x R,要使f (x)为奇函数，必须且只需f (x) +f ( x) =0,即a2+2x 1a x=0，得21

16、6.(理)定义在2, 2上的偶函数 g (x),当x0时，g (x)单调递减, m)v g (m),求m的取值范围.解：由 g (1 m)v g ( m)及 g (x)为偶函数，可得 g (|1 m|)v g (|m|)a=1.又1 在(0, + m)上单调递减，|1 m| |m|,且 |1 m|w 2, |m| 0.(1)(2)判断f (x) 证明f (x)(1)解：f (x) = x ,其定义域为2(2x -1)xM 0的实数.又(幻一 X 2(27)12x = x.=x 2(1 _2x)= f (x),2(2x -1) f (x)为偶函数.(2)证明：由解析式易见，当x0时，有又f(x)

17、是偶函数，且当 xV 0时一x 0, 当 xv0 时 f ( x)= f ( x) 0, 即对于XM 0的任何实数X,均有f ( x) 0.f (x) 0.探究创新8.设 f (x) =log i2(1 _axx -1为奇函数,a为常数,(1) 求a的值；(2) 证明f (乂)在(1, + a)内单调递增；1(3) 若对于3, 4上的每一个x的值，不等式f (x)( ) x+m恒成立，求实数2m的取值范围.(1) 解：f (X)是奇函数， f (- x) = f (x).1 +ax1 -ax 1 +axx1222 log 1= log 1= 0= 1 a x =1 x= a= 1.检验x -1

18、2 x -1x -11 - axa=1 (舍)，二 a= 1.(2)证明：任取c222彳 2刘+1X210 0 1 + 1+ -0 x2 1 , x1 1 x2 1 0.x11X1 - 1log 1 竺一1，即 f (xj f (X2) . f (乂)在(1, +a)内单调递增2 x2 11(3) 解：f (x) (丄)xm恒成立.21令g (x) =f ( x) ( 2 ) x.只需g (x) min m,用定义可以证 g (x)在】3, 4上是99增函数， g (x) min=g (3) = - . m-时原式恒成立.88思悟小结1. 函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x在整个定义域内

19、任意取值.2. 有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性教师下载中心教学点睛1. 函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此， 在复习过程中应加强知识横向间的联系 .2. 数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法3. 在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质拓展题例ax2 +1【例1】 已知函数f (x) =(a、b、c Z)是奇函数，又f (1) =2，f (2)0，都有 f (x)v 0, f (3) = 3.(1) 试证明：函数 y=f (x)是R上的单调减函数；(2) 试证明：函数 y=f (x)是奇函数；(3)

20、试求函数 y=f (x)在m, n (m、nZ,且mnv 0)上的值域.分析：(1)可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件.(2) 可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f (0) =0后，再利用条 件f ( X什x2 ) =f ( Xj +f (X2 )中X X2的任意性，可使结论得证.(3) 由(1)的结论可知f (m)、f (n)分别是函数y=f (x)在m、n上的最大值与 最小值，故求出f (m)与f (n)就可得所求值域.(1) 证明：任取 x1 x2 R，且 x1 v x2, f (x2) =f : x1+ (x2 x1),于是由题设条件f(x+x) =f(x)+f (x)可知 f(X2)=f(X1)+f(X2 xj ./ x