《标准理念下的初中代数教与学》张维忠

1、2021-10-21标准理念下的 初中代数教与学 张维忠2021-10-21 一、算术与代数之间的联结：一、算术与代数之间的联结： 准变量表达式准变量表达式n“数与代数”（1-6年级）学段所研究的数都是算术数（非负有理数），要在短时间内，使学生建立起负数及其有关概念，进行有理数范围内的运算，不是一件很容易的事情，要做大量的工作。“数与代数”（1-6年级）学段的小学生一般都认为，等号就意味着在确信相等之前要进行计算，而且这是小学生从算术过渡到代数的障碍之一 2021-10-21“78-49+49=78” n 用“78-49+49=78”提问小学生这是不是一个真语句？这个例子所关注的数学思想已经远

2、离了（算术）计算。当然，计算很可能对学生重新确认那个数字语句的真假是有帮助的，但是，这类数字语句已经把孩子们的注意力吸引到它所蕴涵的潜在的代数结构上了。2021-10-21“78-49+49=78”n 该例所关注的既不是想要学生通过计算来证明“78-49+49=78”(尽管某些学生最初可能会通过计算来重新确认判断的正确与否)，也不是78和49这两个特殊的数。想要学生理解的是：“78-49+49=78”是这样一类典型的数字语句，即，不论减去和再加上的那个数是什么，它都是真的；而且，不论第一个数是什么，只要减去和再加上的那个数相同，结果都是一样的（比如，67-72+72=67）。有人把数字的这种运

3、用定义为“准变量（表达式）”。2021-10-21 在算术教学中可以运用准变量对小学生进行代数思维的培养，并且有可能降低他们学习代数的困难。 n 小学算术教学中已经普遍运用的“凑整十”、“整十数”和“分整数”等，尽管这些使用中蕴涵着“准变量”的可能，但是，由于我们的目的只是获得一个正确的答案，所以，在本质上这些使用并没有体现准变量的思想。2021-10-21“71-54”n 学生的算法是：“70减50等于20，4减1等于3，所以71减54等于20减3，即17”。该学生的算法恰恰体现了准变量的思想，即，其准变量表达式为：n 71-54=（70-50）-（4-1）。n（教师却武断地加以阻止）n 之

4、所以造成这类现象的主要原因是，我们的老师一般都认为，在算术的教学中，重点是要教给学生正确、基本的计算程序（或步骤）与方法，而不是灵活、丰富的数学思想。2021-10-21 准变量表达式是算术中潜在的代数性质，它在由算术思维过渡到代数思维的过程当中具有不可替代的作用和意义。 n 准变量表达式不仅可以使我们更加关注算术中的关系，而且还能为学生学习后续的代数内容建构一个强有力的桥梁；同时，它还能够加深对算术基础的理解。在小学阶段，可以而且应该为学生提供特殊的代数推理的机会，以发展他们的代数思维。 2021-10-21握手问题 n 有n个人聚会，要求每个人都要与其他人握手（一次）以示友好，请问：这n个

5、人一共握手多少次？对于小学低年级学生而言，我们不可能要求他们给出一般化的结论：n(n-1)/2 2021-10-21程序思维n 我们可以通过下面的方式来引导他们进行准变量思维（尽管我们没有使用代数符号）。首先是“角色扮演”。通过具体地扮演握手来记录：2个人握手1次，3个人握手3次，4个人握手6次，5个人握手10次，等等。这显然是程序思维。 2021-10-21关系思维n 其次是引入关系思维。通过具体地扮演握手，我们可以知道，10个人握手的总次数是：9+8+7+6+5+4+3+2+1（不要求学生计算出具体的结果！）。n现在提问：如果有15个人，那么握手的总次数是多少呢？n这一提问本身就已为学生提

6、供了一个浸润于代数思维的丰富机会。n一个可能的回答是：如果第11个人来了，那么为了和每一个人都见面，他需要握手10次，因为其他人都彼此握过手了，所以，如果第12个人来了，那么就要“再加上”11，第13个人来，“再加上”12，第14个人来，“再加上”13，第15个人来，“再加上”14。因此，15个人握手的总次数是： 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。 2021-10-21 再次是变换提问方式，进一步强化关系思维。n如果聚会的人总共握手“8+7+6+5+4+3+2+1”次（也不给出具体的结果！），请问：总共有多少人聚会？等等。这些都是发展关系思维的极好时机。 202

7、1-10-21二、抓好代数式的训练，进一步二、抓好代数式的训练，进一步提高学生抽象思维能力提高学生抽象思维能力n 学生对用字母表示的数，运用起来远不如具体的数那么顺手。譬如，练习本每本价9角，铅笔每支3角，问练习本的单价是铅笔的几倍？对这一问题，学生很少有困难。而对练习本每本a角，铅笔每支b角，问练习本的单价是铅笔的几倍？对这一问题，就有学生感到棘手了。这是因为学生认为是一个算式，而不是结果；或认为ab算不下去而无所适从。对此，学生必须经过长期训练。2021-10-21二、抓好代数式的训练，进一步二、抓好代数式的训练，进一步提高学生抽象思维能力提高学生抽象思维能力n 再如，教师可提出这样的问题

8、：偶数有什么特点，如何表示？偶数有多少个，是否能将所有的偶数都写出来？如何用一个式子来表示所有的偶数？教师启发学生根据偶数能被2整除的特点，得出偶数的表达式：2n （其中n为整数）。若令n为若干个具体的整数，便得到一个个具体的偶数，并进而说明数是式的特例。2021-10-21三、“数与代数”教学分析n1、注重培养学生的探究能力、注重培养学生的探究能力n 在“数与代数”之公式、法则、性质的学习中，没有必要让学生死记硬背公式、法则，而应当注重对公式、法则、性质的探究过程，重视对公式、法则、性质意义的领会，逐步培养学生的探究能力。2021-10-211、注重培养学生的探究能力、注重培养学生的探究能力

9、n如，标准对于乘法公式只要求会推导（a+ b）（a b）= a2 - b2； (a + b) 2 = a2 + 2ab+ b2；了解公式的几何背景, 并能进行简单计算。如此要求，旨在使学生有时间在学习过程中学会探究，通过特例，归纳出公式，再用乘法法则进行推证, 并知道怎样使用公式。这样做，一方面，力图达到学生对公式的真正理解和掌握，另一方面，即使忘记了，也可以重新推出来，并且还可以根据需要探索和推证新的公式2021-10-21如此如此“探究探究”n数学老师问：“3 4 是多少？” n学生甲：“等于7。” 老师说：“不对， 比答案小了。”n学生乙：“等于34”， 老师说：“不对， 比答案大得多了

10、。”n于是老师左手伸出一个指头，右手伸出两个指头。众学生：“答案是12！”n老师：“你们真聪明， 发现了数学真理！”2021-10-21两个课例n平方差公式的教学设计案例（第一课时：主要片断）n朱 哲,张维忠.中国古代数学思想方法在数学课 堂 教 学 中 的 渗 透 . 中 学 数 学 杂 志 ( 初中),2003(1)2021-10-212.注重通过实际情景使学生感受、体验、注重通过实际情景使学生感受、体验、理解理解“数与代数数与代数”的意义的意义n 标准中总体目标指出：经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的实际问题；经历运用数学符号和图

11、形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。（标准.第6页） 2021-10-212.注重通过实际情景使学生感受、体验、注重通过实际情景使学生感受、体验、理解理解“数与代数数与代数”的意义的意义n 标准强调：数与代数的学习内容应当是现实的、有趣的、富有挑战性的，应该通过实际情境使学生了解数与代数的意义，让学生经历探索和发现的过程，在现实背景下感受和体验有关的知识。如，在学习负数概念时，可利用游戏评分中的负分或倒扣分，引出用负数表示的必要性，并用净胜球的多少、水位的高低、温度的变化等，使学生体会到具有相反意义的量。 2021-10-212.注重通过实际情景使学生感受、体验、注重通

12、过实际情景使学生感受、体验、理解理解“数与代数数与代数”的意义的意义n 在“数与代数”（7-9年级）学段中，标准指出：“在教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程，应加强方程、不等式、函数等内容的联系，介绍有关代数内容的几何背景”。（标准.第31页）2021-10-21（标准修订稿，第55页），计算：1515，2525,，9595，并证明所显示的运算规律。n说明 可作如下计算：n1515=12100+25=225，n2525=23100+25=625， n3535=34100+25=1225。

13、n观察后，我们发现有如下的规律， n (a10+5)2=a（a+1）100+25。n但这样的猜测是正确的吗？需要给出证明：n (a10+5)2=a2100+2a105+25= a（a+1）100+25。2021-10-213.关注学生数感、符号感和估算关注学生数感、符号感和估算意识的形成意识的形成n 学生数感、符号感和估算意识的形成是一个漫长的过程，不是一朝一夕就能够完成的。培养学生数感、符号感和估算意识的过程是循序渐进的，也是一个潜移默化的过程，需要教师不厌其烦，加强训练，日积月累，逐步培养。在实际教学中，我们要结合具体的教学内容，让学生在具体的情境中去感受、感觉、感知，而不是仅靠教师的讲解

14、而获得。因此，要结合具体情境来评价学生数感、符号感和估算意识的形成，要尽可能在实际问题情境中发展学生的数感、符号感和估算意识，应尽量避免让学生机械地练习和记忆。2021-10-21“代数式代数式”概念教学的不同教学设概念教学的不同教学设计方案的比较计方案的比较n有一个发人深省的寓言故事三个馒头。有一个人肚子饿了，就吃馒头，吃了一个没有饱，就吃第二个，吃了两个还是没有饱，就吃第三个，吃下去三个肚子饱了。吃饱以后他就后悔了：早知如此，不如就吃第三个馒头了，前面两个都浪费了。有人借用这个故事来分析“代数式”概念教学的两个不同教学设计案例。2021-10-21第一种“代数式”概念的教学设计n（1）介绍

15、代数式概念直接端出第三个馒头；n（2）给出一些代数式、非代数式的例子，带领学生参照概念的定义，辨别哪些是代数式，哪些不是代数式教师示范吃第三个馒头的过程；n（3）提供若干个辨别代数式的练习，让学生仿照刚才的方法解决它们学生吃第三个馒头的过程。2021-10-21第二种“代数式”概念的教学的设计n出示下图： n按图示的方式，请问：搭1个正方形需要4根小棒，搭2个正方形需要 根小棒，搭3个正方形需要 根小棒，搭10个正方形需要 根小棒，搭100个正方形需要 根小棒；如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎样表示搭x个这样的正方形所需要的小棒的根数的呢？2021-1

16、0-21一个典型课例的分析n姚佩英，张维忠.数学教学中的“算法多样化”.中学数学月刊，2004(5) 2021-10-214.注意注意“关系关系结构结构”的教学分的教学分析析 n 研究发现，学习代数的学生很难把多重字母表达式看成是一个单位，他们无法感知代数结构，譬如4（2r+1）+7=35与4x+7=35这两个表达式的结构实际上就是一样的。 2021-10-214.注意注意“关系关系结构结构”的教学分的教学分析析n在没有解决实际问题的情况下，学生很难判断两个方程（如，x+37=150和x+37-10=150-10）是否是等价的，即它们是否有相同的解。n研究发现：12岁的学生在解释含有几个数字项

17、和一个未知数的方程时会遇到很多困难。n专家建议设计代数教学的目的主要是为了通过提供表达式的等价结构、分解和重组表达式的结构这些体验，来促进学生结构意识的发展。 2021-10-214.注意注意“关系关系结构结构”的教学分的教学分析析n对11年级的学生（17岁左右）研究发现：很少有学生使用结构意识，并且那些使用结构意识的学生也不是一致的。括号的出现似乎有助于学生观察到结构，帮助他们把注意力集中在同类项和分解较长的符号链上面。n在变换代数表达式的时候，学生并不擅长辨别结构，尤其不擅长辨别代数结构的性质。而且学生在观察诸如(x-3）4(x+3）4这类代数表达式的过程中所体验到的困难可能是，他们会把这

18、个式子看成不同于平方差公式的另一个表达式。 2021-10-215.“数与代数数与代数”关键问题之一关键问题之一 代数概念的引入代数概念的引入n 代数不仅仅和x、y有关，它也不仅仅在化简表达式、替代或者解方程这类的练习中得到反映。这些仅仅是和代数符号有关的操作性技术。代数也包括一种思维，这种思维可以改善符号，然后改善符号所代表的数学对象之间的关系。当然，不介绍必要的对代数的理解，教授学生这些操作是相当可能的。斯根普所说的工具性理解就是一个例子。然而，当渐渐运用代数来解决实际问题的时候，这种类型的学习会让学生觉得高高在上而又枯燥无味。这就是为什么这么多学生，甚至成年人都觉得掌握代数语言是很困难的

19、原因之一。2021-10-215.“数与代数数与代数”关键问题之一关键问题之一 代数概念的引入代数概念的引入n在（7-9年级）学段中，许多学生在差不多11岁的时候就开始学习形式化的代数（含和等等）。我们应该注意到，这个年龄低于皮亚杰所认为的孩子进入发展形式操作时期的平均年龄，而代数式非常形式化且相当抽象。这并不一定就是说，这个年龄段的孩子根本不能处理代数问题，但是孩子们确实会发现代数很困难，而且在给孩子们介绍代数时要非常注意怎样教授和以怎样的步伐来教授。事实上，在（1-6年级）学段就应该做许多准备工作。这并不是意味着在（1-6年级）学段就应该教授学生如何解方程等等，但许多非形式化的工作是可以早

20、些时候开始的，这将有利于培养学生用代数思维来进行思考的能力 2021-10-21案例：数一组筹码n如果你要让一组六岁的孩子们数一组筹码（譬如说，15个）（第一种情形），然后你用一块布把这些筹码盖起来，并且要一个孩子用手抓走一把筹码（譬如说，6个），你可以期望孩子们预测出留在布下面的筹码有多少个（9个）n（第二种情形），但你却不可能希望一个六岁的孩子理解或者解“6+x=15”这样的方程。2021-10-21案例：数一组筹码n不同的是：在第一种情形下孩子们操作具体物体，寻找模型，口头描述模型。然而第二种情形很形式化，很符号化，很抽象。n所以，如果用恰当的方式来呈现代数，那么即使幼小的孩子参与代数都

21、是可能的。孩子们如果被鼓励这么做，那么当事情确实变得更抽象的话，他们也很可能有了一个很好的开始。他们已经形成了必要的思维想象力，他们需要这个想象力来帮助他们理解涉及代数的更为抽象的概念。2021-10-21抽象与概括的数学过程是代数思维的核心内容，形式化代数几乎就是纯抽象的东西。 n皮亚杰认为一般的孩子要到13岁左右才能达到形式运算操作的发展阶段，这个年龄也是孩子们开始具有和代数有关的抽象思考能力的阶段。当然，许多孩子可能会更早地到达这个阶段，而还有一些孩子则更晚地到达这个阶段（甚至根本达不到这个阶段）。这就是我们要进行教育的一个重要原因。 2021-10-21不管我们怎么好地表述代数主题，有

22、些孩子根本就无法学习我们所教授的内容。 n在各个发展阶段，每个进步都来自于从具体到抽象并且给学生提供的活动应该鼓励学生自己思考（而不是在整个过程中都给学生做讲解、做演示。n当前许多代表着教师教学水平的优秀观摩课，简直就变成了教案剧的表演。这种教学是以学科、以教师为中心的，完全没有考虑到学生发展的特点。2021-10-21以为将最优的算法呈现给学生，就能促进学生的发展，但这只是教师们的一厢情愿。n事实上，把教师认为的一个最优算法告诉学生的做法，只是让学生接受了一些结果。由于学生没有经历各种算法的比较、分析、判断过程，没有体会某一种算法对于问题的求解为什么是最优的，所以谈不上对算法的优与劣的认识）

23、，这样，学生的思维进程就不会得到有效的发展。2021-10-21“代数式代数式”概念的学习的案例概念的学习的案例n代数式（字母表示数）概念一直是学生学习代数过程中的难点，有很多学生学过后只能记住代数式的形式特征，不能理解字母表示数的意义。代数式的本质在于将“不定元”（未知数）像数一样与数字进行运算。认识到这一点，一般需要经历以下四个阶段。2021-10-21（1）通过运算活动，理解具体的代数式n问题1：一列火车保持一定的速度行驶，每小时行驶90千米，这列火车行驶的路程与时间之间有一定的关系，请填下表：n 时间（小时）1 2 3 4 5 6 路程（千米）2021-10-21问题2：有一些矩形，长是宽的3倍，请填写下表：n宽 1 4 7.5 11n长 n周长n面积2021-10-21n对问题1，教师要引导学生能够得出表示“90”。教师要引导学生注意“”表示的是“时间”这一同类意义的数。n对问题2，要让学生初步体会“同类意义”的数表示的各种关系。 2021-10-21（2）过程阶段，体验代数式中的过程n教师提出以下问题：用字母符号代替“”，如90t，与具体的数有什么样的关系？把各具体字母表